Theorem fmpt3d 7125

Description: Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpt3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
fmpt3d.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fmpt3d	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fmpt3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpt3d.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)
2	1	fmpttd 7124	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)
3		fmpt3d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
4	3	feq1d 6708	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝐶 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶))
5	2, 4	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ↦ cmpt 5232  ⟶wf 6545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5429

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553

This theorem is referenced by:  fmptco  7138  off  7703  caofinvl  7716  curry1f  8111  curry2f  8113  fseqenlem1  10054  pfxf  14671  rpnnen2lem2  16200  1arithlem3  16902  homaf  18027  funcestrcsetclem3  18141  funcsetcestrclem3  18155  prfcl  18202  curf1cl  18228  yonedainv  18281  vrmdf  18823  pmtrf  19427  psgnunilem5  19466  pj1f  19669  vrgpf  19740  gsummptfsadd  19896  gsummptfssub  19921  lspf  20875  uvcff  21747  subrgpsr  21945  mvrf  21952  mhpmulcl  22101  cpm2mf  22703  nmf2  24551  nmof  24685  cphnmf  25172  rrxcph  25369  uniioombllem2  25561  mbfi1fseqlem3  25696  itg2cnlem1  25740  dvmptco  25953  dvle  25989  taylpf  26350  ulmshftlem  26375  ulmshft  26376  ulmdvlem1  26386  psergf  26398  pserdvlem2  26415  logbf  26771  lmif  28666  vtxdgf  29362  brafn  31834  kbop  31840  off2  32513  ofoprabco  32536  tocycf  32935  sgnsf  32980  qqhf  33720  indf  33767  esumcocn  33832  ofcf  33855  mbfmcst  34012  dstrvprob  34224  dstfrvclim1  34230  signstf  34331  fsovfd  43586  dssmapnvod  43594  binomcxplemnotnn0  43937  sge0seq  45974  hoicvrrex  46084