Theorem fmpt3d 7061

Description: Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpt3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
fmpt3d.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fmpt3d	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fmpt3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpt3d.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)
2	1	fmpttd 7060	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)
3		fmpt3d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
4	3	feq1d 6644	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝐶 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶))
5	2, 4	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ↦ cmpt 5179  ⟶wf 6488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496

This theorem is referenced by:  fmptco  7074  off  7640  caofinvl  7654  curry1f  8048  curry2f  8050  fseqenlem1  9934  pfxf  14604  rpnnen2lem2  16140  1arithlem3  16853  homaf  17954  funcestrcsetclem3  18065  funcsetcestrclem3  18079  prfcl  18126  curf1cl  18151  yonedainv  18204  vrmdf  18783  pmtrf  19384  psgnunilem5  19423  pj1f  19626  vrgpf  19697  gsummptfsadd  19853  gsummptfssub  19878  lspf  20925  uvcff  21746  subrgpsr  21933  mvrf  21940  mhpmulcl  22092  cpm2mf  22696  nmf2  24537  nmof  24663  cphnmf  25151  rrxcph  25348  uniioombllem2  25540  mbfi1fseqlem3  25674  itg2cnlem1  25718  dvmptco  25932  dvle  25968  taylpf  26329  ulmshftlem  26354  ulmshft  26355  ulmdvlem1  26365  psergf  26377  pserdvlem2  26394  logbf  26755  lmif  28857  vtxdgf  29545  brafn  32022  kbop  32028  off2  32719  ofoprabco  32742  indf  32934  tocycf  33199  sgnsf  33244  qqhf  34143  esumcocn  34237  ofcf  34260  mbfmcst  34416  dstrvprob  34629  dstfrvclim1  34635  signstf  34723  fsovfd  44253  dssmapnvod  44261  binomcxplemnotnn0  44597  sge0seq  46690  hoicvrrex  46800