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Theorem kbass2 31401
Description: Dirac bra-ket associative law (⟨𝐴 ∣ 𝐡⟩)⟨𝐢 ∣ = ⟨𝐴 ∣ ( ∣ 𝐡⟩⟨𝐢 ∣ ), i.e., the juxtaposition of an inner product with a bra equals a ket juxtaposed with an outer product. (Contributed by NM, 23-May-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
kbass2 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) β†’ (((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β·fn (braβ€˜πΆ)) = ((braβ€˜π΄) ∘ (𝐡 ketbra 𝐢)))
Proof of Theorem kbass2
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 7442 . . . 4 (((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β· ((braβ€˜πΆ)β€˜π‘₯)) ∈ V
2 eqid 2733 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β· ((braβ€˜πΆ)β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β· ((braβ€˜πΆ)β€˜π‘₯)))
31, 2fnmpti 6694 . . 3 (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β· ((braβ€˜πΆ)β€˜π‘₯))) Fn β„‹
4 bracl 31233 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ ((braβ€˜π΄)β€˜π΅) ∈ β„‚)
5 brafn 31231 . . . . . 6 (𝐢 ∈ β„‹ β†’ (braβ€˜πΆ): β„‹βŸΆβ„‚)
6 hfmmval 31023 . . . . . 6 ((((braβ€˜π΄)β€˜π΅) ∈ β„‚ ∧ (braβ€˜πΆ): β„‹βŸΆβ„‚) β†’ (((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β·fn (braβ€˜πΆ)) = (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β· ((braβ€˜πΆ)β€˜π‘₯))))
74, 5, 6syl2an 597 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) ∧ 𝐢 ∈ β„‹) β†’ (((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β·fn (braβ€˜πΆ)) = (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β· ((braβ€˜πΆ)β€˜π‘₯))))
873impa 1111 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) β†’ (((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β·fn (braβ€˜πΆ)) = (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β· ((braβ€˜πΆ)β€˜π‘₯))))
98fneq1d 6643 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) β†’ ((((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β·fn (braβ€˜πΆ)) Fn β„‹ ↔ (π‘₯ ∈ β„‹ ↦ (((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β· ((braβ€˜πΆ)β€˜π‘₯))) Fn β„‹))
103, 9mpbiri 258 . 2 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) β†’ (((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β·fn (braβ€˜πΆ)) Fn β„‹)
11 brafn 31231 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‹ β†’ (braβ€˜π΄): β„‹βŸΆβ„‚)
12 kbop 31237 . . . . 5 ((𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) β†’ (𝐡 ketbra 𝐢): β„‹βŸΆ β„‹)
13 fco 6742 . . . . 5 (((braβ€˜π΄): β„‹βŸΆβ„‚ ∧ (𝐡 ketbra 𝐢): β„‹βŸΆ β„‹) β†’ ((braβ€˜π΄) ∘ (𝐡 ketbra 𝐢)): β„‹βŸΆβ„‚)
1411, 12, 13syl2an 597 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ (𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹)) β†’ ((braβ€˜π΄) ∘ (𝐡 ketbra 𝐢)): β„‹βŸΆβ„‚)
15143impb 1116 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) β†’ ((braβ€˜π΄) ∘ (𝐡 ketbra 𝐢)): β„‹βŸΆβ„‚)
1615ffnd 6719 . 2 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) β†’ ((braβ€˜π΄) ∘ (𝐡 ketbra 𝐢)) Fn β„‹)
17 simpl1 1192 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ 𝐴 ∈ β„‹)
18 simpl2 1193 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ 𝐡 ∈ β„‹)
19 braval 31228 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ ((braβ€˜π΄)β€˜π΅) = (𝐡 Β·ih 𝐴))
2017, 18, 19syl2anc 585 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((braβ€˜π΄)β€˜π΅) = (𝐡 Β·ih 𝐴))
21 simpl3 1194 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ 𝐢 ∈ β„‹)
22 simpr 486 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ π‘₯ ∈ β„‹)
23 braval 31228 . . . . 5 ((𝐢 ∈ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((braβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) = (π‘₯ Β·ih 𝐢))
2421, 22, 23syl2anc 585 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((braβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) = (π‘₯ Β·ih 𝐢))
2520, 24oveq12d 7427 . . 3 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β· ((braβ€˜πΆ)β€˜π‘₯)) = ((𝐡 Β·ih 𝐴) Β· (π‘₯ Β·ih 𝐢)))
26 hicl 30364 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐴 ∈ β„‹) β†’ (𝐡 Β·ih 𝐴) ∈ β„‚)
2718, 17, 26syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (𝐡 Β·ih 𝐴) ∈ β„‚)
2820, 27eqeltrd 2834 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((braβ€˜π΄)β€˜π΅) ∈ β„‚)
2921, 5syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (braβ€˜πΆ): β„‹βŸΆβ„‚)
30 hfmval 31028 . . . 4 ((((braβ€˜π΄)β€˜π΅) ∈ β„‚ ∧ (braβ€˜πΆ): β„‹βŸΆβ„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β·fn (braβ€˜πΆ))β€˜π‘₯) = (((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β· ((braβ€˜πΆ)β€˜π‘₯)))
3128, 29, 22, 30syl3anc 1372 . . 3 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β·fn (braβ€˜πΆ))β€˜π‘₯) = (((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β· ((braβ€˜πΆ)β€˜π‘₯)))
32 hicl 30364 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·ih 𝐢) ∈ β„‚)
3322, 21, 32syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·ih 𝐢) ∈ β„‚)
34 ax-his3 30368 . . . . 5 (((π‘₯ Β·ih 𝐢) ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐴 ∈ β„‹) β†’ (((π‘₯ Β·ih 𝐢) Β·β„Ž 𝐡) Β·ih 𝐴) = ((π‘₯ Β·ih 𝐢) Β· (𝐡 Β·ih 𝐴)))
3533, 18, 17, 34syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (((π‘₯ Β·ih 𝐢) Β·β„Ž 𝐡) Β·ih 𝐴) = ((π‘₯ Β·ih 𝐢) Β· (𝐡 Β·ih 𝐴)))
36123adant1 1131 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) β†’ (𝐡 ketbra 𝐢): β„‹βŸΆ β„‹)
37 fvco3 6991 . . . . . 6 (((𝐡 ketbra 𝐢): β„‹βŸΆ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (((braβ€˜π΄) ∘ (𝐡 ketbra 𝐢))β€˜π‘₯) = ((braβ€˜π΄)β€˜((𝐡 ketbra 𝐢)β€˜π‘₯)))
3836, 37sylan 581 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (((braβ€˜π΄) ∘ (𝐡 ketbra 𝐢))β€˜π‘₯) = ((braβ€˜π΄)β€˜((𝐡 ketbra 𝐢)β€˜π‘₯)))
39 kbval 31238 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((𝐡 ketbra 𝐢)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ Β·ih 𝐢) Β·β„Ž 𝐡))
4018, 21, 22, 39syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((𝐡 ketbra 𝐢)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ Β·ih 𝐢) Β·β„Ž 𝐡))
4140fveq2d 6896 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((braβ€˜π΄)β€˜((𝐡 ketbra 𝐢)β€˜π‘₯)) = ((braβ€˜π΄)β€˜((π‘₯ Β·ih 𝐢) Β·β„Ž 𝐡)))
42 hvmulcl 30297 . . . . . . 7 (((π‘₯ Β·ih 𝐢) ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ ((π‘₯ Β·ih 𝐢) Β·β„Ž 𝐡) ∈ β„‹)
4333, 18, 42syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((π‘₯ Β·ih 𝐢) Β·β„Ž 𝐡) ∈ β„‹)
44 braval 31228 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ ((π‘₯ Β·ih 𝐢) Β·β„Ž 𝐡) ∈ β„‹) β†’ ((braβ€˜π΄)β€˜((π‘₯ Β·ih 𝐢) Β·β„Ž 𝐡)) = (((π‘₯ Β·ih 𝐢) Β·β„Ž 𝐡) Β·ih 𝐴))
4517, 43, 44syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((braβ€˜π΄)β€˜((π‘₯ Β·ih 𝐢) Β·β„Ž 𝐡)) = (((π‘₯ Β·ih 𝐢) Β·β„Ž 𝐡) Β·ih 𝐴))
4638, 41, 453eqtrd 2777 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (((braβ€˜π΄) ∘ (𝐡 ketbra 𝐢))β€˜π‘₯) = (((π‘₯ Β·ih 𝐢) Β·β„Ž 𝐡) Β·ih 𝐴))
4727, 33mulcomd 11235 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((𝐡 Β·ih 𝐴) Β· (π‘₯ Β·ih 𝐢)) = ((π‘₯ Β·ih 𝐢) Β· (𝐡 Β·ih 𝐴)))
4835, 46, 473eqtr4d 2783 . . 3 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (((braβ€˜π΄) ∘ (𝐡 ketbra 𝐢))β€˜π‘₯) = ((𝐡 Β·ih 𝐴) Β· (π‘₯ Β·ih 𝐢)))
4925, 31, 483eqtr4d 2783 . 2 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β·fn (braβ€˜πΆ))β€˜π‘₯) = (((braβ€˜π΄) ∘ (𝐡 ketbra 𝐢))β€˜π‘₯))
5010, 16, 49eqfnfvd 7036 1 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐢 ∈ β„‹) β†’ (((braβ€˜π΄)β€˜π΅) Β·fn (braβ€˜πΆ)) = ((braβ€˜π΄) ∘ (𝐡 ketbra 𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ↦ cmpt 5232   ∘ ccom 5681   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108   Β· cmul 11115   β„‹chba 30203   Β·β„Ž csm 30205   Β·ih csp 30206   Β·fn chft 30226  bracbr 30240   ketbra ck 30241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-mulcom 11174  ax-hilex 30283  ax-hfvmul 30289  ax-hfi 30363  ax-his3 30368
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-map 8822  df-hfmul 31018  df-bra 31134  df-kb 31135
This theorem is referenced by:  kbass6  31405
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