Theorem fmpt3d 7050

Description: Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpt3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
fmpt3d.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fmpt3d	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fmpt3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpt3d.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)
2	1	fmpttd 7049	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)
3		fmpt3d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
4	3	feq1d 6634	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝐶 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶))
5	2, 4	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ↦ cmpt 5173  ⟶wf 6478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486

This theorem is referenced by:  fmptco  7063  off  7631  caofinvl  7645  curry1f  8039  curry2f  8041  fseqenlem1  9918  pfxf  14587  rpnnen2lem2  16124  1arithlem3  16837  homaf  17937  funcestrcsetclem3  18048  funcsetcestrclem3  18062  prfcl  18109  curf1cl  18134  yonedainv  18187  vrmdf  18732  pmtrf  19334  psgnunilem5  19373  pj1f  19576  vrgpf  19647  gsummptfsadd  19803  gsummptfssub  19828  lspf  20877  uvcff  21698  subrgpsr  21885  mvrf  21892  mhpmulcl  22034  cpm2mf  22637  nmf2  24479  nmof  24605  cphnmf  25093  rrxcph  25290  uniioombllem2  25482  mbfi1fseqlem3  25616  itg2cnlem1  25660  dvmptco  25874  dvle  25910  taylpf  26271  ulmshftlem  26296  ulmshft  26297  ulmdvlem1  26307  psergf  26319  pserdvlem2  26336  logbf  26697  lmif  28734  vtxdgf  29421  brafn  31895  kbop  31901  off2  32592  ofoprabco  32615  indf  32807  tocycf  33068  sgnsf  33113  qqhf  33969  esumcocn  34063  ofcf  34086  mbfmcst  34243  dstrvprob  34456  dstfrvclim1  34462  signstf  34550  fsovfd  44005  dssmapnvod  44013  binomcxplemnotnn0  44349  sge0seq  46447  hoicvrrex  46557