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Theorem kbass2 31101
Description: Dirac bra-ket associative law (⟨𝐴 ∣ 𝐡⟩)⟨𝐢 ∣ = ⟨𝐴 ∣ ( ∣ 𝐡⟩⟨𝐢 ∣ ), i.e., the juxtaposition of an inner product with a bra equals a ket juxtaposed with an outer product. (Contributed by NM, 23-May-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
kbass2 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) β†’ (((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β·fn (braβ€˜πΆ)) = ((braβ€˜π΄) ∘ (𝐡 ketbra 𝐢)))

Proof of Theorem kbass2
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 7391 . . . 4 (((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β· ((braβ€˜πΆ)β€˜π‘₯)) ∈ V
2 eqid 2733 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β· ((braβ€˜πΆ)β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β· ((braβ€˜πΆ)β€˜π‘₯)))
31, 2fnmpti 6645 . . 3 (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β· ((braβ€˜πΆ)β€˜π‘₯))) Fn β„‹
4 bracl 30933 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ ((braβ€˜π΄)β€˜π΅) ∈ β„‚)
5 brafn 30931 . . . . . 6 (𝐢 ∈ β„‹ β†’ (braβ€˜πΆ): β„‹βŸΆβ„‚)
6 hfmmval 30723 . . . . . 6 ((((braβ€˜π΄)β€˜π΅) ∈ β„‚ ∧ (braβ€˜πΆ): β„‹βŸΆβ„‚) β†’ (((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β·fn (braβ€˜πΆ)) = (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β· ((braβ€˜πΆ)β€˜π‘₯))))
74, 5, 6syl2an 597 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) ∧ 𝐢 ∈ β„‹) β†’ (((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β·fn (braβ€˜πΆ)) = (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β· ((braβ€˜πΆ)β€˜π‘₯))))
873impa 1111 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) β†’ (((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β·fn (braβ€˜πΆ)) = (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β· ((braβ€˜πΆ)β€˜π‘₯))))
98fneq1d 6596 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) β†’ ((((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β·fn (braβ€˜πΆ)) Fn β„‹ ↔ (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β· ((braβ€˜πΆ)β€˜π‘₯))) Fn β„‹))
103, 9mpbiri 258 . 2 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) β†’ (((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β·fn (braβ€˜πΆ)) Fn β„‹)
11 brafn 30931 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‹ β†’ (braβ€˜π΄): β„‹βŸΆβ„‚)
12 kbop 30937 . . . . 5 ((𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) β†’ (𝐡 ketbra 𝐢): β„‹βŸΆ β„‹)
13 fco 6693 . . . . 5 (((braβ€˜π΄): β„‹βŸΆβ„‚ ∧ (𝐡 ketbra 𝐢): β„‹βŸΆ β„‹) β†’ ((braβ€˜π΄) ∘ (𝐡 ketbra 𝐢)): β„‹βŸΆβ„‚)
1411, 12, 13syl2an 597 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ (𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹)) β†’ ((braβ€˜π΄) ∘ (𝐡 ketbra 𝐢)): β„‹βŸΆβ„‚)
15143impb 1116 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) β†’ ((braβ€˜π΄) ∘ (𝐡 ketbra 𝐢)): β„‹βŸΆβ„‚)
1615ffnd 6670 . 2 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) β†’ ((braβ€˜π΄) ∘ (𝐡 ketbra 𝐢)) Fn β„‹)
17 simpl1 1192 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ 𝐴 ∈ β„‹)
18 simpl2 1193 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ 𝐡 ∈ β„‹)
19 braval 30928 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ ((braβ€˜π΄)β€˜π΅) = (𝐡 Β·ih 𝐴))
2017, 18, 19syl2anc 585 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((braβ€˜π΄)β€˜π΅) = (𝐡 Β·ih 𝐴))
21 simpl3 1194 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ 𝐢 ∈ β„‹)
22 simpr 486 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ π‘₯ ∈ β„‹)
23 braval 30928 . . . . 5 ((𝐢 ∈ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((braβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) = (π‘₯ Β·ih 𝐢))
2421, 22, 23syl2anc 585 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((braβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) = (π‘₯ Β·ih 𝐢))
2520, 24oveq12d 7376 . . 3 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β· ((braβ€˜πΆ)β€˜π‘₯)) = ((𝐡 Β·ih 𝐴) Β· (π‘₯ Β·ih 𝐢)))
26 hicl 30064 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐴 ∈ β„‹) β†’ (𝐡 Β·ih 𝐴) ∈ β„‚)
2718, 17, 26syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (𝐡 Β·ih 𝐴) ∈ β„‚)
2820, 27eqeltrd 2834 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((braβ€˜π΄)β€˜π΅) ∈ β„‚)
2921, 5syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (braβ€˜πΆ): β„‹βŸΆβ„‚)
30 hfmval 30728 . . . 4 ((((braβ€˜π΄)β€˜π΅) ∈ β„‚ ∧ (braβ€˜πΆ): β„‹βŸΆβ„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β·fn (braβ€˜πΆ))β€˜π‘₯) = (((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β· ((braβ€˜πΆ)β€˜π‘₯)))
3128, 29, 22, 30syl3anc 1372 . . 3 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β·fn (braβ€˜πΆ))β€˜π‘₯) = (((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β· ((braβ€˜πΆ)β€˜π‘₯)))
32 hicl 30064 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·ih 𝐢) ∈ β„‚)
3322, 21, 32syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·ih 𝐢) ∈ β„‚)
34 ax-his3 30068 . . . . 5 (((π‘₯ Β·ih 𝐢) ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐴 ∈ β„‹) β†’ (((π‘₯ Β·ih 𝐢) Β·β„Ž 𝐡) Β·ih 𝐴) = ((π‘₯ Β·ih 𝐢) Β· (𝐡 Β·ih 𝐴)))
3533, 18, 17, 34syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (((π‘₯ Β·ih 𝐢) Β·β„Ž 𝐡) Β·ih 𝐴) = ((π‘₯ Β·ih 𝐢) Β· (𝐡 Β·ih 𝐴)))
36123adant1 1131 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) β†’ (𝐡 ketbra 𝐢): β„‹βŸΆ β„‹)
37 fvco3 6941 . . . . . 6 (((𝐡 ketbra 𝐢): β„‹βŸΆ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (((braβ€˜π΄) ∘ (𝐡 ketbra 𝐢))β€˜π‘₯) = ((braβ€˜π΄)β€˜((𝐡 ketbra 𝐢)β€˜π‘₯)))
3836, 37sylan 581 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (((braβ€˜π΄) ∘ (𝐡 ketbra 𝐢))β€˜π‘₯) = ((braβ€˜π΄)β€˜((𝐡 ketbra 𝐢)β€˜π‘₯)))
39 kbval 30938 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((𝐡 ketbra 𝐢)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ Β·ih 𝐢) Β·β„Ž 𝐡))
4018, 21, 22, 39syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((𝐡 ketbra 𝐢)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ Β·ih 𝐢) Β·β„Ž 𝐡))
4140fveq2d 6847 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((braβ€˜π΄)β€˜((𝐡 ketbra 𝐢)β€˜π‘₯)) = ((braβ€˜π΄)β€˜((π‘₯ Β·ih 𝐢) Β·β„Ž 𝐡)))
42 hvmulcl 29997 . . . . . . 7 (((π‘₯ Β·ih 𝐢) ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ ((π‘₯ Β·ih 𝐢) Β·β„Ž 𝐡) ∈ β„‹)
4333, 18, 42syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((π‘₯ Β·ih 𝐢) Β·β„Ž 𝐡) ∈ β„‹)
44 braval 30928 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ ((π‘₯ Β·ih 𝐢) Β·β„Ž 𝐡) ∈ β„‹) β†’ ((braβ€˜π΄)β€˜((π‘₯ Β·ih 𝐢) Β·β„Ž 𝐡)) = (((π‘₯ Β·ih 𝐢) Β·β„Ž 𝐡) Β·ih 𝐴))
4517, 43, 44syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((braβ€˜π΄)β€˜((π‘₯ Β·ih 𝐢) Β·β„Ž 𝐡)) = (((π‘₯ Β·ih 𝐢) Β·β„Ž 𝐡) Β·ih 𝐴))
4638, 41, 453eqtrd 2777 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (((braβ€˜π΄) ∘ (𝐡 ketbra 𝐢))β€˜π‘₯) = (((π‘₯ Β·ih 𝐢) Β·β„Ž 𝐡) Β·ih 𝐴))
4727, 33mulcomd 11181 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((𝐡 Β·ih 𝐴) Β· (π‘₯ Β·ih 𝐢)) = ((π‘₯ Β·ih 𝐢) Β· (𝐡 Β·ih 𝐴)))
4835, 46, 473eqtr4d 2783 . . 3 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (((braβ€˜π΄) ∘ (𝐡 ketbra 𝐢))β€˜π‘₯) = ((𝐡 Β·ih 𝐴) Β· (π‘₯ Β·ih 𝐢)))
4925, 31, 483eqtr4d 2783 . 2 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β·fn (braβ€˜πΆ))β€˜π‘₯) = (((braβ€˜π΄) ∘ (𝐡 ketbra 𝐢))β€˜π‘₯))
5010, 16, 49eqfnfvd 6986 1 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) β†’ (((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β·fn (braβ€˜πΆ)) = ((braβ€˜π΄) ∘ (𝐡 ketbra 𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ↦ cmpt 5189   ∘ ccom 5638   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054   Β· cmul 11061   β„‹chba 29903   Β·β„Ž csm 29905   Β·ih csp 29906   Β·fn chft 29926  bracbr 29940   ketbra ck 29941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-mulcom 11120  ax-hilex 29983  ax-hfvmul 29989  ax-hfi 30063  ax-his3 30068
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-map 8770  df-hfmul 30718  df-bra 30834  df-kb 30835
This theorem is referenced by:  kbass6  31105
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