Theorem kbass2 32720

Description: Dirac bra-ket associative law (⟨𝐴 ∣ 𝐵⟩)⟨𝐶 ∣ = ⟨𝐴 ∣ ( ∣ 𝐵⟩⟨𝐶 ∣ ), i.e., the juxtaposition of an inner product with a bra equals a ket juxtaposed with an outer product. (Contributed by NM, 23-May-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
kbass2	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶)) = ((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶)))

Proof of Theorem kbass2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7453	. . . 4 ⊢ (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥)) ∈ V
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ ↦ (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥)))
3	1, 2	fnmpti 6682	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ ↦ (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥))) Fn ℋ
4		bracl 32552	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℂ)
5		brafn 32550	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (bra‘𝐶): ℋ⟶ℂ)
6		hfmmval 32342	. . . . . 6 ⊢ ((((bra‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (bra‘𝐶): ℋ⟶ℂ) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥))))
7	4, 5, 6	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥))))
8	7	3impa 1127	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥))))
9	8	fneq1d 6632	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶)) Fn ℋ ↔ (𝑥 ∈ ℋ ↦ (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥))) Fn ℋ))
10	3, 9	mpbiri 261	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶)) Fn ℋ)
11		brafn 32550	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (bra‘𝐴): ℋ⟶ℂ)
12		kbop 32556	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ketbra 𝐶): ℋ⟶ ℋ)
13		fco 6734	. . . . 5 ⊢ (((bra‘𝐴): ℋ⟶ℂ ∧ (𝐵 ketbra 𝐶): ℋ⟶ ℋ) → ((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶)): ℋ⟶ℂ)
14	11, 12, 13	syl2an 608	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ)) → ((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶)): ℋ⟶ℂ)
15	14	3impb 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶)): ℋ⟶ℂ)
16	15	ffnd 6710	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶)) Fn ℋ)
17		simpl1 1210	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐴 ∈ ℋ)
18		simpl2 1211	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐵 ∈ ℋ)
19		braval 32547	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘𝐵) = (𝐵 ·ih 𝐴))
20	17, 18, 19	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘𝐵) = (𝐵 ·ih 𝐴))
21		simpl3 1212	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐶 ∈ ℋ)
22		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
23		braval 32547	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐶)‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝐶))
24	21, 22, 23	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐶)‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝐶))
25	20, 24	oveq12d 7438	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥)) = ((𝐵 ·ih 𝐴) · (𝑥 ·ih 𝐶)))
26		hicl 31683	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
27	18, 17, 26	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
28	20, 27	eqeltrd 2860	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℂ)
29	21, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (bra‘𝐶): ℋ⟶ℂ)
30		hfmval 32347	. . . 4 ⊢ ((((bra‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (bra‘𝐶): ℋ⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶))‘𝑥) = (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥)))
31	28, 29, 22, 30	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶))‘𝑥) = (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥)))
32		hicl 31683	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝐶) ∈ ℂ)
33	22, 21, 32	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝐶) ∈ ℂ)
34		ax-his3 31687	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ·ih 𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐴) = ((𝑥 ·ih 𝐶) · (𝐵 ·ih 𝐴)))
35	33, 18, 17, 34	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐴) = ((𝑥 ·ih 𝐶) · (𝐵 ·ih 𝐴)))
36	12	3adant1 1148	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ketbra 𝐶): ℋ⟶ ℋ)
37		fvco3 6985	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ketbra 𝐶): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶))‘𝑥) = ((bra‘𝐴)‘((𝐵 ketbra 𝐶)‘𝑥)))
38	36, 37	sylan 592	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶))‘𝑥) = ((bra‘𝐴)‘((𝐵 ketbra 𝐶)‘𝑥)))
39		kbval 32557	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐵 ketbra 𝐶)‘𝑥) = ((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵))
40	18, 21, 22, 39	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐵 ketbra 𝐶)‘𝑥) = ((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵))
41	40	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘((𝐵 ketbra 𝐶)‘𝑥)) = ((bra‘𝐴)‘((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵)))
42		hvmulcl 31616	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ·ih 𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
43	33, 18, 42	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
44		braval 32547	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵)) = (((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐴))
45	17, 43, 44	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵)) = (((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐴))
46	38, 41, 45	3eqtrd 2799	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶))‘𝑥) = (((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐴))
47	27, 33	mulcomd 11331	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐵 ·ih 𝐴) · (𝑥 ·ih 𝐶)) = ((𝑥 ·ih 𝐶) · (𝐵 ·ih 𝐴)))
48	35, 46, 47	3eqtr4d 2805	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶))‘𝑥) = ((𝐵 ·ih 𝐴) · (𝑥 ·ih 𝐶)))
49	25, 31, 48	3eqtr4d 2805	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶))‘𝑥) = (((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶))‘𝑥))
50	10, 16, 49	eqfnfvd 7032	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶)) = ((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ↦ cmpt 5185   ∘ ccom 5654   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11199   · cmul 11206   ℋchba 31522   ·_ℎ csm 31524   ·_ih csp 31525   ·_fn chft 31545  bracbr 31559   ketbra ck 31560

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-mulcom 11265  ax-hilex 31602  ax-hfvmul 31608  ax-hfi 31682  ax-his3 31687

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-map 8850  df-hfmul 32337  df-bra 32453  df-kb 32454

This theorem is used by:  kbass6  32724