Theorem hfmval 29779

Description: Value of the scalar product with a Hilbert space functional. (Contributed by NM, 23-May-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hfmval	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·fn 𝑇)‘𝐵) = (𝐴 · (𝑇‘𝐵)))

Proof of Theorem hfmval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hfmmval 29774	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ℂ) → (𝐴 ·fn 𝑇) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 · (𝑇‘𝑥))))
2	1	fveq1d 6697	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ℂ) → ((𝐴 ·fn 𝑇)‘𝐵) = ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 · (𝑇‘𝑥)))‘𝐵))
3		fveq2 6695	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑇‘𝑥) = (𝑇‘𝐵))
4	3	oveq2d 7207	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 · (𝑇‘𝑥)) = (𝐴 · (𝑇‘𝐵)))
5		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 · (𝑇‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 · (𝑇‘𝑥)))
6		ovex 7224	. . . 4 ⊢ (𝐴 · (𝑇‘𝐵)) ∈ V
7	4, 5, 6	fvmpt 6796	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 · (𝑇‘𝑥)))‘𝐵) = (𝐴 · (𝑇‘𝐵)))
8	2, 7	sylan9eq 2791	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·fn 𝑇)‘𝐵) = (𝐴 · (𝑇‘𝐵)))
9	8	3impa 1112	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·fn 𝑇)‘𝐵) = (𝐴 · (𝑇‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ↦ cmpt 5120  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  ℂcc 10692   · cmul 10699   ℋchba 28954   ·_fn chft 28977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-hilex 29034

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-map 8488  df-hfmul 29769

This theorem is referenced by:  kbass2  30152  kbass3  30153