Theorem 1pthond 29664

Description: In a graph with two vertices and an edge connecting these two vertices, to go from one vertex to the other vertex via this edge is a path from one of these vertices to the other vertex. The two vertices need not be distinct (in the case of a loop) - in this case, however, the path is not a simple path. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.) (Revised by AV, 22-Jan-2021.) (Revised by AV, 23-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
1wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
1wlkd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
1wlkd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
1wlkd.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐼‘𝐽) = {𝑋})
1wlkd.j	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘𝐽))
1wlkd.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
1wlkd.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
1pthond	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋(PathsOn‘𝐺)𝑌)𝑃)

Proof of Theorem 1pthond

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1wlkd.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
2		1wlkd.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
3		1wlkd.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
4		1wlkd.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
5		1wlkd.l	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐼‘𝐽) = {𝑋})
6		1wlkd.j	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘𝐽))
7		1wlkd.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8		1wlkd.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	1wlkd 29661	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
10	1	fveq1i 6891	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘0) = (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0)
11		s2fv0 14842	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋)
12	10, 11	eqtrid 2782	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑃‘0) = 𝑋)
13	3, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘0) = 𝑋)
14	2	fveq2i 6893	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽”⟩)
15		s1len 14560	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘⟨“𝐽”⟩) = 1
16	14, 15	eqtri 2758	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝐹) = 1
17	1, 16	fveq12i 6896	. . . . 5 ⊢ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)
18		s2fv1 14843	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1) = 𝑌)
19	4, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1) = 𝑌)
20	17, 19	eqtrid 2782	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝑌)
21		wlkv 29136	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
22		3simpc 1148	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
23	9, 21, 22	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
24	3, 4, 23	jca31 513	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
25	7	iswlkon 29181	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑋(WalksOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝑌)))
26	24, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋(WalksOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝑌)))
27	9, 13, 20, 26	mpbir3and 1340	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋(WalksOn‘𝐺)𝑌)𝑃)
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	1trld 29662	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
29	7	istrlson 29231	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑋(TrailsOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ↔ (𝐹(𝑋(WalksOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)))
30	24, 29	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋(TrailsOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ↔ (𝐹(𝑋(WalksOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)))
31	27, 28, 30	mpbir2and 709	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋(TrailsOn‘𝐺)𝑌)𝑃)
32	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	1pthd 29663	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
33	3	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝑋 ∈ 𝑉)
34	4	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝑌 ∈ 𝑉)
35		simpl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
36	33, 34, 35	jca31 513	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
37	36	ex 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))))
38	21, 22, 37	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))))
39	9, 38	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
40	7	ispthson 29266	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑋(PathsOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ↔ (𝐹(𝑋(TrailsOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)))
41	39, 40	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋(PathsOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ↔ (𝐹(𝑋(TrailsOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)))
42	31, 32, 41	mpbir2and 709	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋(PathsOn‘𝐺)𝑌)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  Vcvv 3472   ⊆ wss 3947  {csn 4627  {cpr 4629   class class class wbr 5147  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113  ♯chash 14294  ⟨“cs1 14549  ⟨“cs2 14796  Vtxcvtx 28523  iEdgciedg 28524  Walkscwlks 29120  WalksOncwlkson 29121  Trailsctrls 29214  TrailsOnctrlson 29215  Pathscpths 29236  PathsOncpthson 29238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-ifp 1060  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-hash 14295  df-word 14469  df-concat 14525  df-s1 14550  df-s2 14803  df-wlks 29123  df-wlkson 29124  df-trls 29216  df-trlson 29217  df-pths 29240  df-pthson 29242

This theorem is referenced by:  upgr1pthond  29670  lppthon  29671  1pthon2v  29673