Theorem 1pthond 30229

Description: In a graph with two vertices and an edge connecting these two vertices, to go from one vertex to the other vertex via this edge is a path from one of these vertices to the other vertex. The two vertices need not be distinct (in the case of a loop) - in this case, however, the path is not a simple path. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.) (Revised by AV, 22-Jan-2021.) (Revised by AV, 23-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
1wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
1wlkd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
1wlkd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
1wlkd.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐼‘𝐽) = {𝑋})
1wlkd.j	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘𝐽))
1wlkd.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
1wlkd.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
1pthond	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋(PathsOn‘𝐺)𝑌)𝑃)

Proof of Theorem 1pthond

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1wlkd.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
2		1wlkd.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
3		1wlkd.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
4		1wlkd.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
5		1wlkd.l	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐼‘𝐽) = {𝑋})
6		1wlkd.j	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘𝐽))
7		1wlkd.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8		1wlkd.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	1wlkd 30226	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
10	1	fveq1i 6835	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘0) = (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0)
11		s2fv0 14840	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋)
12	10, 11	eqtrid 2784	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑃‘0) = 𝑋)
13	3, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘0) = 𝑋)
14	2	fveq2i 6837	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽”⟩)
15		s1len 14560	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘⟨“𝐽”⟩) = 1
16	14, 15	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝐹) = 1
17	1, 16	fveq12i 6840	. . . . 5 ⊢ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)
18		s2fv1 14841	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1) = 𝑌)
19	4, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1) = 𝑌)
20	17, 19	eqtrid 2784	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝑌)
21		wlkv 29696	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
22		3simpc 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
23	9, 21, 22	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
24	3, 4, 23	jca31 514	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
25	7	iswlkon 29739	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑋(WalksOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝑌)))
26	24, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋(WalksOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝑌)))
27	9, 13, 20, 26	mpbir3and 1344	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋(WalksOn‘𝐺)𝑌)𝑃)
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	1trld 30227	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
29	7	istrlson 29788	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑋(TrailsOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ↔ (𝐹(𝑋(WalksOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)))
30	24, 29	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋(TrailsOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ↔ (𝐹(𝑋(WalksOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)))
31	27, 28, 30	mpbir2and 714	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋(TrailsOn‘𝐺)𝑌)𝑃)
32	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	1pthd 30228	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
33	3	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝑋 ∈ 𝑉)
34	4	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝑌 ∈ 𝑉)
35		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
36	33, 34, 35	jca31 514	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
37	36	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))))
38	21, 22, 37	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))))
39	9, 38	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
40	7	ispthson 29825	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑋(PathsOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ↔ (𝐹(𝑋(TrailsOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)))
41	39, 40	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋(PathsOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ↔ (𝐹(𝑋(TrailsOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)))
42	31, 32, 41	mpbir2and 714	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋(PathsOn‘𝐺)𝑌)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  {csn 4568  {cpr 4570   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  0cc0 11029  1c1 11030  ♯chash 14283  ⟨“cs1 14549  ⟨“cs2 14794  Vtxcvtx 29079  iEdgciedg 29080  Walkscwlks 29680  WalksOncwlkson 29681  Trailsctrls 29772  TrailsOnctrlson 29773  Pathscpths 29793  PathsOncpthson 29795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-hash 14284  df-word 14467  df-concat 14524  df-s1 14550  df-s2 14801  df-wlks 29683  df-wlkson 29684  df-trls 29774  df-trlson 29775  df-pths 29797  df-pthson 29799

This theorem is referenced by:  upgr1pthond  30235  lppthon  30236  1pthon2v  30238