Theorem kbass4 32736

Description: Dirac bra-ket associative law ⟨𝐴 ∣ 𝐵⟩⟨𝐶 ∣ 𝐷⟩ = ⟨𝐴 ∣ ( ∣ 𝐵⟩⟨𝐶 ∣ 𝐷⟩). (Contributed by NM, 30-May-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
kbass4	⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝐷)) = ((bra‘𝐴)‘(((bra‘𝐶)‘𝐷) ·ℎ 𝐵)))

Proof of Theorem kbass4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bracl 32566	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℂ)
2		bracl 32566	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐶)‘𝐷) ∈ ℂ)
3		mulcom 11299	. . 3 ⊢ ((((bra‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℂ ∧ ((bra‘𝐶)‘𝐷) ∈ ℂ) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝐷)) = (((bra‘𝐶)‘𝐷) · ((bra‘𝐴)‘𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2an 608	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝐷)) = (((bra‘𝐶)‘𝐷) · ((bra‘𝐴)‘𝐵)))
5		bralnfn 32565	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (bra‘𝐴) ∈ LinFn)
6	5	ad2antrr 739	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (bra‘𝐴) ∈ LinFn)
7	2	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((bra‘𝐶)‘𝐷) ∈ ℂ)
8		simplr 781	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → 𝐵 ∈ ℋ)
9		lnfnmul 32665	. . 3 ⊢ (((bra‘𝐴) ∈ LinFn ∧ ((bra‘𝐶)‘𝐷) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘(((bra‘𝐶)‘𝐷) ·ℎ 𝐵)) = (((bra‘𝐶)‘𝐷) · ((bra‘𝐴)‘𝐵)))
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((bra‘𝐴)‘(((bra‘𝐶)‘𝐷) ·ℎ 𝐵)) = (((bra‘𝐶)‘𝐷) · ((bra‘𝐴)‘𝐵)))
11	4, 10	eqtr4d 2801	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝐷)) = ((bra‘𝐴)‘(((bra‘𝐶)‘𝐷) ·ℎ 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  ℂcc 11211   · cmul 11218   ℋchba 31536   ·_ℎ csm 31538  LinFnclf 31571  bracbr 31573

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-hilex 31616  ax-hfvadd 31617  ax-hv0cl 31620  ax-hvaddid 31621  ax-hfvmul 31622  ax-hvmulid 31623  ax-hfi 31696  ax-his2 31700  ax-his3 31701

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8731  df-map 8863  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-ltxr 11361  df-sub 11556  df-lnfn 32465  df-bra 32467

This theorem is used by: (None)