Theorem fmpt3d 7105

Description: Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpt3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
fmpt3d.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fmpt3d	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fmpt3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpt3d.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)
2	1	fmpttd 7104	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)
3		fmpt3d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
4	3	feq1d 6689	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝐶 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶))
5	2, 4	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ↦ cmpt 5201  ⟶wf 6526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534

This theorem is referenced by:  fmptco  7118  off  7687  caofinvl  7701  curry1f  8103  curry2f  8105  fseqenlem1  10036  pfxf  14696  rpnnen2lem2  16231  1arithlem3  16943  homaf  18041  funcestrcsetclem3  18152  funcsetcestrclem3  18166  prfcl  18213  curf1cl  18238  yonedainv  18291  vrmdf  18834  pmtrf  19434  psgnunilem5  19473  pj1f  19676  vrgpf  19747  gsummptfsadd  19903  gsummptfssub  19928  lspf  20929  uvcff  21749  subrgpsr  21936  mvrf  21943  mhpmulcl  22085  cpm2mf  22688  nmf2  24530  nmof  24656  cphnmf  25145  rrxcph  25342  uniioombllem2  25534  mbfi1fseqlem3  25668  itg2cnlem1  25712  dvmptco  25926  dvle  25962  taylpf  26323  ulmshftlem  26348  ulmshft  26349  ulmdvlem1  26359  psergf  26371  pserdvlem2  26388  logbf  26749  lmif  28710  vtxdgf  29397  brafn  31874  kbop  31880  off2  32565  ofoprabco  32588  indf  32778  tocycf  33074  sgnsf  33119  qqhf  33963  esumcocn  34057  ofcf  34080  mbfmcst  34237  dstrvprob  34450  dstfrvclim1  34456  signstf  34544  fsovfd  43983  dssmapnvod  43991  binomcxplemnotnn0  44328  sge0seq  46423  hoicvrrex  46533