Theorem kbass4 32153

Description: Dirac bra-ket associative law ⟨𝐴 ∣ 𝐵⟩⟨𝐶 ∣ 𝐷⟩ = ⟨𝐴 ∣ ( ∣ 𝐵⟩⟨𝐶 ∣ 𝐷⟩). (Contributed by NM, 30-May-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
kbass4	⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝐷)) = ((bra‘𝐴)‘(((bra‘𝐶)‘𝐷) ·ℎ 𝐵)))

Proof of Theorem kbass4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bracl 31983	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℂ)
2		bracl 31983	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐶)‘𝐷) ∈ ℂ)
3		mulcom 11272	. . 3 ⊢ ((((bra‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℂ ∧ ((bra‘𝐶)‘𝐷) ∈ ℂ) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝐷)) = (((bra‘𝐶)‘𝐷) · ((bra‘𝐴)‘𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2an 595	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝐷)) = (((bra‘𝐶)‘𝐷) · ((bra‘𝐴)‘𝐵)))
5		bralnfn 31982	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (bra‘𝐴) ∈ LinFn)
6	5	ad2antrr 725	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (bra‘𝐴) ∈ LinFn)
7	2	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((bra‘𝐶)‘𝐷) ∈ ℂ)
8		simplr 768	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → 𝐵 ∈ ℋ)
9		lnfnmul 32082	. . 3 ⊢ (((bra‘𝐴) ∈ LinFn ∧ ((bra‘𝐶)‘𝐷) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘(((bra‘𝐶)‘𝐷) ·ℎ 𝐵)) = (((bra‘𝐶)‘𝐷) · ((bra‘𝐴)‘𝐵)))
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((bra‘𝐴)‘(((bra‘𝐶)‘𝐷) ·ℎ 𝐵)) = (((bra‘𝐶)‘𝐷) · ((bra‘𝐴)‘𝐵)))
11	4, 10	eqtr4d 2783	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝐷)) = ((bra‘𝐴)‘(((bra‘𝐶)‘𝐷) ·ℎ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6575  (class class class)co 7450  ℂcc 11184   · cmul 11191   ℋchba 30953   ·_ℎ csm 30955  LinFnclf 30988  bracbr 30990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-hilex 31033  ax-hfvadd 31034  ax-hv0cl 31037  ax-hvaddid 31038  ax-hfvmul 31039  ax-hvmulid 31040  ax-hfi 31113  ax-his2 31117  ax-his3 31118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-er 8765  df-map 8888  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-ltxr 11331  df-sub 11524  df-lnfn 31882  df-bra 31884

This theorem is referenced by: (None)