Theorem kbass4 32208

Description: Dirac bra-ket associative law ⟨𝐴 ∣ 𝐵⟩⟨𝐶 ∣ 𝐷⟩ = ⟨𝐴 ∣ ( ∣ 𝐵⟩⟨𝐶 ∣ 𝐷⟩). (Contributed by NM, 30-May-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
kbass4	⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝐷)) = ((bra‘𝐴)‘(((bra‘𝐶)‘𝐷) ·ℎ 𝐵)))

Proof of Theorem kbass4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bracl 32038	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℂ)
2		bracl 32038	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐶)‘𝐷) ∈ ℂ)
3		mulcom 11115	. . 3 ⊢ ((((bra‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℂ ∧ ((bra‘𝐶)‘𝐷) ∈ ℂ) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝐷)) = (((bra‘𝐶)‘𝐷) · ((bra‘𝐴)‘𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2an 602	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝐷)) = (((bra‘𝐶)‘𝐷) · ((bra‘𝐴)‘𝐵)))
5		bralnfn 32037	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (bra‘𝐴) ∈ LinFn)
6	5	ad2antrr 732	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (bra‘𝐴) ∈ LinFn)
7	2	adantl 482	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((bra‘𝐶)‘𝐷) ∈ ℂ)
8		simplr 774	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → 𝐵 ∈ ℋ)
9		lnfnmul 32137	. . 3 ⊢ (((bra‘𝐴) ∈ LinFn ∧ ((bra‘𝐶)‘𝐷) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘(((bra‘𝐶)‘𝐷) ·ℎ 𝐵)) = (((bra‘𝐶)‘𝐷) · ((bra‘𝐴)‘𝐵)))
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1379	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((bra‘𝐴)‘(((bra‘𝐶)‘𝐷) ·ℎ 𝐵)) = (((bra‘𝐶)‘𝐷) · ((bra‘𝐴)‘𝐵)))
11	4, 10	eqtr4d 2777	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝐷)) = ((bra‘𝐴)‘(((bra‘𝐶)‘𝐷) ·ℎ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℂcc 11027   · cmul 11034   ℋchba 31008   ·_ℎ csm 31010  LinFnclf 31043  bracbr 31045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-hilex 31088  ax-hfvadd 31089  ax-hv0cl 31092  ax-hvaddid 31093  ax-hfvmul 31094  ax-hvmulid 31095  ax-hfi 31168  ax-his2 31172  ax-his3 31173

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370  df-lnfn 31937  df-bra 31939

This theorem is referenced by: (None)