Theorem kbass4 32164

Description: Dirac bra-ket associative law ⟨𝐴 ∣ 𝐵⟩⟨𝐶 ∣ 𝐷⟩ = ⟨𝐴 ∣ ( ∣ 𝐵⟩⟨𝐶 ∣ 𝐷⟩). (Contributed by NM, 30-May-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
kbass4	⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝐷)) = ((bra‘𝐴)‘(((bra‘𝐶)‘𝐷) ·ℎ 𝐵)))

Proof of Theorem kbass4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bracl 31994	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℂ)
2		bracl 31994	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐶)‘𝐷) ∈ ℂ)
3		mulcom 11248	. . 3 ⊢ ((((bra‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℂ ∧ ((bra‘𝐶)‘𝐷) ∈ ℂ) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝐷)) = (((bra‘𝐶)‘𝐷) · ((bra‘𝐴)‘𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2an 596	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝐷)) = (((bra‘𝐶)‘𝐷) · ((bra‘𝐴)‘𝐵)))
5		bralnfn 31993	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (bra‘𝐴) ∈ LinFn)
6	5	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (bra‘𝐴) ∈ LinFn)
7	2	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((bra‘𝐶)‘𝐷) ∈ ℂ)
8		simplr 769	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → 𝐵 ∈ ℋ)
9		lnfnmul 32093	. . 3 ⊢ (((bra‘𝐴) ∈ LinFn ∧ ((bra‘𝐶)‘𝐷) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘(((bra‘𝐶)‘𝐷) ·ℎ 𝐵)) = (((bra‘𝐶)‘𝐷) · ((bra‘𝐴)‘𝐵)))
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1372	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((bra‘𝐴)‘(((bra‘𝐶)‘𝐷) ·ℎ 𝐵)) = (((bra‘𝐶)‘𝐷) · ((bra‘𝐴)‘𝐵)))
11	4, 10	eqtr4d 2780	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝐷)) = ((bra‘𝐴)‘(((bra‘𝐶)‘𝐷) ·ℎ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6569  (class class class)co 7438  ℂcc 11160   · cmul 11167   ℋchba 30964   ·_ℎ csm 30966  LinFnclf 30999  bracbr 31001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5288  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238  ax-hilex 31044  ax-hfvadd 31045  ax-hv0cl 31048  ax-hvaddid 31049  ax-hfvmul 31050  ax-hvmulid 31051  ax-hfi 31124  ax-his2 31128  ax-his3 31129

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-id 5587  df-po 5601  df-so 5602  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-er 8753  df-map 8876  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-ltxr 11307  df-sub 11501  df-lnfn 31893  df-bra 31895

This theorem is referenced by: (None)