MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lubfun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lubfun 17377
Description: The LUB is a function. (Contributed by NM, 9-Sep-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
lubfun.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lubfun Fun 𝑈

Proof of Theorem lubfun
Dummy variables 𝑥 𝑠 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funmpt 6175 . . . 4 Fun (𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝐾) ↦ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧))))
2 funres 6179 . . . 4 (Fun (𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝐾) ↦ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧)))) → Fun ((𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝐾) ↦ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧)))) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧))}))
31, 2ax-mp 5 . . 3 Fun ((𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝐾) ↦ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧)))) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧))})
4 eqid 2778 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5 eqid 2778 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
6 lubfun.u . . . . 5 𝑈 = (lub‘𝐾)
7 biid 253 . . . . 5 ((∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ (∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
8 id 22 . . . . 5 (𝐾 ∈ V → 𝐾 ∈ V)
94, 5, 6, 7, 8lubfval 17375 . . . 4 (𝐾 ∈ V → 𝑈 = ((𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝐾) ↦ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧)))) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧))}))
109funeqd 6159 . . 3 (𝐾 ∈ V → (Fun 𝑈 ↔ Fun ((𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝐾) ↦ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧)))) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧))})))
113, 10mpbiri 250 . 2 (𝐾 ∈ V → Fun 𝑈)
12 fun0 6201 . . 3 Fun ∅
13 fvprc 6441 . . . . 5 𝐾 ∈ V → (lub‘𝐾) = ∅)
146, 13syl5eq 2826 . . . 4 𝐾 ∈ V → 𝑈 = ∅)
1514funeqd 6159 . . 3 𝐾 ∈ V → (Fun 𝑈 ↔ Fun ∅))
1612, 15mpbiri 250 . 2 𝐾 ∈ V → Fun 𝑈)
1711, 16pm2.61i 177 1 Fun 𝑈
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  {cab 2763  wral 3090  ∃!wreu 3092  Vcvv 3398  c0 4141  𝒫 cpw 4379   class class class wbr 4888  cmpt 4967  cres 5359  Fun wfun 6131  cfv 6137  crio 6884  Basecbs 16266  lecple 16356  lubclub 17339
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-lub 17371
This theorem is referenced by:  joinfval  17398  joinfval2  17399
  Copyright terms: Public domain W3C validator