Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | ovex 7203 |
. . . 4
⊢
(((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥)) ∈ V |
2 | | eqid 2738 |
. . . 4
⊢ (𝑥 ∈ ℋ ↦
(((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥))) |
3 | 1, 2 | fnmpti 6480 |
. . 3
⊢ (𝑥 ∈ ℋ ↦
(((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥))) Fn ℋ |
4 | | bracl 29884 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) →
((bra‘𝐴)‘𝐵) ∈
ℂ) |
5 | | brafn 29882 |
. . . . . 6
⊢ (𝐶 ∈ ℋ →
(bra‘𝐶):
ℋ⟶ℂ) |
6 | | hfmmval 29674 |
. . . . . 6
⊢
((((bra‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (bra‘𝐶): ℋ⟶ℂ)
→ (((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn
(bra‘𝐶)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦
(((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥)))) |
7 | 4, 5, 6 | syl2an 599 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) →
(((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn
(bra‘𝐶)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦
(((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥)))) |
8 | 7 | 3impa 1111 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) →
(((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn
(bra‘𝐶)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦
(((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥)))) |
9 | 8 | fneq1d 6431 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) →
((((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn
(bra‘𝐶)) Fn ℋ
↔ (𝑥 ∈ ℋ
↦ (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥))) Fn ℋ)) |
10 | 3, 9 | mpbiri 261 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) →
(((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn
(bra‘𝐶)) Fn
ℋ) |
11 | | brafn 29882 |
. . . . 5
⊢ (𝐴 ∈ ℋ →
(bra‘𝐴):
ℋ⟶ℂ) |
12 | | kbop 29888 |
. . . . 5
⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ketbra 𝐶): ℋ⟶ ℋ) |
13 | | fco 6528 |
. . . . 5
⊢
(((bra‘𝐴):
ℋ⟶ℂ ∧ (𝐵 ketbra 𝐶): ℋ⟶ ℋ) →
((bra‘𝐴) ∘
(𝐵 ketbra 𝐶)): ℋ⟶ℂ) |
14 | 11, 12, 13 | syl2an 599 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ)) →
((bra‘𝐴) ∘
(𝐵 ketbra 𝐶)): ℋ⟶ℂ) |
15 | 14 | 3impb 1116 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) →
((bra‘𝐴) ∘
(𝐵 ketbra 𝐶)): ℋ⟶ℂ) |
16 | 15 | ffnd 6505 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) →
((bra‘𝐴) ∘
(𝐵 ketbra 𝐶)) Fn ℋ) |
17 | | simpl1 1192 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐴 ∈
ℋ) |
18 | | simpl2 1193 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐵 ∈
ℋ) |
19 | | braval 29879 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) →
((bra‘𝐴)‘𝐵) = (𝐵 ·ih 𝐴)) |
20 | 17, 18, 19 | syl2anc 587 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) →
((bra‘𝐴)‘𝐵) = (𝐵 ·ih 𝐴)) |
21 | | simpl3 1194 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐶 ∈
ℋ) |
22 | | simpr 488 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈
ℋ) |
23 | | braval 29879 |
. . . . 5
⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) →
((bra‘𝐶)‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝐶)) |
24 | 21, 22, 23 | syl2anc 587 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) →
((bra‘𝐶)‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝐶)) |
25 | 20, 24 | oveq12d 7188 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) →
(((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥)) = ((𝐵 ·ih 𝐴) · (𝑥 ·ih 𝐶))) |
26 | | hicl 29015 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐵
·ih 𝐴) ∈ ℂ) |
27 | 18, 17, 26 | syl2anc 587 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐵
·ih 𝐴) ∈ ℂ) |
28 | 20, 27 | eqeltrd 2833 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) →
((bra‘𝐴)‘𝐵) ∈
ℂ) |
29 | 21, 5 | syl 17 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) →
(bra‘𝐶):
ℋ⟶ℂ) |
30 | | hfmval 29679 |
. . . 4
⊢
((((bra‘𝐴)‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (bra‘𝐶): ℋ⟶ℂ ∧
𝑥 ∈ ℋ) →
((((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn
(bra‘𝐶))‘𝑥) = (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥))) |
31 | 28, 29, 22, 30 | syl3anc 1372 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) →
((((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn
(bra‘𝐶))‘𝑥) = (((bra‘𝐴)‘𝐵) · ((bra‘𝐶)‘𝑥))) |
32 | | hicl 29015 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝑥
·ih 𝐶) ∈ ℂ) |
33 | 22, 21, 32 | syl2anc 587 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥
·ih 𝐶) ∈ ℂ) |
34 | | ax-his3 29019 |
. . . . 5
⊢ (((𝑥
·ih 𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((𝑥
·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵)
·ih 𝐴) = ((𝑥 ·ih 𝐶) · (𝐵 ·ih 𝐴))) |
35 | 33, 18, 17, 34 | syl3anc 1372 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑥
·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵)
·ih 𝐴) = ((𝑥 ·ih 𝐶) · (𝐵 ·ih 𝐴))) |
36 | 12 | 3adant1 1131 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ketbra 𝐶): ℋ⟶ ℋ) |
37 | | fvco3 6767 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐵 ketbra 𝐶): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) →
(((bra‘𝐴) ∘
(𝐵 ketbra 𝐶))‘𝑥) = ((bra‘𝐴)‘((𝐵 ketbra 𝐶)‘𝑥))) |
38 | 36, 37 | sylan 583 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) →
(((bra‘𝐴) ∘
(𝐵 ketbra 𝐶))‘𝑥) = ((bra‘𝐴)‘((𝐵 ketbra 𝐶)‘𝑥))) |
39 | | kbval 29889 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐵 ketbra 𝐶)‘𝑥) = ((𝑥 ·ih 𝐶)
·ℎ 𝐵)) |
40 | 18, 21, 22, 39 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐵 ketbra 𝐶)‘𝑥) = ((𝑥 ·ih 𝐶)
·ℎ 𝐵)) |
41 | 40 | fveq2d 6678 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) →
((bra‘𝐴)‘((𝐵 ketbra 𝐶)‘𝑥)) = ((bra‘𝐴)‘((𝑥 ·ih 𝐶)
·ℎ 𝐵))) |
42 | | hvmulcl 28948 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑥
·ih 𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih 𝐶)
·ℎ 𝐵) ∈ ℋ) |
43 | 33, 18, 42 | syl2anc 587 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑥
·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵) ∈
ℋ) |
44 | | braval 29879 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ ((𝑥
·ih 𝐶) ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ) →
((bra‘𝐴)‘((𝑥 ·ih 𝐶)
·ℎ 𝐵)) = (((𝑥 ·ih 𝐶)
·ℎ 𝐵) ·ih 𝐴)) |
45 | 17, 43, 44 | syl2anc 587 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) →
((bra‘𝐴)‘((𝑥 ·ih 𝐶)
·ℎ 𝐵)) = (((𝑥 ·ih 𝐶)
·ℎ 𝐵) ·ih 𝐴)) |
46 | 38, 41, 45 | 3eqtrd 2777 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) →
(((bra‘𝐴) ∘
(𝐵 ketbra 𝐶))‘𝑥) = (((𝑥 ·ih 𝐶)
·ℎ 𝐵) ·ih 𝐴)) |
47 | 27, 33 | mulcomd 10740 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐵
·ih 𝐴) · (𝑥 ·ih 𝐶)) = ((𝑥 ·ih 𝐶) · (𝐵 ·ih 𝐴))) |
48 | 35, 46, 47 | 3eqtr4d 2783 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) →
(((bra‘𝐴) ∘
(𝐵 ketbra 𝐶))‘𝑥) = ((𝐵 ·ih 𝐴) · (𝑥 ·ih 𝐶))) |
49 | 25, 31, 48 | 3eqtr4d 2783 |
. 2
⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) →
((((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn
(bra‘𝐶))‘𝑥) = (((bra‘𝐴) ∘ (𝐵 ketbra 𝐶))‘𝑥)) |
50 | 10, 16, 49 | eqfnfvd 6812 |
1
⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) →
(((bra‘𝐴)‘𝐵) ·fn
(bra‘𝐶)) =
((bra‘𝐴) ∘
(𝐵 ketbra 𝐶))) |