Theorem ixpfi 9309

Description: A Cartesian product of finitely many finite sets is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ixpfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin) → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ixpfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunfi 9303	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin)
2		simpl 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
3		mapfi 9308	. . 3 ⊢ ((∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐴) ∈ Fin)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin) → (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐴) ∈ Fin)
5		ixpssmap2g 8928	. . 3 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐴))
6	1, 5	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin) → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐴))
7	4, 6	ssfid 9232	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin) → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2150  ∀wral 3086   ⊆ wss 3913  ∪ ciun 4961  (class class class)co 7414   ↑_m cmap 8827  Xcixp 8898  Fincfn 8946

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-ral 3087  df-rex 3097  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-1o 8456  df-map 8829  df-pm 8830  df-ixp 8899  df-en 8947  df-dom 8948  df-fin 8950

This theorem is referenced by:  ixpfi2  9310  prdstotbnd  38393