Theorem kbass2 30052

Description: Dirac bra-ket associative law (⟨𝐴 ∣ 𝐵⟩)⟨𝐶 ∣ = ⟨𝐴 ∣ ( ∣ 𝐵⟩⟨𝐶 ∣ ), i.e., the juxtaposition of an inner product with a bra equals a ket juxtaposed with an outer product. (Contributed by NM, 23-May-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
kbass2	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶)) = ((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶)))

Proof of Theorem kbass2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7203	. . . 4 ⊢ (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥)) ∈ V
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ ↦ (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥)))
3	1, 2	fnmpti 6480	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ ↦ (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥))) Fn ℋ
4		bracl 29884	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℂ)
5		brafn 29882	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (bra‘𝐶): ℋ⟶ℂ)
6		hfmmval 29674	. . . . . 6 ⊢ ((((bra‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (bra‘𝐶): ℋ⟶ℂ) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥))))
7	4, 5, 6	syl2an 599	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥))))
8	7	3impa 1111	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥))))
9	8	fneq1d 6431	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶)) Fn ℋ ↔ (𝑥 ∈ ℋ ↦ (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥))) Fn ℋ))
10	3, 9	mpbiri 261	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶)) Fn ℋ)
11		brafn 29882	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (bra‘𝐴): ℋ⟶ℂ)
12		kbop 29888	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ketbra 𝐶): ℋ⟶ ℋ)
13		fco 6528	. . . . 5 ⊢ (((bra‘𝐴): ℋ⟶ℂ ∧ (𝐵 ketbra 𝐶): ℋ⟶ ℋ) → ((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶)): ℋ⟶ℂ)
14	11, 12, 13	syl2an 599	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ)) → ((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶)): ℋ⟶ℂ)
15	14	3impb 1116	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶)): ℋ⟶ℂ)
16	15	ffnd 6505	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶)) Fn ℋ)
17		simpl1 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐴 ∈ ℋ)
18		simpl2 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐵 ∈ ℋ)
19		braval 29879	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘𝐵) = (𝐵 ·ih 𝐴))
20	17, 18, 19	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘𝐵) = (𝐵 ·ih 𝐴))
21		simpl3 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐶 ∈ ℋ)
22		simpr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
23		braval 29879	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐶)‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝐶))
24	21, 22, 23	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐶)‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝐶))
25	20, 24	oveq12d 7188	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥)) = ((𝐵 ·ih 𝐴) · (𝑥 ·ih 𝐶)))
26		hicl 29015	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
27	18, 17, 26	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
28	20, 27	eqeltrd 2833	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℂ)
29	21, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (bra‘𝐶): ℋ⟶ℂ)
30		hfmval 29679	. . . 4 ⊢ ((((bra‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (bra‘𝐶): ℋ⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶))‘𝑥) = (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥)))
31	28, 29, 22, 30	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶))‘𝑥) = (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥)))
32		hicl 29015	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝐶) ∈ ℂ)
33	22, 21, 32	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝐶) ∈ ℂ)
34		ax-his3 29019	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ·ih 𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐴) = ((𝑥 ·ih 𝐶) · (𝐵 ·ih 𝐴)))
35	33, 18, 17, 34	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐴) = ((𝑥 ·ih 𝐶) · (𝐵 ·ih 𝐴)))
36	12	3adant1 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ketbra 𝐶): ℋ⟶ ℋ)
37		fvco3 6767	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ketbra 𝐶): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶))‘𝑥) = ((bra‘𝐴)‘((𝐵 ketbra 𝐶)‘𝑥)))
38	36, 37	sylan 583	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶))‘𝑥) = ((bra‘𝐴)‘((𝐵 ketbra 𝐶)‘𝑥)))
39		kbval 29889	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐵 ketbra 𝐶)‘𝑥) = ((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵))
40	18, 21, 22, 39	syl3anc 1372	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐵 ketbra 𝐶)‘𝑥) = ((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵))
41	40	fveq2d 6678	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘((𝐵 ketbra 𝐶)‘𝑥)) = ((bra‘𝐴)‘((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵)))
42		hvmulcl 28948	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ·ih 𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
43	33, 18, 42	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
44		braval 29879	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵)) = (((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐴))
45	17, 43, 44	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵)) = (((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐴))
46	38, 41, 45	3eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶))‘𝑥) = (((𝑥 ·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵) ·ih 𝐴))
47	27, 33	mulcomd 10740	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐵 ·ih 𝐴) · (𝑥 ·ih 𝐶)) = ((𝑥 ·ih 𝐶) · (𝐵 ·ih 𝐴)))
48	35, 46, 47	3eqtr4d 2783	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶))‘𝑥) = ((𝐵 ·ih 𝐴) · (𝑥 ·ih 𝐶)))
49	25, 31, 48	3eqtr4d 2783	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶))‘𝑥) = (((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶))‘𝑥))
50	10, 16, 49	eqfnfvd 6812	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn (bra‘𝐶)) = ((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ↦ cmpt 5110   ∘ ccom 5529   Fn wfn 6334  ⟶wf 6335  ‘cfv 6339  (class class class)co 7170  ℂcc 10613   · cmul 10620   ℋchba 28854   ·_ℎ csm 28856   ·_ih csp 28857   ·_fn chft 28877  bracbr 28891   ketbra ck 28892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-mulcom 10679  ax-hilex 28934  ax-hfvmul 28940  ax-hfi 29014  ax-his3 29019

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5429  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-map 8439  df-hfmul 29669  df-bra 29785  df-kb 29786

This theorem is referenced by:  kbass6  30056