Theorem 1pthond 30404

Description: In a graph with two vertices and an edge connecting these two vertices, to go from one vertex to the other vertex via this edge is a path from one of these vertices to the other vertex. The two vertices need not be distinct (in the case of a loop) - in this case, however, the path is not a simple path. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.) (Revised by AV, 22-Jan-2021.) (Revised by AV, 23-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
1wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
1wlkd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
1wlkd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
1wlkd.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐼‘𝐽) = {𝑋})
1wlkd.j	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘𝐽))
1wlkd.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
1wlkd.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
1pthond	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋(PathsOn‘𝐺)𝑌)𝑃)

Proof of Theorem 1pthond

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1wlkd.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
2		1wlkd.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
3		1wlkd.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
4		1wlkd.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
5		1wlkd.l	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐼‘𝐽) = {𝑋})
6		1wlkd.j	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘𝐽))
7		1wlkd.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8		1wlkd.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	1wlkd 30401	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
10	1	fveq1i 6872	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘0) = (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0)
11		s2fv0 14914	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋)
12	10, 11	eqtrid 2812	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑃‘0) = 𝑋)
13	3, 12	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘0) = 𝑋)
14	2	fveq2i 6874	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽”⟩)
15		s1len 14634	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘⟨“𝐽”⟩) = 1
16	14, 15	eqtri 2788	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝐹) = 1
17	1, 16	fveq12i 6877	. . . . 5 ⊢ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)
18		s2fv1 14915	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1) = 𝑌)
19	4, 18	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1) = 𝑌)
20	17, 19	eqtrid 2812	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝑌)
21		wlkv 29871	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
22		3simpc 1166	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
23	9, 21, 22	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
24	3, 4, 23	jca31 523	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
25	7	iswlkon 29914	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑋(WalksOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝑌)))
26	24, 25	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋(WalksOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝑌)))
27	9, 13, 20, 26	mpbir3and 1359	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋(WalksOn‘𝐺)𝑌)𝑃)
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	1trld 30402	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
29	7	istrlson 29963	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑋(TrailsOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ↔ (𝐹(𝑋(WalksOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)))
30	24, 29	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋(TrailsOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ↔ (𝐹(𝑋(WalksOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)))
31	27, 28, 30	mpbir2and 725	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋(TrailsOn‘𝐺)𝑌)𝑃)
32	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	1pthd 30403	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
33	3	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝑋 ∈ 𝑉)
34	4	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝑌 ∈ 𝑉)
35		simpl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
36	33, 34, 35	jca31 523	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
37	36	ex 417	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))))
38	21, 22, 37	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))))
39	9, 38	mpcom 39	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
40	7	ispthson 30000	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑋(PathsOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ↔ (𝐹(𝑋(TrailsOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)))
41	39, 40	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋(PathsOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ↔ (𝐹(𝑋(TrailsOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)))
42	31, 32, 41	mpbir2and 725	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋(PathsOn‘𝐺)𝑌)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  Vcvv 3457   ⊆ wss 3907  {csn 4585  {cpr 4587   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  0cc0 11088  1c1 11089  ♯chash 14357  ⟨“cs1 14623  ⟨“cs2 14868  Vtxcvtx 29255  iEdgciedg 29256  Walkscwlks 29855  WalksOncwlkson 29856  Trailsctrls 29947  TrailsOnctrlson 29948  Pathscpths 29968  PathsOncpthson 29970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1077  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-hash 14358  df-word 14541  df-concat 14598  df-s1 14624  df-s2 14875  df-wlks 29858  df-wlkson 29859  df-trls 29949  df-trlson 29950  df-pths 29972  df-pthson 29974

This theorem is referenced by:  upgr1pthond  30410  lppthon  30411  1pthon2v  30413