Theorem fmpt3d 7114

Description: Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpt3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
fmpt3d.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fmpt3d	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fmpt3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpt3d.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)
2	1	fmpttd 7113	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)
3		fmpt3d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
4	3	feq1d 6689	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝐶 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶))
5	2, 4	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6533

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541

This theorem is used by:  fmptco  7128  off  7709  caofinvl  7723  curry1f  8115  curry2f  8117  fseqenlem1  10096  indf  12319  pfxf  14823  rpnnen2lem2  16376  1arithlem3  17096  homaf  18198  funcestrcsetclem3  18309  funcsetcestrclem3  18323  prfcl  18370  curf1cl  18395  yonedainv  18448  vrmdf  19047  pmtrf  19662  psgnunilem5  19701  pj1f  19904  vrgpf  19975  gsummptfsadd  20131  gsummptfssub  20156  lspf  21242  uvcff  22090  subrgpsr  22278  mvrf  22285  mhpmulcl  22463  cpm2mf  23063  nmf2  24905  nmof  25031  cphnmf  25509  rrxcph  25706  uniioombllem2  25897  mbfi1fseqlem3  26031  itg2cnlem1  26075  dvmptco  26285  dvle  26320  taylpf  26686  ulmshftlem  26709  ulmshft  26710  ulmdvlem1  26720  psergf  26732  pserdvlem2  26748  logbf  27110  lmif  29283  vtxdgf  30045  brafn  32542  kbop  32548  off2  33228  ofoprabco  33251  tocycf  33671  sgnsf  33716  mplasclco  34141  qqhf  34611  esumcocn  34705  ofcf  34728  mbfmcst  34884  dstrvprob  35097  dstfrvclim1  35103  signstf  35188  fsovfd  44997  dssmapnvod  45005  binomcxplemnotnn0  45325  sge0seq  47425  hoicvr  47527  hoicvrrex  47535