Theorem fmpt3d 7115

Description: Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpt3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
fmpt3d.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fmpt3d	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fmpt3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpt3d.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)
2	1	fmpttd 7114	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)
3		fmpt3d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
4	3	feq1d 6691	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝐶 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶))
5	2, 4	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ↦ cmpt 5194  ⟶wf 6536

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544

This theorem is used by:  fmptco  7129  off  7698  caofinvl  7712  curry1f  8103  curry2f  8105  fseqenlem1  10020  indf  12235  pfxf  14735  rpnnen2lem2  16288  1arithlem3  17002  homaf  18104  funcestrcsetclem3  18215  funcsetcestrclem3  18229  prfcl  18276  curf1cl  18301  yonedainv  18354  vrmdf  18940  pmtrf  19548  psgnunilem5  19587  pj1f  19790  vrgpf  19861  gsummptfsadd  20017  gsummptfssub  20042  lspf  21124  uvcff  21970  subrgpsr  22156  mvrf  22163  mhpmulcl  22341  cpm2mf  22938  nmf2  24779  nmof  24905  cphnmf  25383  rrxcph  25580  uniioombllem2  25771  mbfi1fseqlem3  25905  itg2cnlem1  25949  dvmptco  26160  dvle  26195  taylpf  26558  ulmshftlem  26581  ulmshft  26582  ulmdvlem1  26592  psergf  26604  pserdvlem2  26620  logbf  26983  lmif  29123  vtxdgf  29850  brafn  32328  kbop  32334  off2  33015  ofoprabco  33038  tocycf  33460  sgnsf  33505  mplasclco  33929  qqhf  34399  esumcocn  34493  ofcf  34516  mbfmcst  34673  dstrvprob  34886  dstfrvclim1  34892  signstf  34977  fsovfd  44771  dssmapnvod  44779  binomcxplemnotnn0  45099  sge0seq  47193  hoicvr  47295  hoicvrrex  47303