Theorem fmpt3d 7116

Description: Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpt3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
fmpt3d.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fmpt3d	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fmpt3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpt3d.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)
2	1	fmpttd 7115	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)
3		fmpt3d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
4	3	feq1d 6703	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝐶 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶))
5	2, 4	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ↦ cmpt 5232  ⟶wf 6540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548

This theorem is referenced by:  fmptco  7127  off  7688  caofinvl  7700  curry1f  8092  curry2f  8094  fseqenlem1  10019  pfxf  14630  rpnnen2lem2  16158  1arithlem3  16858  homaf  17980  funcestrcsetclem3  18094  funcsetcestrclem3  18108  prfcl  18155  curf1cl  18181  yonedainv  18234  vrmdf  18739  pmtrf  19323  psgnunilem5  19362  pj1f  19565  vrgpf  19636  gsummptfsadd  19792  gsummptfssub  19817  lspf  20585  uvcff  21346  subrgpsr  21539  mvrf  21544  mhpmulcl  21692  cpm2mf  22254  nmf2  24102  nmof  24236  cphnmf  24712  rrxcph  24909  uniioombllem2  25100  mbfi1fseqlem3  25235  itg2cnlem1  25279  dvmptco  25489  dvle  25524  taylpf  25878  ulmshftlem  25901  ulmshft  25902  ulmdvlem1  25912  psergf  25924  pserdvlem2  25940  logbf  26294  lmif  28036  vtxdgf  28728  brafn  31200  kbop  31206  off2  31866  ofoprabco  31889  tocycf  32276  sgnsf  32321  qqhf  32966  indf  33013  esumcocn  33078  ofcf  33101  mbfmcst  33258  dstrvprob  33470  dstfrvclim1  33476  signstf  33577  fsovfd  42763  dssmapnvod  42771  binomcxplemnotnn0  43115  sge0seq  45162  hoicvrrex  45272