Theorem fmpt3d 7136

Description: Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpt3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
fmpt3d.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fmpt3d	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fmpt3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpt3d.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)
2	1	fmpttd 7135	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)
3		fmpt3d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
4	3	feq1d 6720	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝐶 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶))
5	2, 4	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ↦ cmpt 5225  ⟶wf 6557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565

This theorem is referenced by:  fmptco  7149  off  7715  caofinvl  7729  curry1f  8131  curry2f  8133  fseqenlem1  10064  pfxf  14718  rpnnen2lem2  16251  1arithlem3  16963  homaf  18075  funcestrcsetclem3  18187  funcsetcestrclem3  18201  prfcl  18248  curf1cl  18273  yonedainv  18326  vrmdf  18871  pmtrf  19473  psgnunilem5  19512  pj1f  19715  vrgpf  19786  gsummptfsadd  19942  gsummptfssub  19967  lspf  20972  uvcff  21811  subrgpsr  21998  mvrf  22005  mhpmulcl  22153  cpm2mf  22758  nmf2  24606  nmof  24740  cphnmf  25229  rrxcph  25426  uniioombllem2  25618  mbfi1fseqlem3  25752  itg2cnlem1  25796  dvmptco  26010  dvle  26046  taylpf  26407  ulmshftlem  26432  ulmshft  26433  ulmdvlem1  26443  psergf  26455  pserdvlem2  26472  logbf  26832  lmif  28793  vtxdgf  29489  brafn  31966  kbop  31972  off2  32651  ofoprabco  32674  indf  32840  tocycf  33137  sgnsf  33182  qqhf  33987  esumcocn  34081  ofcf  34104  mbfmcst  34261  dstrvprob  34474  dstfrvclim1  34480  signstf  34581  fsovfd  44025  dssmapnvod  44033  binomcxplemnotnn0  44375  sge0seq  46461  hoicvrrex  46571