Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | vex 3497 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 𝑓 ∈ V |
2 | 1 | elixp 8462 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑓 ∈ X𝑥 ∈
𝐴 𝐵 ↔ (𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)) |
3 | 2 | simprbi 499 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑓 ∈ X𝑥 ∈
𝐴 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵) |
4 | | ssiun2 4963 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 ⊆ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) |
5 | 4 | sseld 3965 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵 → (𝑓‘𝑥) ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) |
6 | 5 | ralimia 3158 |
. . . . . . . 8
⊢
(∀𝑥 ∈
𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) |
7 | 3, 6 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑓 ∈ X𝑥 ∈
𝐴 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) |
8 | | nfv 1911 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑦(𝑓‘𝑥) ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 |
9 | | nfiu1 4945 |
. . . . . . . . 9
⊢
Ⅎ𝑥∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 |
10 | 9 | nfel2 2996 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑥(𝑓‘𝑦) ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 |
11 | | fveq2 6664 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝑦)) |
12 | 11 | eleq1d 2897 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑓‘𝑥) ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ (𝑓‘𝑦) ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) |
13 | 8, 10, 12 | cbvralw 3441 |
. . . . . . 7
⊢
(∀𝑥 ∈
𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑦) ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) |
14 | 7, 13 | sylib 220 |
. . . . . 6
⊢ (𝑓 ∈ X𝑥 ∈
𝐴 𝐵 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑦) ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) |
15 | 14 | adantl 484 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑦) ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) |
16 | 15 | ralrimiva 3182 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅) → ∀𝑓 ∈ X
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑦) ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) |
17 | | eqid 2821 |
. . . . 5
⊢ (𝑓 ∈ X𝑥 ∈
𝐴 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)) = (𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)) |
18 | 17 | fmpo 7760 |
. . . 4
⊢
(∀𝑓 ∈
X 𝑥
∈ 𝐴 𝐵∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑦) ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ (𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)):(X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 × 𝐴)⟶∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) |
19 | 16, 18 | sylib 220 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅) → (𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)):(X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 × 𝐴)⟶∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) |
20 | | ixpssmap2g 8485 |
. . . . . 6
⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊 → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐴)) |
21 | 20 | 3ad2ant2 1130 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅) → X𝑥 ∈
𝐴 𝐵 ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐴)) |
22 | | ovex 7183 |
. . . . . 6
⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐴) ∈ V |
23 | 22 | ssex 5217 |
. . . . 5
⊢ (X𝑥 ∈
𝐴 𝐵 ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐴) → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V) |
24 | 21, 23 | syl 17 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅) → X𝑥 ∈
𝐴 𝐵 ∈ V) |
25 | | simp1 1132 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ 𝑉) |
26 | 24, 25 | xpexd 7468 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅) → (X𝑥 ∈
𝐴 𝐵 × 𝐴) ∈ V) |
27 | | simp2 1133 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊) |
28 | | fex2 7632 |
. . 3
⊢ (((𝑓 ∈ X𝑥 ∈
𝐴 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)):(X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 × 𝐴)⟶∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 × 𝐴) ∈ V ∧ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)) ∈ V) |
29 | 19, 26, 27, 28 | syl3anc 1367 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅) → (𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)) ∈ V) |
30 | 19 | ffnd 6509 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅) → (𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)) Fn (X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 × 𝐴)) |
31 | | dffn4 6590 |
. . . 4
⊢ ((𝑓 ∈ X𝑥 ∈
𝐴 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)) Fn (X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 × 𝐴) ↔ (𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)):(X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 × 𝐴)–onto→ran (𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))) |
32 | 30, 31 | sylib 220 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅) → (𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)):(X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 × 𝐴)–onto→ran (𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))) |
33 | | n0 4309 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (X𝑥 ∈
𝐴 𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) |
34 | | eliun 4915 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝐵) |
35 | | nfixp1 8476 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑥X𝑥 ∈
𝐴 𝐵 |
36 | 35 | nfel2 2996 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑥 𝑔 ∈ X𝑥 ∈
𝐴 𝐵 |
37 | | nfv 1911 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑥∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓‘𝑦) |
38 | 35, 37 | nfrex 3309 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑥∃𝑓 ∈ X
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓‘𝑦) |
39 | | simplrr 776 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝑔 ∈ X𝑥 ∈
𝐴 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐵) |
40 | | iftrue 4472 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑘 = 𝑥 → if(𝑘 = 𝑥, 𝑧, (𝑔‘𝑘)) = 𝑧) |
41 | | csbeq1a 3896 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵) |
42 | 41 | equcoms 2023 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑘 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵) |
43 | 42 | eqcomd 2827 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑘 = 𝑥 → ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵) |
44 | 40, 43 | eleq12d 2907 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑘 = 𝑥 → (if(𝑘 = 𝑥, 𝑧, (𝑔‘𝑘)) ∈ ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 ↔ 𝑧 ∈ 𝐵)) |
45 | 39, 44 | syl5ibrcom 249 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑔 ∈ X𝑥 ∈
𝐴 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑘 = 𝑥 → if(𝑘 = 𝑥, 𝑧, (𝑔‘𝑘)) ∈ ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵)) |
46 | | vex 3497 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ 𝑔 ∈ V |
47 | 46 | elixp 8462 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑔 ∈ X𝑥 ∈
𝐴 𝐵 ↔ (𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵)) |
48 | 47 | simprbi 499 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑔 ∈ X𝑥 ∈
𝐴 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵) |
49 | 48 | adantr 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑔 ∈ X𝑥 ∈
𝐴 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵) |
50 | | nfv 1911 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
Ⅎ𝑘(𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵 |
51 | | nfcsb1v 3906 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
Ⅎ𝑥⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 |
52 | 51 | nfel2 2996 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
Ⅎ𝑥(𝑔‘𝑘) ∈ ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 |
53 | | fveq2 6664 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑔‘𝑥) = (𝑔‘𝑘)) |
54 | 53, 41 | eleq12d 2907 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ (𝑔‘𝑘) ∈ ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵)) |
55 | 50, 52, 54 | cbvralw 3441 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(∀𝑥 ∈
𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑘) ∈ ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵) |
56 | 49, 55 | sylib 220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑔 ∈ X𝑥 ∈
𝐴 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑘) ∈ ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵) |
57 | 56 | r19.21bi 3208 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝑔 ∈ X𝑥 ∈
𝐴 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑔‘𝑘) ∈ ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵) |
58 | | iffalse 4475 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (¬
𝑘 = 𝑥 → if(𝑘 = 𝑥, 𝑧, (𝑔‘𝑘)) = (𝑔‘𝑘)) |
59 | 58 | eleq1d 2897 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (¬
𝑘 = 𝑥 → (if(𝑘 = 𝑥, 𝑧, (𝑔‘𝑘)) ∈ ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 ↔ (𝑔‘𝑘) ∈ ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵)) |
60 | 57, 59 | syl5ibrcom 249 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑔 ∈ X𝑥 ∈
𝐴 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑘 = 𝑥 → if(𝑘 = 𝑥, 𝑧, (𝑔‘𝑘)) ∈ ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵)) |
61 | 45, 60 | pm2.61d 181 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝑔 ∈ X𝑥 ∈
𝐴 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 = 𝑥, 𝑧, (𝑔‘𝑘)) ∈ ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵) |
62 | 61 | ralrimiva 3182 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑔 ∈ X𝑥 ∈
𝐴 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 = 𝑥, 𝑧, (𝑔‘𝑘)) ∈ ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵) |
63 | | ixpfn 8461 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑔 ∈ X𝑥 ∈
𝐴 𝐵 → 𝑔 Fn 𝐴) |
64 | 63 | adantr 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑔 ∈ X𝑥 ∈
𝐴 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑔 Fn 𝐴) |
65 | | fndm 6449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑔 Fn 𝐴 → dom 𝑔 = 𝐴) |
66 | 64, 65 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑔 ∈ X𝑥 ∈
𝐴 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → dom 𝑔 = 𝐴) |
67 | 46 | dmex 7610 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ dom 𝑔 ∈ V |
68 | 66, 67 | eqeltrrdi 2922 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑔 ∈ X𝑥 ∈
𝐴 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ∈ V) |
69 | | mptelixpg 8493 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝐴 ∈ V → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 = 𝑥, 𝑧, (𝑔‘𝑘))) ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 = 𝑥, 𝑧, (𝑔‘𝑘)) ∈ ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵)) |
70 | 68, 69 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑔 ∈ X𝑥 ∈
𝐴 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 = 𝑥, 𝑧, (𝑔‘𝑘))) ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 = 𝑥, 𝑧, (𝑔‘𝑘)) ∈ ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵)) |
71 | 62, 70 | mpbird 259 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑔 ∈ X𝑥 ∈
𝐴 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 = 𝑥, 𝑧, (𝑔‘𝑘))) ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵) |
72 | | nfcv 2977 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
Ⅎ𝑘𝐵 |
73 | 72, 51, 41 | cbvixp 8472 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ X𝑥 ∈
𝐴 𝐵 = X𝑘 ∈ 𝐴 ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 |
74 | 71, 73 | eleqtrrdi 2924 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑔 ∈ X𝑥 ∈
𝐴 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 = 𝑥, 𝑧, (𝑔‘𝑘))) ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) |
75 | | simprl 769 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑔 ∈ X𝑥 ∈
𝐴 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐴) |
76 | | eqid 2821 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 = 𝑥, 𝑧, (𝑔‘𝑘))) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 = 𝑥, 𝑧, (𝑔‘𝑘))) |
77 | | vex 3497 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ 𝑧 ∈ V |
78 | 40, 76, 77 | fvmpt 6762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 = 𝑥, 𝑧, (𝑔‘𝑘)))‘𝑥) = 𝑧) |
79 | 78 | ad2antrl 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑔 ∈ X𝑥 ∈
𝐴 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 = 𝑥, 𝑧, (𝑔‘𝑘)))‘𝑥) = 𝑧) |
80 | 79 | eqcomd 2827 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑔 ∈ X𝑥 ∈
𝐴 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑧 = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 = 𝑥, 𝑧, (𝑔‘𝑘)))‘𝑥)) |
81 | | fveq1 6663 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑓 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 = 𝑥, 𝑧, (𝑔‘𝑘))) → (𝑓‘𝑦) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 = 𝑥, 𝑧, (𝑔‘𝑘)))‘𝑦)) |
82 | 81 | eqeq2d 2832 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑓 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 = 𝑥, 𝑧, (𝑔‘𝑘))) → (𝑧 = (𝑓‘𝑦) ↔ 𝑧 = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 = 𝑥, 𝑧, (𝑔‘𝑘)))‘𝑦))) |
83 | | fveq2 6664 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 = 𝑥, 𝑧, (𝑔‘𝑘)))‘𝑦) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 = 𝑥, 𝑧, (𝑔‘𝑘)))‘𝑥)) |
84 | 83 | eqeq2d 2832 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑧 = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 = 𝑥, 𝑧, (𝑔‘𝑘)))‘𝑦) ↔ 𝑧 = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 = 𝑥, 𝑧, (𝑔‘𝑘)))‘𝑥))) |
85 | 82, 84 | rspc2ev 3634 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 = 𝑥, 𝑧, (𝑔‘𝑘))) ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 = 𝑥, 𝑧, (𝑔‘𝑘)))‘𝑥)) → ∃𝑓 ∈ X 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓‘𝑦)) |
86 | 74, 75, 80, 85 | syl3anc 1367 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑔 ∈ X𝑥 ∈
𝐴 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ∃𝑓 ∈ X 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓‘𝑦)) |
87 | 86 | exp32 423 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑔 ∈ X𝑥 ∈
𝐴 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝐵 → ∃𝑓 ∈ X 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓‘𝑦)))) |
88 | 36, 38, 87 | rexlimd 3317 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑔 ∈ X𝑥 ∈
𝐴 𝐵 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝐵 → ∃𝑓 ∈ X 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓‘𝑦))) |
89 | 34, 88 | syl5bi 244 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑔 ∈ X𝑥 ∈
𝐴 𝐵 → (𝑧 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → ∃𝑓 ∈ X 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓‘𝑦))) |
90 | 89 | exlimiv 1927 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(∃𝑔 𝑔 ∈ X𝑥 ∈
𝐴 𝐵 → (𝑧 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → ∃𝑓 ∈ X 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓‘𝑦))) |
91 | 33, 90 | sylbi 219 |
. . . . . . . . 9
⊢ (X𝑥 ∈
𝐴 𝐵 ≠ ∅ → (𝑧 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → ∃𝑓 ∈ X 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓‘𝑦))) |
92 | 91 | 3ad2ant3 1131 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅) → (𝑧 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → ∃𝑓 ∈ X 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓‘𝑦))) |
93 | 92 | alrimiv 1924 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅) → ∀𝑧(𝑧 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → ∃𝑓 ∈ X 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓‘𝑦))) |
94 | | ssab 4040 |
. . . . . . 7
⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ {𝑧 ∣ ∃𝑓 ∈ X 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓‘𝑦)} ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → ∃𝑓 ∈ X 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓‘𝑦))) |
95 | 93, 94 | sylibr 236 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ {𝑧 ∣ ∃𝑓 ∈ X 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓‘𝑦)}) |
96 | 17 | rnmpo 7278 |
. . . . . 6
⊢ ran
(𝑓 ∈ X𝑥 ∈
𝐴 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)) = {𝑧 ∣ ∃𝑓 ∈ X 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓‘𝑦)} |
97 | 95, 96 | sseqtrrdi 4017 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ ran (𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))) |
98 | 19 | frnd 6515 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅) → ran (𝑓 ∈ X𝑥 ∈
𝐴 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)) ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) |
99 | 97, 98 | eqssd 3983 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ran (𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))) |
100 | | foeq3 6582 |
. . . 4
⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ran (𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)) → ((𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)):(X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 × 𝐴)–onto→∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ (𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)):(X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 × 𝐴)–onto→ran (𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)))) |
101 | 99, 100 | syl 17 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅) → ((𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)):(X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 × 𝐴)–onto→∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ (𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)):(X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 × 𝐴)–onto→ran (𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)))) |
102 | 32, 101 | mpbird 259 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅) → (𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)):(X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 × 𝐴)–onto→∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) |
103 | | fowdom 9029 |
. 2
⊢ (((𝑓 ∈ X𝑥 ∈
𝐴 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)) ∈ V ∧ (𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)):(X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 × 𝐴)–onto→∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼* (X𝑥 ∈
𝐴 𝐵 × 𝐴)) |
104 | 29, 102, 103 | syl2anc 586 |
1
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼* (X𝑥 ∈
𝐴 𝐵 × 𝐴)) |