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Theorem kbass2 31357
Description: Dirac bra-ket associative law (⟨𝐴 ∣ 𝐡⟩)⟨𝐢 ∣ = ⟨𝐴 ∣ ( ∣ 𝐡⟩⟨𝐢 ∣ ), i.e., the juxtaposition of an inner product with a bra equals a ket juxtaposed with an outer product. (Contributed by NM, 23-May-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
kbass2 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) β†’ (((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β·fn (braβ€˜πΆ)) = ((braβ€˜π΄) ∘ (𝐡 ketbra 𝐢)))
Proof of Theorem kbass2
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 7438 . . . 4 (((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β· ((braβ€˜πΆ)β€˜π‘₯)) ∈ V
2 eqid 2732 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β· ((braβ€˜πΆ)β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β· ((braβ€˜πΆ)β€˜π‘₯)))
31, 2fnmpti 6690 . . 3 (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β· ((braβ€˜πΆ)β€˜π‘₯))) Fn β„‹
4 bracl 31189 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ ((braβ€˜π΄)β€˜π΅) ∈ β„‚)
5 brafn 31187 . . . . . 6 (𝐢 ∈ β„‹ β†’ (braβ€˜πΆ): β„‹βŸΆβ„‚)
6 hfmmval 30979 . . . . . 6 ((((braβ€˜π΄)β€˜π΅) ∈ β„‚ ∧ (braβ€˜πΆ): β„‹βŸΆβ„‚) β†’ (((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β·fn (braβ€˜πΆ)) = (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β· ((braβ€˜πΆ)β€˜π‘₯))))
74, 5, 6syl2an 596 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) ∧ 𝐢 ∈ β„‹) β†’ (((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β·fn (braβ€˜πΆ)) = (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β· ((braβ€˜πΆ)β€˜π‘₯))))
873impa 1110 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) β†’ (((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β·fn (braβ€˜πΆ)) = (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β· ((braβ€˜πΆ)β€˜π‘₯))))
98fneq1d 6639 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) β†’ ((((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β·fn (braβ€˜πΆ)) Fn β„‹ ↔ (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β· ((braβ€˜πΆ)β€˜π‘₯))) Fn β„‹))
103, 9mpbiri 257 . 2 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) β†’ (((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β·fn (braβ€˜πΆ)) Fn β„‹)
11 brafn 31187 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‹ β†’ (braβ€˜π΄): β„‹βŸΆβ„‚)
12 kbop 31193 . . . . 5 ((𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) β†’ (𝐡 ketbra 𝐢): β„‹βŸΆ β„‹)
13 fco 6738 . . . . 5 (((braβ€˜π΄): β„‹βŸΆβ„‚ ∧ (𝐡 ketbra 𝐢): β„‹βŸΆ β„‹) β†’ ((braβ€˜π΄) ∘ (𝐡 ketbra 𝐢)): β„‹βŸΆβ„‚)
1411, 12, 13syl2an 596 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ (𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹)) β†’ ((braβ€˜π΄) ∘ (𝐡 ketbra 𝐢)): β„‹βŸΆβ„‚)
15143impb 1115 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) β†’ ((braβ€˜π΄) ∘ (𝐡 ketbra 𝐢)): β„‹βŸΆβ„‚)
1615ffnd 6715 . 2 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) β†’ ((braβ€˜π΄) ∘ (𝐡 ketbra 𝐢)) Fn β„‹)
17 simpl1 1191 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ 𝐴 ∈ β„‹)
18 simpl2 1192 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ 𝐡 ∈ β„‹)
19 braval 31184 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ ((braβ€˜π΄)β€˜π΅) = (𝐡 Β·ih 𝐴))
2017, 18, 19syl2anc 584 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((braβ€˜π΄)β€˜π΅) = (𝐡 Β·ih 𝐴))
21 simpl3 1193 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ 𝐢 ∈ β„‹)
22 simpr 485 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ π‘₯ ∈ β„‹)
23 braval 31184 . . . . 5 ((𝐢 ∈ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((braβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) = (π‘₯ Β·ih 𝐢))
2421, 22, 23syl2anc 584 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((braβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) = (π‘₯ Β·ih 𝐢))
2520, 24oveq12d 7423 . . 3 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β· ((braβ€˜πΆ)β€˜π‘₯)) = ((𝐡 Β·ih 𝐴) Β· (π‘₯ Β·ih 𝐢)))
26 hicl 30320 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐴 ∈ β„‹) β†’ (𝐡 Β·ih 𝐴) ∈ β„‚)
2718, 17, 26syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (𝐡 Β·ih 𝐴) ∈ β„‚)
2820, 27eqeltrd 2833 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((braβ€˜π΄)β€˜π΅) ∈ β„‚)
2921, 5syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (braβ€˜πΆ): β„‹βŸΆβ„‚)
30 hfmval 30984 . . . 4 ((((braβ€˜π΄)β€˜π΅) ∈ β„‚ ∧ (braβ€˜πΆ): β„‹βŸΆβ„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β·fn (braβ€˜πΆ))β€˜π‘₯) = (((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β· ((braβ€˜πΆ)β€˜π‘₯)))
3128, 29, 22, 30syl3anc 1371 . . 3 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β·fn (braβ€˜πΆ))β€˜π‘₯) = (((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β· ((braβ€˜πΆ)β€˜π‘₯)))
32 hicl 30320 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·ih 𝐢) ∈ β„‚)
3322, 21, 32syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·ih 𝐢) ∈ β„‚)
34 ax-his3 30324 . . . . 5 (((π‘₯ Β·ih 𝐢) ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐴 ∈ β„‹) β†’ (((π‘₯ Β·ih 𝐢) Β·β„Ž 𝐡) Β·ih 𝐴) = ((π‘₯ Β·ih 𝐢) Β· (𝐡 Β·ih 𝐴)))
3533, 18, 17, 34syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (((π‘₯ Β·ih 𝐢) Β·β„Ž 𝐡) Β·ih 𝐴) = ((π‘₯ Β·ih 𝐢) Β· (𝐡 Β·ih 𝐴)))
36123adant1 1130 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) β†’ (𝐡 ketbra 𝐢): β„‹βŸΆ β„‹)
37 fvco3 6987 . . . . . 6 (((𝐡 ketbra 𝐢): β„‹βŸΆ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (((braβ€˜π΄) ∘ (𝐡 ketbra 𝐢))β€˜π‘₯) = ((braβ€˜π΄)β€˜((𝐡 ketbra 𝐢)β€˜π‘₯)))
3836, 37sylan 580 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (((braβ€˜π΄) ∘ (𝐡 ketbra 𝐢))β€˜π‘₯) = ((braβ€˜π΄)β€˜((𝐡 ketbra 𝐢)β€˜π‘₯)))
39 kbval 31194 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((𝐡 ketbra 𝐢)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ Β·ih 𝐢) Β·β„Ž 𝐡))
4018, 21, 22, 39syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((𝐡 ketbra 𝐢)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ Β·ih 𝐢) Β·β„Ž 𝐡))
4140fveq2d 6892 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((braβ€˜π΄)β€˜((𝐡 ketbra 𝐢)β€˜π‘₯)) = ((braβ€˜π΄)β€˜((π‘₯ Β·ih 𝐢) Β·β„Ž 𝐡)))
42 hvmulcl 30253 . . . . . . 7 (((π‘₯ Β·ih 𝐢) ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ ((π‘₯ Β·ih 𝐢) Β·β„Ž 𝐡) ∈ β„‹)
4333, 18, 42syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((π‘₯ Β·ih 𝐢) Β·β„Ž 𝐡) ∈ β„‹)
44 braval 31184 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ ((π‘₯ Β·ih 𝐢) Β·β„Ž 𝐡) ∈ β„‹) β†’ ((braβ€˜π΄)β€˜((π‘₯ Β·ih 𝐢) Β·β„Ž 𝐡)) = (((π‘₯ Β·ih 𝐢) Β·β„Ž 𝐡) Β·ih 𝐴))
4517, 43, 44syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((braβ€˜π΄)β€˜((π‘₯ Β·ih 𝐢) Β·β„Ž 𝐡)) = (((π‘₯ Β·ih 𝐢) Β·β„Ž 𝐡) Β·ih 𝐴))
4638, 41, 453eqtrd 2776 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (((braβ€˜π΄) ∘ (𝐡 ketbra 𝐢))β€˜π‘₯) = (((π‘₯ Β·ih 𝐢) Β·β„Ž 𝐡) Β·ih 𝐴))
4727, 33mulcomd 11231 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((𝐡 Β·ih 𝐴) Β· (π‘₯ Β·ih 𝐢)) = ((π‘₯ Β·ih 𝐢) Β· (𝐡 Β·ih 𝐴)))
4835, 46, 473eqtr4d 2782 . . 3 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (((braβ€˜π΄) ∘ (𝐡 ketbra 𝐢))β€˜π‘₯) = ((𝐡 Β·ih 𝐴) Β· (π‘₯ Β·ih 𝐢)))
4925, 31, 483eqtr4d 2782 . 2 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β·fn (braβ€˜πΆ))β€˜π‘₯) = (((braβ€˜π΄) ∘ (𝐡 ketbra 𝐢))β€˜π‘₯))
5010, 16, 49eqfnfvd 7032 1 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) β†’ (((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β·fn (braβ€˜πΆ)) = ((braβ€˜π΄) ∘ (𝐡 ketbra 𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ↦ cmpt 5230   ∘ ccom 5679   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104   Β· cmul 11111   β„‹chba 30159   Β·β„Ž csm 30161   Β·ih csp 30162   Β·fn chft 30182  bracbr 30196   ketbra ck 30197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-mulcom 11170  ax-hilex 30239  ax-hfvmul 30245  ax-hfi 30319  ax-his3 30324
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-map 8818  df-hfmul 30974  df-bra 31090  df-kb 31091
This theorem is referenced by:  kbass6  31361
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