Theorem kbass2 32046

Description: Dirac bra-ket associative law (⟨𝐴 ∣ 𝐵⟩)⟨𝐶 ∣ = ⟨𝐴 ∣ ( ∣ 𝐵⟩⟨𝐶 ∣ ), i.e., the juxtaposition of an inner product with a bra equals a ket juxtaposed with an outer product. (Contributed by NM, 23-May-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
kbass2	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶)) = ((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶)))

Proof of Theorem kbass2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7420	. . . 4 ⊢ (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥)) ∈ V
2		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ ↦ (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥)))
3	1, 2	fnmpti 6661	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ ↦ (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥))) Fn ℋ
4		bracl 31878	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℂ)
5		brafn 31876	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (bra‘𝐶): ℋ⟶ℂ)
6		hfmmval 31668	. . . . . 6 ⊢ ((((bra‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (bra‘𝐶): ℋ⟶ℂ) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥))))
7	4, 5, 6	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥))))
8	7	3impa 1109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥))))
9	8	fneq1d 6611	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶)) Fn ℋ ↔ (𝑥 ∈ ℋ ↦ (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥))) Fn ℋ))
10	3, 9	mpbiri 258	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶)) Fn ℋ)
11		brafn 31876	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (bra‘𝐴): ℋ⟶ℂ)
12		kbop 31882	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ketbra 𝐶): ℋ⟶ ℋ)
13		fco 6712	. . . . 5 ⊢ (((bra‘𝐴): ℋ⟶ℂ ∧ (𝐵 ketbra 𝐶): ℋ⟶ ℋ) → ((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶)): ℋ⟶ℂ)
14	11, 12, 13	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ)) → ((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶)): ℋ⟶ℂ)
15	14	3impb 1114	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶)): ℋ⟶ℂ)
16	15	ffnd 6689	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶)) Fn ℋ)
17		simpl1 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐴 ∈ ℋ)
18		simpl2 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐵 ∈ ℋ)
19		braval 31873	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘𝐵) = (𝐵 ·ih 𝐴))
20	17, 18, 19	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘𝐵) = (𝐵 ·ih 𝐴))
21		simpl3 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐶 ∈ ℋ)
22		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
23		braval 31873	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐶)‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝐶))
24	21, 22, 23	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐶)‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝐶))
25	20, 24	oveq12d 7405	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥)) = ((𝐵 ·ih 𝐴) · (𝑥 ·ih 𝐶)))
26		hicl 31009	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
27	18, 17, 26	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
28	20, 27	eqeltrd 2828	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℂ)
29	21, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (bra‘𝐶): ℋ⟶ℂ)
30		hfmval 31673	. . . 4 ⊢ ((((bra‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (bra‘𝐶): ℋ⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶))‘𝑥) = (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥)))
31	28, 29, 22, 30	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶))‘𝑥) = (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥)))
32		hicl 31009	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝐶) ∈ ℂ)
33	22, 21, 32	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝐶) ∈ ℂ)
34		ax-his3 31013	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ·ih 𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐴) = ((𝑥 ·ih 𝐶) · (𝐵 ·ih 𝐴)))
35	33, 18, 17, 34	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐴) = ((𝑥 ·ih 𝐶) · (𝐵 ·ih 𝐴)))
36	12	3adant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ketbra 𝐶): ℋ⟶ ℋ)
37		fvco3 6960	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ketbra 𝐶): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶))‘𝑥) = ((bra‘𝐴)‘((𝐵 ketbra 𝐶)‘𝑥)))
38	36, 37	sylan 580	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶))‘𝑥) = ((bra‘𝐴)‘((𝐵 ketbra 𝐶)‘𝑥)))
39		kbval 31883	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐵 ketbra 𝐶)‘𝑥) = ((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵))
40	18, 21, 22, 39	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐵 ketbra 𝐶)‘𝑥) = ((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵))
41	40	fveq2d 6862	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘((𝐵 ketbra 𝐶)‘𝑥)) = ((bra‘𝐴)‘((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵)))
42		hvmulcl 30942	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ·ih 𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
43	33, 18, 42	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
44		braval 31873	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵)) = (((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐴))
45	17, 43, 44	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵)) = (((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐴))
46	38, 41, 45	3eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶))‘𝑥) = (((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐴))
47	27, 33	mulcomd 11195	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐵 ·ih 𝐴) · (𝑥 ·ih 𝐶)) = ((𝑥 ·ih 𝐶) · (𝐵 ·ih 𝐴)))
48	35, 46, 47	3eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶))‘𝑥) = ((𝐵 ·ih 𝐴) · (𝑥 ·ih 𝐶)))
49	25, 31, 48	3eqtr4d 2774	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶))‘𝑥) = (((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶))‘𝑥))
50	10, 16, 49	eqfnfvd 7006	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶)) = ((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ↦ cmpt 5188   ∘ ccom 5642   Fn wfn 6506  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066   · cmul 11073   ℋchba 30848   ·_ℎ csm 30850   ·_ih csp 30851   ·_fn chft 30871  bracbr 30885   ketbra ck 30886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-mulcom 11132  ax-hilex 30928  ax-hfvmul 30934  ax-hfi 31008  ax-his3 31013

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-map 8801  df-hfmul 31663  df-bra 31779  df-kb 31780

This theorem is referenced by:  kbass6  32050