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Theorem ixpiunwdom 9534
Description: Describe an onto function from the indexed cartesian product to the indexed union. Together with ixpssmapg 8872 this shows that βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴𝐡 and Xπ‘₯ ∈ 𝐴𝐡 have closely linked cardinalities. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ixpiunwdom ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ π‘Š ∧ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β‰Ό* (Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 Γ— 𝐴))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝑉(π‘₯)   π‘Š(π‘₯)

Proof of Theorem ixpiunwdom
Dummy variables 𝑓 𝑔 π‘˜ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3451 . . . . . . . . . 10 𝑓 ∈ V
21elixp 8848 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ↔ (𝑓 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡))
32simprbi 498 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
4 ssiun2 5011 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ 𝐡 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)
54sseld 3947 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡))
65ralimia 3080 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)
73, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)
8 nfv 1918 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑦(π‘“β€˜π‘₯) ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡
9 nfiu1 4992 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡
109nfel2 2922 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(π‘“β€˜π‘¦) ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡
11 fveq2 6846 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = (π‘“β€˜π‘¦))
1211eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ↔ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡))
138, 10, 12cbvralw 3288 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘¦) ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)
147, 13sylib 217 . . . . . 6 (𝑓 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘¦) ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)
1514adantl 483 . . . . 5 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ π‘Š ∧ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘¦) ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)
1615ralrimiva 3140 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ π‘Š ∧ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ βˆ€π‘“ ∈ X π‘₯ ∈ 𝐴 π΅βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘¦) ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)
17 eqid 2733 . . . . 5 (𝑓 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (π‘“β€˜π‘¦)) = (𝑓 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (π‘“β€˜π‘¦))
1817fmpo 8004 . . . 4 (βˆ€π‘“ ∈ X π‘₯ ∈ 𝐴 π΅βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘¦) ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ↔ (𝑓 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (π‘“β€˜π‘¦)):(Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 Γ— 𝐴)⟢βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)
1916, 18sylib 217 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ π‘Š ∧ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ (𝑓 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (π‘“β€˜π‘¦)):(Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 Γ— 𝐴)⟢βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)
20 ixpssmap2g 8871 . . . . . 6 (βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ π‘Š β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ↑m 𝐴))
21203ad2ant2 1135 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ π‘Š ∧ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ↑m 𝐴))
22 ovex 7394 . . . . . 6 (βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ↑m 𝐴) ∈ V
2322ssex 5282 . . . . 5 (Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ↑m 𝐴) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ V)
2421, 23syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ π‘Š ∧ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ V)
25 simp1 1137 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ π‘Š ∧ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
2624, 25xpexd 7689 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ π‘Š ∧ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ (Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 Γ— 𝐴) ∈ V)
2719, 26fexd 7181 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ π‘Š ∧ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ (𝑓 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (π‘“β€˜π‘¦)) ∈ V)
2819ffnd 6673 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ π‘Š ∧ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ (𝑓 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (π‘“β€˜π‘¦)) Fn (Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 Γ— 𝐴))
29 dffn4 6766 . . . 4 ((𝑓 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (π‘“β€˜π‘¦)) Fn (Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 Γ— 𝐴) ↔ (𝑓 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (π‘“β€˜π‘¦)):(Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 Γ— 𝐴)–ontoβ†’ran (𝑓 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (π‘“β€˜π‘¦)))
3028, 29sylib 217 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ π‘Š ∧ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ (𝑓 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (π‘“β€˜π‘¦)):(Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 Γ— 𝐴)–ontoβ†’ran (𝑓 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (π‘“β€˜π‘¦)))
31 n0 4310 . . . . . . . . . 10 (Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘” 𝑔 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)
32 eliun 4962 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝐡)
33 nfixp1 8862 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡
3433nfel2 2922 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯ 𝑔 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡
35 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 𝑧 = (π‘“β€˜π‘¦)
3633, 35nfrexw 3295 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯βˆƒπ‘“ ∈ X π‘₯ ∈ 𝐴 π΅βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 𝑧 = (π‘“β€˜π‘¦)
37 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑔 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
38 iftrue 4496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ = π‘₯ β†’ if(π‘˜ = π‘₯, 𝑧, (π‘”β€˜π‘˜)) = 𝑧)
39 csbeq1a 3873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘₯ = π‘˜ β†’ 𝐡 = β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐡)
4039equcoms 2024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘˜ = π‘₯ β†’ 𝐡 = β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐡)
4140eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ = π‘₯ β†’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐡 = 𝐡)
4238, 41eleq12d 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ = π‘₯ β†’ (if(π‘˜ = π‘₯, 𝑧, (π‘”β€˜π‘˜)) ∈ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐡 ↔ 𝑧 ∈ 𝐡))
4337, 42syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑔 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘˜ = π‘₯ β†’ if(π‘˜ = π‘₯, 𝑧, (π‘”β€˜π‘˜)) ∈ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐡))
44 vex 3451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑔 ∈ V
4544elixp 8848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑔 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ↔ (𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝐡))
4645simprbi 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑔 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
4746adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑔 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
48 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 β„²π‘˜(π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝐡
49 nfcsb1v 3884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 β„²π‘₯β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐡
5049nfel2 2922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 β„²π‘₯(π‘”β€˜π‘˜) ∈ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐡
51 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (π‘”β€˜π‘₯) = (π‘”β€˜π‘˜))
5251, 39eleq12d 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘₯ = π‘˜ β†’ ((π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝐡 ↔ (π‘”β€˜π‘˜) ∈ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐡))
5348, 50, 52cbvralw 3288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝐡 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘˜) ∈ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐡)
5447, 53sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑔 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘˜) ∈ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐡)
5554r19.21bi 3233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑔 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘”β€˜π‘˜) ∈ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐡)
56 iffalse 4499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Β¬ π‘˜ = π‘₯ β†’ if(π‘˜ = π‘₯, 𝑧, (π‘”β€˜π‘˜)) = (π‘”β€˜π‘˜))
5756eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Β¬ π‘˜ = π‘₯ β†’ (if(π‘˜ = π‘₯, 𝑧, (π‘”β€˜π‘˜)) ∈ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐡 ↔ (π‘”β€˜π‘˜) ∈ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐡))
5855, 57syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑔 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ π‘˜ = π‘₯ β†’ if(π‘˜ = π‘₯, 𝑧, (π‘”β€˜π‘˜)) ∈ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐡))
5943, 58pm2.61d 179 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑔 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘˜ = π‘₯, 𝑧, (π‘”β€˜π‘˜)) ∈ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐡)
6059ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑔 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝑧, (π‘”β€˜π‘˜)) ∈ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐡)
61 ixpfn 8847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑔 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β†’ 𝑔 Fn 𝐴)
6261adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑔 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑔 Fn 𝐴)
6362fndmd 6611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑔 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ dom 𝑔 = 𝐴)
6444dmex 7852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 dom 𝑔 ∈ V
6563, 64eqeltrrdi 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑔 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ V)
66 mptelixpg 8879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ V β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ = π‘₯, 𝑧, (π‘”β€˜π‘˜))) ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐡 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝑧, (π‘”β€˜π‘˜)) ∈ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐡))
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑔 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ = π‘₯, 𝑧, (π‘”β€˜π‘˜))) ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐡 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝑧, (π‘”β€˜π‘˜)) ∈ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐡))
6860, 67mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑔 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ = π‘₯, 𝑧, (π‘”β€˜π‘˜))) ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐡)
69 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘˜π΅
7069, 49, 39cbvixp 8858 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 = Xπ‘˜ ∈ 𝐴 β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐡
7168, 70eleqtrrdi 2845 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑔 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ = π‘₯, 𝑧, (π‘”β€˜π‘˜))) ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)
72 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑔 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
73 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ = π‘₯, 𝑧, (π‘”β€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ = π‘₯, 𝑧, (π‘”β€˜π‘˜)))
74 vex 3451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑧 ∈ V
7538, 73, 74fvmpt 6952 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ = π‘₯, 𝑧, (π‘”β€˜π‘˜)))β€˜π‘₯) = 𝑧)
7675ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑔 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ = π‘₯, 𝑧, (π‘”β€˜π‘˜)))β€˜π‘₯) = 𝑧)
7776eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑔 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑧 = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ = π‘₯, 𝑧, (π‘”β€˜π‘˜)))β€˜π‘₯))
78 fveq1 6845 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ = π‘₯, 𝑧, (π‘”β€˜π‘˜))) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ = π‘₯, 𝑧, (π‘”β€˜π‘˜)))β€˜π‘¦))
7978eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ = π‘₯, 𝑧, (π‘”β€˜π‘˜))) β†’ (𝑧 = (π‘“β€˜π‘¦) ↔ 𝑧 = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ = π‘₯, 𝑧, (π‘”β€˜π‘˜)))β€˜π‘¦)))
80 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ = π‘₯, 𝑧, (π‘”β€˜π‘˜)))β€˜π‘¦) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ = π‘₯, 𝑧, (π‘”β€˜π‘˜)))β€˜π‘₯))
8180eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑧 = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ = π‘₯, 𝑧, (π‘”β€˜π‘˜)))β€˜π‘¦) ↔ 𝑧 = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ = π‘₯, 𝑧, (π‘”β€˜π‘˜)))β€˜π‘₯)))
8279, 81rspc2ev 3594 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ = π‘₯, 𝑧, (π‘”β€˜π‘˜))) ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ if(π‘˜ = π‘₯, 𝑧, (π‘”β€˜π‘˜)))β€˜π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ X π‘₯ ∈ 𝐴 π΅βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 𝑧 = (π‘“β€˜π‘¦))
8371, 72, 77, 82syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑔 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ X π‘₯ ∈ 𝐴 π΅βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 𝑧 = (π‘“β€˜π‘¦))
8483exp32 422 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (𝑧 ∈ 𝐡 β†’ βˆƒπ‘“ ∈ X π‘₯ ∈ 𝐴 π΅βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 𝑧 = (π‘“β€˜π‘¦))))
8534, 36, 84rexlimd 3248 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝐡 β†’ βˆƒπ‘“ ∈ X π‘₯ ∈ 𝐴 π΅βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 𝑧 = (π‘“β€˜π‘¦)))
8632, 85biimtrid 241 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β†’ (𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β†’ βˆƒπ‘“ ∈ X π‘₯ ∈ 𝐴 π΅βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 𝑧 = (π‘“β€˜π‘¦)))
8786exlimiv 1934 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘” 𝑔 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β†’ (𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β†’ βˆƒπ‘“ ∈ X π‘₯ ∈ 𝐴 π΅βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 𝑧 = (π‘“β€˜π‘¦)))
8831, 87sylbi 216 . . . . . . . . 9 (Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β‰  βˆ… β†’ (𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β†’ βˆƒπ‘“ ∈ X π‘₯ ∈ 𝐴 π΅βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 𝑧 = (π‘“β€˜π‘¦)))
89883ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ π‘Š ∧ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ (𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β†’ βˆƒπ‘“ ∈ X π‘₯ ∈ 𝐴 π΅βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 𝑧 = (π‘“β€˜π‘¦)))
9089alrimiv 1931 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ π‘Š ∧ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ βˆ€π‘§(𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β†’ βˆƒπ‘“ ∈ X π‘₯ ∈ 𝐴 π΅βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 𝑧 = (π‘“β€˜π‘¦)))
91 ssab 4022 . . . . . . 7 (βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† {𝑧 ∣ βˆƒπ‘“ ∈ X π‘₯ ∈ 𝐴 π΅βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 𝑧 = (π‘“β€˜π‘¦)} ↔ βˆ€π‘§(𝑧 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β†’ βˆƒπ‘“ ∈ X π‘₯ ∈ 𝐴 π΅βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 𝑧 = (π‘“β€˜π‘¦)))
9290, 91sylibr 233 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ π‘Š ∧ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† {𝑧 ∣ βˆƒπ‘“ ∈ X π‘₯ ∈ 𝐴 π΅βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 𝑧 = (π‘“β€˜π‘¦)})
9317rnmpo 7493 . . . . . 6 ran (𝑓 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (π‘“β€˜π‘¦)) = {𝑧 ∣ βˆƒπ‘“ ∈ X π‘₯ ∈ 𝐴 π΅βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 𝑧 = (π‘“β€˜π‘¦)}
9492, 93sseqtrrdi 3999 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ π‘Š ∧ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† ran (𝑓 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (π‘“β€˜π‘¦)))
9519frnd 6680 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ π‘Š ∧ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ ran (𝑓 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (π‘“β€˜π‘¦)) βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)
9694, 95eqssd 3965 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ π‘Š ∧ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 = ran (𝑓 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (π‘“β€˜π‘¦)))
97 foeq3 6758 . . . 4 (βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 = ran (𝑓 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (π‘“β€˜π‘¦)) β†’ ((𝑓 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (π‘“β€˜π‘¦)):(Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 Γ— 𝐴)–ontoβ†’βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ↔ (𝑓 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (π‘“β€˜π‘¦)):(Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 Γ— 𝐴)–ontoβ†’ran (𝑓 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (π‘“β€˜π‘¦))))
9896, 97syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ π‘Š ∧ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ ((𝑓 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (π‘“β€˜π‘¦)):(Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 Γ— 𝐴)–ontoβ†’βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ↔ (𝑓 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (π‘“β€˜π‘¦)):(Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 Γ— 𝐴)–ontoβ†’ran (𝑓 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (π‘“β€˜π‘¦))))
9930, 98mpbird 257 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ π‘Š ∧ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ (𝑓 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (π‘“β€˜π‘¦)):(Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 Γ— 𝐴)–ontoβ†’βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)
100 fowdom 9515 . 2 (((𝑓 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (π‘“β€˜π‘¦)) ∈ V ∧ (𝑓 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (π‘“β€˜π‘¦)):(Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 Γ— 𝐴)–ontoβ†’βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β‰Ό* (Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 Γ— 𝐴))
10127, 99, 100syl2anc 585 1 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ π‘Š ∧ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β‰Ό* (Xπ‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 Γ— 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088  βˆ€wal 1540   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  {cab 2710   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3447  β¦‹csb 3859   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  ifcif 4490  βˆͺ ciun 4958   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192   Γ— cxp 5635  dom cdm 5637  ran crn 5638   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€“ontoβ†’wfo 6498  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∈ cmpo 7363   ↑m cmap 8771  Xcixp 8841   β‰Ό* cwdom 9508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-map 8773  df-ixp 8842  df-wdom 9509
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