Theorem kbass3 32207

Description: Dirac bra-ket associative law ⟨𝐴 ∣ 𝐵⟩⟨𝐶 ∣ 𝐷⟩ = (⟨𝐴 ∣ 𝐵⟩⟨𝐶 ∣ ) ∣ 𝐷⟩. (Contributed by NM, 30-May-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
kbass3	⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝐷)) = ((((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶))‘𝐷))

Proof of Theorem kbass3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bracl 32038	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℂ)
2	1	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((bra‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℂ)
3		brafn 32036	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (bra‘𝐶): ℋ⟶ℂ)
4	3	ad2antrl 734	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (bra‘𝐶): ℋ⟶ℂ)
5		simprr 778	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → 𝐷 ∈ ℋ)
6		hfmval 31833	. . 3 ⊢ ((((bra‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (bra‘𝐶): ℋ⟶ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → ((((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶))‘𝐷) = (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝐷)))
7	2, 4, 5, 6	syl3anc 1379	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶))‘𝐷) = (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝐷)))
8	7	eqcomd 2745	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝐷)) = ((((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶))‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℂcc 11027   · cmul 11034   ℋchba 31008   ·_fn chft 31031  bracbr 31045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-hilex 31088  ax-hfi 31168

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-map 8765  df-hfmul 31823  df-bra 31939

This theorem is referenced by: (None)