Theorem kbass3 32735

Description: Dirac bra-ket associative law ⟨𝐴 ∣ 𝐵⟩⟨𝐶 ∣ 𝐷⟩ = (⟨𝐴 ∣ 𝐵⟩⟨𝐶 ∣ ) ∣ 𝐷⟩. (Contributed by NM, 30-May-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
kbass3	⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝐷)) = ((((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶))‘𝐷))

Proof of Theorem kbass3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bracl 32566	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℂ)
2	1	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((bra‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℂ)
3		brafn 32564	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (bra‘𝐶): ℋ⟶ℂ)
4	3	ad2antrl 741	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (bra‘𝐶): ℋ⟶ℂ)
5		simprr 785	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → 𝐷 ∈ ℋ)
6		hfmval 32361	. . 3 ⊢ ((((bra‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (bra‘𝐶): ℋ⟶ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → ((((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶))‘𝐷) = (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝐷)))
7	2, 4, 5, 6	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶))‘𝐷) = (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝐷)))
8	7	eqcomd 2769	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝐷)) = ((((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶))‘𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ⟶wf 6543  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  ℂcc 11211   · cmul 11218   ℋchba 31536   ·_fn chft 31559  bracbr 31573

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-hilex 31616  ax-hfi 31696

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-map 8863  df-hfmul 32351  df-bra 32467

This theorem is used by: (None)