Theorem hfmval 32225

Description: Value of the scalar product with a Hilbert space functional. (Contributed by NM, 23-May-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hfmval	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·fn 𝑇)‘𝐵) = (𝐴 · (𝑇‘𝐵)))

Proof of Theorem hfmval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hfmmval 32220	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ℂ) → (𝐴 ·fn 𝑇) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 · (𝑇‘𝑥))))
2	1	fveq1d 6880	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ℂ) → ((𝐴 ·fn 𝑇)‘𝐵) = ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 · (𝑇‘𝑥)))‘𝐵))
3		fveq2 6878	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑇‘𝑥) = (𝑇‘𝐵))
4	3	oveq2d 7429	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 · (𝑇‘𝑥)) = (𝐴 · (𝑇‘𝐵)))
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 · (𝑇‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 · (𝑇‘𝑥)))
6		ovex 7446	. . . 4 ⊢ (𝐴 · (𝑇‘𝐵)) ∈ V
7	4, 5, 6	fvmpt 6986	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 · (𝑇‘𝑥)))‘𝐵) = (𝐴 · (𝑇‘𝐵)))
8	2, 7	sylan9eq 2815	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·fn 𝑇)‘𝐵) = (𝐴 · (𝑇‘𝐵)))
9	8	3impa 1127	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·fn 𝑇)‘𝐵) = (𝐴 · (𝑇‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℂcc 11122   · cmul 11129   ℋchba 31400   ·_fn chft 31423

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-hilex 31480

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-map 8828  df-hfmul 32215

This theorem is used by:  kbass2  32598  kbass3  32599