Theorem fmpt3d 7070

Description: Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpt3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
fmpt3d.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fmpt3d	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fmpt3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpt3d.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)
2	1	fmpttd 7069	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)
3		fmpt3d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
4	3	feq1d 6652	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝐶 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶))
5	2, 4	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ↦ cmpt 5183  ⟶wf 6495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503

This theorem is referenced by:  fmptco  7083  off  7651  caofinvl  7665  curry1f  8062  curry2f  8064  fseqenlem1  9953  pfxf  14621  rpnnen2lem2  16159  1arithlem3  16872  homaf  17968  funcestrcsetclem3  18079  funcsetcestrclem3  18093  prfcl  18140  curf1cl  18165  yonedainv  18218  vrmdf  18761  pmtrf  19361  psgnunilem5  19400  pj1f  19603  vrgpf  19674  gsummptfsadd  19830  gsummptfssub  19855  lspf  20856  uvcff  21676  subrgpsr  21863  mvrf  21870  mhpmulcl  22012  cpm2mf  22615  nmf2  24457  nmof  24583  cphnmf  25071  rrxcph  25268  uniioombllem2  25460  mbfi1fseqlem3  25594  itg2cnlem1  25638  dvmptco  25852  dvle  25888  taylpf  26249  ulmshftlem  26274  ulmshft  26275  ulmdvlem1  26285  psergf  26297  pserdvlem2  26314  logbf  26675  lmif  28688  vtxdgf  29375  brafn  31849  kbop  31855  off2  32538  ofoprabco  32561  indf  32751  tocycf  33047  sgnsf  33092  qqhf  33949  esumcocn  34043  ofcf  34066  mbfmcst  34223  dstrvprob  34436  dstfrvclim1  34442  signstf  34530  fsovfd  43974  dssmapnvod  43982  binomcxplemnotnn0  44318  sge0seq  46417  hoicvrrex  46527