MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1pthond Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1pthond 28974
Description: In a graph with two vertices and an edge connecting these two vertices, to go from one vertex to the other vertex via this edge is a path from one of these vertices to the other vertex. The two vertices need not be distinct (in the case of a loop) - in this case, however, the path is not a simple path. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.) (Revised by AV, 22-Jan-2021.) (Revised by AV, 23-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
1wlkd.p 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
1wlkd.f 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
1wlkd.x (𝜑𝑋𝑉)
1wlkd.y (𝜑𝑌𝑉)
1wlkd.l ((𝜑𝑋 = 𝑌) → (𝐼𝐽) = {𝑋})
1wlkd.j ((𝜑𝑋𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼𝐽))
1wlkd.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
1wlkd.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
1pthond (𝜑𝐹(𝑋(PathsOn‘𝐺)𝑌)𝑃)

Proof of Theorem 1pthond
StepHypRef Expression
1 1wlkd.p . . . . 5 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
2 1wlkd.f . . . . 5 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
3 1wlkd.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
4 1wlkd.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
5 1wlkd.l . . . . 5 ((𝜑𝑋 = 𝑌) → (𝐼𝐽) = {𝑋})
6 1wlkd.j . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼𝐽))
7 1wlkd.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8 1wlkd.i . . . . 5 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 81wlkd 28971 . . . 4 (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
101fveq1i 6840 . . . . . 6 (𝑃‘0) = (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0)
11 s2fv0 14768 . . . . . 6 (𝑋𝑉 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋)
1210, 11eqtrid 2788 . . . . 5 (𝑋𝑉 → (𝑃‘0) = 𝑋)
133, 12syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑃‘0) = 𝑋)
142fveq2i 6842 . . . . . . 7 (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽”⟩)
15 s1len 14486 . . . . . . 7 (♯‘⟨“𝐽”⟩) = 1
1614, 15eqtri 2764 . . . . . 6 (♯‘𝐹) = 1
171, 16fveq12i 6845 . . . . 5 (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)
18 s2fv1 14769 . . . . . 6 (𝑌𝑉 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1) = 𝑌)
194, 18syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1) = 𝑌)
2017, 19eqtrid 2788 . . . 4 (𝜑 → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝑌)
21 wlkv 28446 . . . . . . 7 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
22 3simpc 1150 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
239, 21, 223syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
243, 4, 23jca31 515 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
257iswlkon 28491 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑋(WalksOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝑌)))
2624, 25syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐹(𝑋(WalksOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝑌)))
279, 13, 20, 26mpbir3and 1342 . . 3 (𝜑𝐹(𝑋(WalksOn‘𝐺)𝑌)𝑃)
281, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 81trld 28972 . . 3 (𝜑𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
297istrlson 28541 . . . 4 (((𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑋(TrailsOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ↔ (𝐹(𝑋(WalksOn‘𝐺)𝑌)𝑃𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)))
3024, 29syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹(𝑋(TrailsOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ↔ (𝐹(𝑋(WalksOn‘𝐺)𝑌)𝑃𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)))
3127, 28, 30mpbir2and 711 . 2 (𝜑𝐹(𝑋(TrailsOn‘𝐺)𝑌)𝑃)
321, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 81pthd 28973 . 2 (𝜑𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
333adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝑋𝑉)
344adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝑌𝑉)
35 simpl 483 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
3633, 34, 35jca31 515 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
3736ex 413 . . . . 5 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝜑 → ((𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))))
3821, 22, 373syl 18 . . . 4 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝜑 → ((𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))))
399, 38mpcom 38 . . 3 (𝜑 → ((𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
407ispthson 28576 . . 3 (((𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑋(PathsOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ↔ (𝐹(𝑋(TrailsOn‘𝐺)𝑌)𝑃𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)))
4139, 40syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹(𝑋(PathsOn‘𝐺)𝑌)𝑃 ↔ (𝐹(𝑋(TrailsOn‘𝐺)𝑌)𝑃𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)))
4231, 32, 41mpbir2and 711 1 (𝜑𝐹(𝑋(PathsOn‘𝐺)𝑌)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  Vcvv 3443  wss 3908  {csn 4584  {cpr 4586   class class class wbr 5103  cfv 6493  (class class class)co 7353  0cc0 11047  1c1 11048  chash 14222  ⟨“cs1 14475  ⟨“cs2 14722  Vtxcvtx 27833  iEdgciedg 27834  Walkscwlks 28430  WalksOncwlkson 28431  Trailsctrls 28524  TrailsOnctrlson 28525  Pathscpths 28546  PathsOncpthson 28548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-er 8644  df-map 8763  df-pm 8764  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-card 9871  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12150  df-2 12212  df-n0 12410  df-z 12496  df-uz 12760  df-fz 13417  df-fzo 13560  df-hash 14223  df-word 14395  df-concat 14451  df-s1 14476  df-s2 14729  df-wlks 28433  df-wlkson 28434  df-trls 28526  df-trlson 28527  df-pths 28550  df-pthson 28552
This theorem is referenced by:  upgr1pthond  28980  lppthon  28981  1pthon2v  28983
  Copyright terms: Public domain W3C validator