HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hfmval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hfmval 30515
Description: Value of the scalar product with a Hilbert space functional. (Contributed by NM, 23-May-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hfmval ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·fn 𝑇)‘𝐵) = (𝐴 · (𝑇𝐵)))

Proof of Theorem hfmval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hfmmval 30510 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ℂ) → (𝐴 ·fn 𝑇) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 · (𝑇𝑥))))
21fveq1d 6842 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ℂ) → ((𝐴 ·fn 𝑇)‘𝐵) = ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 · (𝑇𝑥)))‘𝐵))
3 fveq2 6840 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝑇𝑥) = (𝑇𝐵))
43oveq2d 7368 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 · (𝑇𝑥)) = (𝐴 · (𝑇𝐵)))
5 eqid 2738 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 · (𝑇𝑥))) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 · (𝑇𝑥)))
6 ovex 7385 . . . 4 (𝐴 · (𝑇𝐵)) ∈ V
74, 5, 6fvmpt 6946 . . 3 (𝐵 ∈ ℋ → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 · (𝑇𝑥)))‘𝐵) = (𝐴 · (𝑇𝐵)))
82, 7sylan9eq 2798 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·fn 𝑇)‘𝐵) = (𝐴 · (𝑇𝐵)))
983impa 1111 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·fn 𝑇)‘𝐵) = (𝐴 · (𝑇𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  cmpt 5187  wf 6490  cfv 6494  (class class class)co 7352  cc 11008   · cmul 11015  chba 29690   ·fn chft 29713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-cnex 11066  ax-hilex 29770
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5530  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-map 8726  df-hfmul 30505
This theorem is referenced by:  kbass2  30888  kbass3  30889
  Copyright terms: Public domain W3C validator