Theorem kbass4 32408

Description: Dirac bra-ket associative law ⟨𝐴 ∣ 𝐵⟩⟨𝐶 ∣ 𝐷⟩ = ⟨𝐴 ∣ ( ∣ 𝐵⟩⟨𝐶 ∣ 𝐷⟩). (Contributed by NM, 30-May-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
kbass4	⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝐷)) = ((bra‘𝐴)‘(((bra‘𝐶)‘𝐷) ·ℎ 𝐵)))

Proof of Theorem kbass4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bracl 32238	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℂ)
2		bracl 32238	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐶)‘𝐷) ∈ ℂ)
3		mulcom 11182	. . 3 ⊢ ((((bra‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℂ ∧ ((bra‘𝐶)‘𝐷) ∈ ℂ) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝐷)) = (((bra‘𝐶)‘𝐷) · ((bra‘𝐴)‘𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2an 607	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝐷)) = (((bra‘𝐶)‘𝐷) · ((bra‘𝐴)‘𝐵)))
5		bralnfn 32237	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (bra‘𝐴) ∈ LinFn)
6	5	ad2antrr 738	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (bra‘𝐴) ∈ LinFn)
7	2	adantl 486	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((bra‘𝐶)‘𝐷) ∈ ℂ)
8		simplr 780	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → 𝐵 ∈ ℋ)
9		lnfnmul 32337	. . 3 ⊢ (((bra‘𝐴) ∈ LinFn ∧ ((bra‘𝐶)‘𝐷) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘(((bra‘𝐶)‘𝐷) ·ℎ 𝐵)) = (((bra‘𝐶)‘𝐷) · ((bra‘𝐴)‘𝐵)))
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1396	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((bra‘𝐴)‘(((bra‘𝐶)‘𝐷) ·ℎ 𝐵)) = (((bra‘𝐶)‘𝐷) · ((bra‘𝐴)‘𝐵)))
11	4, 10	eqtr4d 2807	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝐷)) = ((bra‘𝐴)‘(((bra‘𝐶)‘𝐷) ·ℎ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  ℂcc 11094   · cmul 11101   ℋchba 31208   ·_ℎ csm 31210  LinFnclf 31243  bracbr 31245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-hilex 31288  ax-hfvadd 31289  ax-hv0cl 31292  ax-hvaddid 31293  ax-hfvmul 31294  ax-hvmulid 31295  ax-hfi 31368  ax-his2 31372  ax-his3 31373

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-ltxr 11244  df-sub 11439  df-lnfn 32137  df-bra 32139

This theorem is referenced by: (None)