Theorem 1pthond 30768

Description: In a graph with two vertices and an edge connecting these two vertices, to go from one vertex to the other vertex via this edge is a path from one of these vertices to the other vertex. The two vertices need not be distinct (in the case of a loop) - in this case, however, the path is not a simple path. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.) (Revised by AV, 22-Jan-2021.) (Revised by AV, 23-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
1wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
1wlkd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
1wlkd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
1wlkd.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐼‘𝐽) = {𝑋})
1wlkd.j	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘𝐽))
1wlkd.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
1wlkd.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
1pthond	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋(PathsOn‘𝐺)𝑌)𝑃)

Proof of Theorem 1pthond

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1wlkd.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
2		1wlkd.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
3		1wlkd.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
4		1wlkd.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
5		1wlkd.l	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐼‘𝐽) = {𝑋})
6		1wlkd.j	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘𝐽))
7		1wlkd.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8		1wlkd.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	1wlkd 30765	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
10	1	fveq1i 6912	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘0) = (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0)
11		s2fv0 15069	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋)
12	10, 11	eqtrid 2810	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑃‘0) = 𝑋)
13	3, 12	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘0) = 𝑋)
14	2	fveq2i 6914	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽”⟩)
15		s1len 14783	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘⟨“𝐽”⟩) = 1
16	14, 15	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝐹) = 1
17	1, 16	fveq12i 6917	. . . . 5 ⊢ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)
18		s2fv1 15070	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1) = 𝑌)
19	4, 18	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1) = 𝑌)
20	17, 19	eqtrid 2810	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝑌)
21		wlkv 30226	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
22		3simpc 1168	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
23	9, 21, 22	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
24	3, 4, 23	jca31 524	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
25	7	iswlkon 30269	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑋(WalksOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝑌)))
26	24, 25	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋(WalksOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝑌)))
27	9, 13, 20, 26	mpbir3and 1361	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋(WalksOn‘𝐺)𝑌)𝑃)
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	1trld 30766	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
29	7	istrlson 30322	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑋(TrailsOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ↔ (𝐹(𝑋(WalksOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)))
30	24, 29	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋(TrailsOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ↔ (𝐹(𝑋(WalksOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)))
31	27, 28, 30	mpbir2and 726	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋(TrailsOn‘𝐺)𝑌)𝑃)
32	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	1pthd 30767	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
33	3	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝑋 ∈ 𝑉)
34	4	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝑌 ∈ 𝑉)
35		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
36	33, 34, 35	jca31 524	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
37	36	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))))
38	21, 22, 37	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))))
39	9, 38	mpcom 39	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
40	7	ispthson 30361	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑋(PathsOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ↔ (𝐹(𝑋(TrailsOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)))
41	39, 40	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋(PathsOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ↔ (𝐹(𝑋(TrailsOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)))
42	31, 32, 41	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋(PathsOn‘𝐺)𝑌)𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  {csn 4588  {cpr 4590   class class class wbr 5106  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  0cc0 11230  1c1 11231  ♯chash 14504  ⟨“cs1 14772  ⟨“cs2 15023  Vtxcvtx 29607  iEdgciedg 29608  Walkscwlks 30210  WalksOncwlkson 30211  Trailsctrls 30306  TrailsOnctrlson 30307  Pathscpths 30328  PathsOncpthson 30330

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-map 8880  df-pm 8881  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-hash 14505  df-word 14689  df-concat 14746  df-s1 14773  df-s2 15030  df-wlks 30213  df-wlkson 30214  df-trls 30308  df-trlson 30309  df-pths 30332  df-pthson 30334

This theorem is used by:  upgr1pthond  30774  lppthon  30775  1pthon2v  30787