Theorem kbass2 32087

Description: Dirac bra-ket associative law (⟨𝐴 ∣ 𝐵⟩)⟨𝐶 ∣ = ⟨𝐴 ∣ ( ∣ 𝐵⟩⟨𝐶 ∣ ), i.e., the juxtaposition of an inner product with a bra equals a ket juxtaposed with an outer product. (Contributed by NM, 23-May-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
kbass2	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶)) = ((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶)))

Proof of Theorem kbass2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7374	. . . 4 ⊢ (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥)) ∈ V
2		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ ↦ (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥)))
3	1, 2	fnmpti 6620	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ ↦ (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥))) Fn ℋ
4		bracl 31919	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℂ)
5		brafn 31917	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (bra‘𝐶): ℋ⟶ℂ)
6		hfmmval 31709	. . . . . 6 ⊢ ((((bra‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (bra‘𝐶): ℋ⟶ℂ) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥))))
7	4, 5, 6	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥))))
8	7	3impa 1109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥))))
9	8	fneq1d 6570	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶)) Fn ℋ ↔ (𝑥 ∈ ℋ ↦ (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥))) Fn ℋ))
10	3, 9	mpbiri 258	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶)) Fn ℋ)
11		brafn 31917	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (bra‘𝐴): ℋ⟶ℂ)
12		kbop 31923	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ketbra 𝐶): ℋ⟶ ℋ)
13		fco 6671	. . . . 5 ⊢ (((bra‘𝐴): ℋ⟶ℂ ∧ (𝐵 ketbra 𝐶): ℋ⟶ ℋ) → ((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶)): ℋ⟶ℂ)
14	11, 12, 13	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ)) → ((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶)): ℋ⟶ℂ)
15	14	3impb 1114	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶)): ℋ⟶ℂ)
16	15	ffnd 6648	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶)) Fn ℋ)
17		simpl1 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐴 ∈ ℋ)
18		simpl2 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐵 ∈ ℋ)
19		braval 31914	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘𝐵) = (𝐵 ·ih 𝐴))
20	17, 18, 19	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘𝐵) = (𝐵 ·ih 𝐴))
21		simpl3 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐶 ∈ ℋ)
22		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
23		braval 31914	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐶)‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝐶))
24	21, 22, 23	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐶)‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝐶))
25	20, 24	oveq12d 7359	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥)) = ((𝐵 ·ih 𝐴) · (𝑥 ·ih 𝐶)))
26		hicl 31050	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
27	18, 17, 26	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
28	20, 27	eqeltrd 2829	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℂ)
29	21, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (bra‘𝐶): ℋ⟶ℂ)
30		hfmval 31714	. . . 4 ⊢ ((((bra‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (bra‘𝐶): ℋ⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶))‘𝑥) = (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥)))
31	28, 29, 22, 30	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶))‘𝑥) = (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥)))
32		hicl 31050	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝐶) ∈ ℂ)
33	22, 21, 32	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝐶) ∈ ℂ)
34		ax-his3 31054	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ·ih 𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐴) = ((𝑥 ·ih 𝐶) · (𝐵 ·ih 𝐴)))
35	33, 18, 17, 34	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐴) = ((𝑥 ·ih 𝐶) · (𝐵 ·ih 𝐴)))
36	12	3adant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ketbra 𝐶): ℋ⟶ ℋ)
37		fvco3 6916	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ketbra 𝐶): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶))‘𝑥) = ((bra‘𝐴)‘((𝐵 ketbra 𝐶)‘𝑥)))
38	36, 37	sylan 580	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶))‘𝑥) = ((bra‘𝐴)‘((𝐵 ketbra 𝐶)‘𝑥)))
39		kbval 31924	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐵 ketbra 𝐶)‘𝑥) = ((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵))
40	18, 21, 22, 39	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐵 ketbra 𝐶)‘𝑥) = ((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵))
41	40	fveq2d 6821	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘((𝐵 ketbra 𝐶)‘𝑥)) = ((bra‘𝐴)‘((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵)))
42		hvmulcl 30983	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ·ih 𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
43	33, 18, 42	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
44		braval 31914	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵)) = (((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐴))
45	17, 43, 44	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵)) = (((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐴))
46	38, 41, 45	3eqtrd 2769	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶))‘𝑥) = (((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐴))
47	27, 33	mulcomd 11125	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐵 ·ih 𝐴) · (𝑥 ·ih 𝐶)) = ((𝑥 ·ih 𝐶) · (𝐵 ·ih 𝐴)))
48	35, 46, 47	3eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶))‘𝑥) = ((𝐵 ·ih 𝐴) · (𝑥 ·ih 𝐶)))
49	25, 31, 48	3eqtr4d 2775	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶))‘𝑥) = (((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶))‘𝑥))
50	10, 16, 49	eqfnfvd 6962	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶)) = ((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ↦ cmpt 5170   ∘ ccom 5618   Fn wfn 6472  ⟶wf 6473  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  ℂcc 10996   · cmul 11003   ℋchba 30889   ·_ℎ csm 30891   ·_ih csp 30892   ·_fn chft 30912  bracbr 30926   ketbra ck 30927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-mulcom 11062  ax-hilex 30969  ax-hfvmul 30975  ax-hfi 31049  ax-his3 31054

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-map 8747  df-hfmul 31704  df-bra 31820  df-kb 31821

This theorem is referenced by:  kbass6  32091