Theorem fmpt3d 7117

Description: Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpt3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
fmpt3d.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fmpt3d	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fmpt3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpt3d.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)
2	1	fmpttd 7116	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)
3		fmpt3d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
4	3	feq1d 6692	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝐶 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶))
5	2, 4	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ↦ cmpt 5185  ⟶wf 6535

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543

This theorem is used by:  fmptco  7131  off  7712  caofinvl  7726  curry1f  8120  curry2f  8122  fseqenlem1  10107  indf  12330  pfxf  14835  rpnnen2lem2  16389  1arithlem3  17109  homaf  18211  funcestrcsetclem3  18322  funcsetcestrclem3  18336  prfcl  18383  curf1cl  18408  yonedainv  18461  vrmdf  19060  pmtrf  19675  psgnunilem5  19714  pj1f  19917  vrgpf  19988  gsummptfsadd  20144  gsummptfssub  20169  lspf  21255  uvcff  22103  subrgpsr  22291  mvrf  22298  mhpmulcl  22476  cpm2mf  23076  nmf2  24918  nmof  25044  cphnmf  25522  rrxcph  25719  uniioombllem2  25910  mbfi1fseqlem3  26044  itg2cnlem1  26088  dvmptco  26298  dvle  26333  taylpf  26699  ulmshftlem  26722  ulmshft  26723  ulmdvlem1  26733  psergf  26745  pserdvlem2  26761  logbf  27123  lmif  29296  vtxdgf  30058  brafn  32555  kbop  32561  off2  33283  ofoprabco  33306  tocycf  33725  sgnsf  33770  mplasclco  34195  qqhf  34665  esumcocn  34759  ofcf  34782  mbfmcst  34938  dstrvprob  35151  dstfrvclim1  35157  signstf  35242  fsovfd  45106  dssmapnvod  45114  binomcxplemnotnn0  45434  sge0seq  47550  hoicvr  47652  hoicvrrex  47660  parmapfunc2  50868  parmapfunc  50869