Theorem kbass2 32378

Description: Dirac bra-ket associative law (⟨𝐴 ∣ 𝐵⟩)⟨𝐶 ∣ = ⟨𝐴 ∣ ( ∣ 𝐵⟩⟨𝐶 ∣ ), i.e., the juxtaposition of an inner product with a bra equals a ket juxtaposed with an outer product. (Contributed by NM, 23-May-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
kbass2	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶)) = ((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶)))

Proof of Theorem kbass2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7433	. . . 4 ⊢ (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥)) ∈ V
2		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ ↦ (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥)))
3	1, 2	fnmpti 6668	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ ↦ (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥))) Fn ℋ
4		bracl 32210	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℂ)
5		brafn 32208	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (bra‘𝐶): ℋ⟶ℂ)
6		hfmmval 32000	. . . . . 6 ⊢ ((((bra‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (bra‘𝐶): ℋ⟶ℂ) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥))))
7	4, 5, 6	syl2an 607	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥))))
8	7	3impa 1125	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥))))
9	8	fneq1d 6618	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶)) Fn ℋ ↔ (𝑥 ∈ ℋ ↦ (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥))) Fn ℋ))
10	3, 9	mpbiri 261	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶)) Fn ℋ)
11		brafn 32208	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (bra‘𝐴): ℋ⟶ℂ)
12		kbop 32214	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ketbra 𝐶): ℋ⟶ ℋ)
13		fco 6720	. . . . 5 ⊢ (((bra‘𝐴): ℋ⟶ℂ ∧ (𝐵 ketbra 𝐶): ℋ⟶ ℋ) → ((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶)): ℋ⟶ℂ)
14	11, 12, 13	syl2an 607	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ)) → ((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶)): ℋ⟶ℂ)
15	14	3impb 1130	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶)): ℋ⟶ℂ)
16	15	ffnd 6696	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶)) Fn ℋ)
17		simpl1 1208	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐴 ∈ ℋ)
18		simpl2 1209	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐵 ∈ ℋ)
19		braval 32205	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘𝐵) = (𝐵 ·ih 𝐴))
20	17, 18, 19	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘𝐵) = (𝐵 ·ih 𝐴))
21		simpl3 1210	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐶 ∈ ℋ)
22		simpr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
23		braval 32205	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐶)‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝐶))
24	21, 22, 23	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐶)‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝐶))
25	20, 24	oveq12d 7418	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥)) = ((𝐵 ·ih 𝐴) · (𝑥 ·ih 𝐶)))
26		hicl 31341	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
27	18, 17, 26	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
28	20, 27	eqeltrd 2865	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℂ)
29	21, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (bra‘𝐶): ℋ⟶ℂ)
30		hfmval 32005	. . . 4 ⊢ ((((bra‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (bra‘𝐶): ℋ⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶))‘𝑥) = (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥)))
31	28, 29, 22, 30	syl3anc 1394	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶))‘𝑥) = (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥)))
32		hicl 31341	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝐶) ∈ ℂ)
33	22, 21, 32	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝐶) ∈ ℂ)
34		ax-his3 31345	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ·ih 𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐴) = ((𝑥 ·ih 𝐶) · (𝐵 ·ih 𝐴)))
35	33, 18, 17, 34	syl3anc 1394	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐴) = ((𝑥 ·ih 𝐶) · (𝐵 ·ih 𝐴)))
36	12	3adant1 1146	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ketbra 𝐶): ℋ⟶ ℋ)
37		fvco3 6971	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ketbra 𝐶): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶))‘𝑥) = ((bra‘𝐴)‘((𝐵 ketbra 𝐶)‘𝑥)))
38	36, 37	sylan 591	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶))‘𝑥) = ((bra‘𝐴)‘((𝐵 ketbra 𝐶)‘𝑥)))
39		kbval 32215	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐵 ketbra 𝐶)‘𝑥) = ((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵))
40	18, 21, 22, 39	syl3anc 1394	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐵 ketbra 𝐶)‘𝑥) = ((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵))
41	40	fveq2d 6875	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘((𝐵 ketbra 𝐶)‘𝑥)) = ((bra‘𝐴)‘((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵)))
42		hvmulcl 31274	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ·ih 𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
43	33, 18, 42	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
44		braval 32205	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵)) = (((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐴))
45	17, 43, 44	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵)) = (((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐴))
46	38, 41, 45	3eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶))‘𝑥) = (((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐴))
47	27, 33	mulcomd 11218	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐵 ·ih 𝐴) · (𝑥 ·ih 𝐶)) = ((𝑥 ·ih 𝐶) · (𝐵 ·ih 𝐴)))
48	35, 46, 47	3eqtr4d 2810	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶))‘𝑥) = ((𝐵 ·ih 𝐴) · (𝑥 ·ih 𝐶)))
49	25, 31, 48	3eqtr4d 2810	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶))‘𝑥) = (((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶))‘𝑥))
50	10, 16, 49	eqfnfvd 7018	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶)) = ((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ↦ cmpt 5186   ∘ ccom 5656   Fn wfn 6520  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℂcc 11086   · cmul 11093   ℋchba 31180   ·_ℎ csm 31182   ·_ih csp 31183   ·_fn chft 31203  bracbr 31217   ketbra ck 31218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-mulcom 11152  ax-hilex 31260  ax-hfvmul 31266  ax-hfi 31340  ax-his3 31345

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-map 8814  df-hfmul 31995  df-bra 32111  df-kb 32112

This theorem is referenced by:  kbass6  32382