Theorem 1pthond 27925

Description: In a graph with two vertices and an edge connecting these two vertices, to go from one vertex to the other vertex via this edge is a path from one of these vertices to the other vertex. The two vertices need not be distinct (in the case of a loop) - in this case, however, the path is not a simple path. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.) (Revised by AV, 22-Jan-2021.) (Revised by AV, 23-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
1wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
1wlkd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
1wlkd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
1wlkd.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐼‘𝐽) = {𝑋})
1wlkd.j	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘𝐽))
1wlkd.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
1wlkd.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
1pthond	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋(PathsOn‘𝐺)𝑌)𝑃)

Proof of Theorem 1pthond

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1wlkd.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
2		1wlkd.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
3		1wlkd.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
4		1wlkd.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
5		1wlkd.l	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐼‘𝐽) = {𝑋})
6		1wlkd.j	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘𝐽))
7		1wlkd.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8		1wlkd.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	1wlkd 27922	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
10	1	fveq1i 6673	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘0) = (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0)
11		s2fv0 14251	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋)
12	10, 11	syl5eq 2870	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑃‘0) = 𝑋)
13	3, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘0) = 𝑋)
14	2	fveq2i 6675	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽”⟩)
15		s1len 13962	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘⟨“𝐽”⟩) = 1
16	14, 15	eqtri 2846	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝐹) = 1
17	1, 16	fveq12i 6678	. . . . 5 ⊢ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)
18		s2fv1 14252	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1) = 𝑌)
19	4, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1) = 𝑌)
20	17, 19	syl5eq 2870	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝑌)
21		wlkv 27396	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
22		3simpc 1146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
23	9, 21, 22	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
24	3, 4, 23	jca31 517	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
25	7	iswlkon 27441	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑋(WalksOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝑌)))
26	24, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋(WalksOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝑌)))
27	9, 13, 20, 26	mpbir3and 1338	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋(WalksOn‘𝐺)𝑌)𝑃)
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	1trld 27923	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
29	7	istrlson 27490	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑋(TrailsOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ↔ (𝐹(𝑋(WalksOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)))
30	24, 29	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋(TrailsOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ↔ (𝐹(𝑋(WalksOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)))
31	27, 28, 30	mpbir2and 711	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋(TrailsOn‘𝐺)𝑌)𝑃)
32	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	1pthd 27924	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
33	3	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝑋 ∈ 𝑉)
34	4	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝑌 ∈ 𝑉)
35		simpl 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
36	33, 34, 35	jca31 517	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
37	36	ex 415	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))))
38	21, 22, 37	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))))
39	9, 38	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
40	7	ispthson 27525	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑋(PathsOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ↔ (𝐹(𝑋(TrailsOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)))
41	39, 40	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋(PathsOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ↔ (𝐹(𝑋(TrailsOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)))
42	31, 32, 41	mpbir2and 711	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋(PathsOn‘𝐺)𝑌)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  Vcvv 3496   ⊆ wss 3938  {csn 4569  {cpr 4571   class class class wbr 5068  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  0cc0 10539  1c1 10540  ♯chash 13693  ⟨“cs1 13951  ⟨“cs2 14205  Vtxcvtx 26783  iEdgciedg 26784  Walkscwlks 27380  WalksOncwlkson 27381  Trailsctrls 27474  TrailsOnctrlson 27475  Pathscpths 27495  PathsOncpthson 27497

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-ifp 1058  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-hash 13694  df-word 13865  df-concat 13925  df-s1 13952  df-s2 14212  df-wlks 27383  df-wlkson 27384  df-trls 27476  df-trlson 27477  df-pths 27499  df-pthson 27501

This theorem is referenced by:  upgr1pthond  27931  lppthon  27932  1pthon2v  27934