Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fmpt3d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmpt3d 6862
 Description: Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmpt3d.1 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐴𝐵))
fmpt3d.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
fmpt3d (𝜑𝐹:𝐴𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fmpt3d
StepHypRef Expression
1 fmpt3d.2 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝐶)
21fmpttd 6861 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴𝐶)
3 fmpt3d.1 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐴𝐵))
43feq1d 6479 . 2 (𝜑 → (𝐹:𝐴𝐶 ↔ (𝑥𝐴𝐵):𝐴𝐶))
52, 4mpbird 260 1 (𝜑𝐹:𝐴𝐶)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   ↦ cmpt 5122  ⟶wf 6330 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pr 5307 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-fv 6342 This theorem is referenced by:  fmptco  6873  off  7409  caofinvl  7421  curry1f  7788  curry2f  7790  fseqenlem1  9439  pfxf  14033  rpnnen2lem2  15559  1arithlem3  16250  homaf  17281  funcestrcsetclem3  17383  funcsetcestrclem3  17397  prfcl  17444  curf1cl  17469  yonedainv  17522  vrmdf  18014  pmtrf  18574  psgnunilem5  18613  pj1f  18814  vrgpf  18885  gsummptfsadd  19035  gsummptfssub  19060  lspf  19737  uvcff  20478  subrgpsr  20655  mvrf  20660  cpm2mf  21355  nmf2  23197  nmof  23323  cphnmf  23798  rrxcph  23994  uniioombllem2  24185  mbfi1fseqlem3  24319  itg2cnlem1  24363  dvmptco  24573  dvle  24608  taylpf  24959  ulmshftlem  24982  ulmshft  24983  ulmdvlem1  24993  psergf  25005  pserdvlem2  25021  logbf  25373  lmif  26577  vtxdgf  27259  brafn  29728  kbop  29734  off2  30396  ofoprabco  30417  tocycf  30790  sgnsf  30835  qqhf  31301  indf  31348  esumcocn  31413  ofcf  31436  mbfmcst  31591  dstrvprob  31803  dstfrvclim1  31809  signstf  31910  fsovfd  40644  dssmapnvod  40652  binomcxplemnotnn0  40994  sge0seq  43024  hoicvrrex  43134
 Copyright terms: Public domain W3C validator