MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1pthond Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1pthond 30077
Description: In a graph with two vertices and an edge connecting these two vertices, to go from one vertex to the other vertex via this edge is a path from one of these vertices to the other vertex. The two vertices need not be distinct (in the case of a loop) - in this case, however, the path is not a simple path. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.) (Revised by AV, 22-Jan-2021.) (Revised by AV, 23-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
1wlkd.p 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
1wlkd.f 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
1wlkd.x (𝜑𝑋𝑉)
1wlkd.y (𝜑𝑌𝑉)
1wlkd.l ((𝜑𝑋 = 𝑌) → (𝐼𝐽) = {𝑋})
1wlkd.j ((𝜑𝑋𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼𝐽))
1wlkd.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
1wlkd.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
1pthond (𝜑𝐹(𝑋(PathsOn‘𝐺)𝑌)𝑃)

Proof of Theorem 1pthond
StepHypRef Expression
1 1wlkd.p . . . . 5 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
2 1wlkd.f . . . . 5 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
3 1wlkd.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
4 1wlkd.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
5 1wlkd.l . . . . 5 ((𝜑𝑋 = 𝑌) → (𝐼𝐽) = {𝑋})
6 1wlkd.j . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼𝐽))
7 1wlkd.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8 1wlkd.i . . . . 5 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 81wlkd 30074 . . . 4 (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
101fveq1i 6902 . . . . . 6 (𝑃‘0) = (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0)
11 s2fv0 14896 . . . . . 6 (𝑋𝑉 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋)
1210, 11eqtrid 2778 . . . . 5 (𝑋𝑉 → (𝑃‘0) = 𝑋)
133, 12syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑃‘0) = 𝑋)
142fveq2i 6904 . . . . . . 7 (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽”⟩)
15 s1len 14614 . . . . . . 7 (♯‘⟨“𝐽”⟩) = 1
1614, 15eqtri 2754 . . . . . 6 (♯‘𝐹) = 1
171, 16fveq12i 6907 . . . . 5 (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)
18 s2fv1 14897 . . . . . 6 (𝑌𝑉 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1) = 𝑌)
194, 18syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1) = 𝑌)
2017, 19eqtrid 2778 . . . 4 (𝜑 → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝑌)
21 wlkv 29549 . . . . . . 7 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
22 3simpc 1147 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
239, 21, 223syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
243, 4, 23jca31 513 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
257iswlkon 29594 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑋(WalksOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝑌)))
2624, 25syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐹(𝑋(WalksOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝑌)))
279, 13, 20, 26mpbir3and 1339 . . 3 (𝜑𝐹(𝑋(WalksOn‘𝐺)𝑌)𝑃)
281, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 81trld 30075 . . 3 (𝜑𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
297istrlson 29644 . . . 4 (((𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑋(TrailsOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ↔ (𝐹(𝑋(WalksOn‘𝐺)𝑌)𝑃𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)))
3024, 29syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹(𝑋(TrailsOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ↔ (𝐹(𝑋(WalksOn‘𝐺)𝑌)𝑃𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)))
3127, 28, 30mpbir2and 711 . 2 (𝜑𝐹(𝑋(TrailsOn‘𝐺)𝑌)𝑃)
321, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 81pthd 30076 . 2 (𝜑𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
333adantl 480 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝑋𝑉)
344adantl 480 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝑌𝑉)
35 simpl 481 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
3633, 34, 35jca31 513 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
3736ex 411 . . . . 5 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝜑 → ((𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))))
3821, 22, 373syl 18 . . . 4 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝜑 → ((𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))))
399, 38mpcom 38 . . 3 (𝜑 → ((𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
407ispthson 29679 . . 3 (((𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑋(PathsOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ↔ (𝐹(𝑋(TrailsOn‘𝐺)𝑌)𝑃𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)))
4139, 40syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹(𝑋(PathsOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ↔ (𝐹(𝑋(TrailsOn‘𝐺)𝑌)𝑃𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)))
4231, 32, 41mpbir2and 711 1 (𝜑𝐹(𝑋(PathsOn‘𝐺)𝑌)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  Vcvv 3462  wss 3947  {csn 4633  {cpr 4635   class class class wbr 5153  cfv 6554  (class class class)co 7424  0cc0 11158  1c1 11159  chash 14347  ⟨“cs1 14603  ⟨“cs2 14850  Vtxcvtx 28932  iEdgciedg 28933  Walkscwlks 29533  WalksOncwlkson 29534  Trailsctrls 29627  TrailsOnctrlson 29628  Pathscpths 29649  PathsOncpthson 29651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-hash 14348  df-word 14523  df-concat 14579  df-s1 14604  df-s2 14857  df-wlks 29536  df-wlkson 29537  df-trls 29629  df-trlson 29630  df-pths 29653  df-pthson 29655
This theorem is referenced by:  upgr1pthond  30083  lppthon  30084  1pthon2v  30086
  Copyright terms: Public domain W3C validator