Theorem fmpt3d 7150

Description: Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpt3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
fmpt3d.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fmpt3d	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fmpt3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpt3d.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)
2	1	fmpttd 7149	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)
3		fmpt3d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
4	3	feq1d 6732	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝐶 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶))
5	2, 4	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ↦ cmpt 5249  ⟶wf 6569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577

This theorem is referenced by:  fmptco  7163  off  7732  caofinvl  7745  curry1f  8147  curry2f  8149  fseqenlem1  10093  pfxf  14728  rpnnen2lem2  16263  1arithlem3  16972  homaf  18097  funcestrcsetclem3  18211  funcsetcestrclem3  18225  prfcl  18272  curf1cl  18298  yonedainv  18351  vrmdf  18893  pmtrf  19497  psgnunilem5  19536  pj1f  19739  vrgpf  19810  gsummptfsadd  19966  gsummptfssub  19991  lspf  20995  uvcff  21834  subrgpsr  22021  mvrf  22028  mhpmulcl  22176  cpm2mf  22779  nmf2  24627  nmof  24761  cphnmf  25248  rrxcph  25445  uniioombllem2  25637  mbfi1fseqlem3  25772  itg2cnlem1  25816  dvmptco  26030  dvle  26066  taylpf  26425  ulmshftlem  26450  ulmshft  26451  ulmdvlem1  26461  psergf  26473  pserdvlem2  26490  logbf  26850  lmif  28811  vtxdgf  29507  brafn  31979  kbop  31985  off2  32660  ofoprabco  32682  tocycf  33110  sgnsf  33155  qqhf  33932  indf  33979  esumcocn  34044  ofcf  34067  mbfmcst  34224  dstrvprob  34436  dstfrvclim1  34442  signstf  34543  fsovfd  43974  dssmapnvod  43982  binomcxplemnotnn0  44325  sge0seq  46367  hoicvrrex  46477