Theorem fmpt3d 7068

Description: Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpt3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
fmpt3d.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fmpt3d	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fmpt3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpt3d.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)
2	1	fmpttd 7067	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)
3		fmpt3d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
4	3	feq1d 6650	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝐶 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶))
5	2, 4	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ↦ cmpt 5166  ⟶wf 6494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502

This theorem is referenced by:  fmptco  7082  off  7649  caofinvl  7663  curry1f  8056  curry2f  8058  fseqenlem1  9946  indf  12165  pfxf  14643  rpnnen2lem2  16182  1arithlem3  16896  homaf  17997  funcestrcsetclem3  18108  funcsetcestrclem3  18122  prfcl  18169  curf1cl  18194  yonedainv  18247  vrmdf  18826  pmtrf  19430  psgnunilem5  19469  pj1f  19672  vrgpf  19743  gsummptfsadd  19899  gsummptfssub  19924  lspf  20969  uvcff  21771  subrgpsr  21956  mvrf  21963  mhpmulcl  22115  cpm2mf  22717  nmf2  24558  nmof  24684  cphnmf  25162  rrxcph  25359  uniioombllem2  25550  mbfi1fseqlem3  25684  itg2cnlem1  25728  dvmptco  25939  dvle  25974  taylpf  26331  ulmshftlem  26354  ulmshft  26355  ulmdvlem1  26365  psergf  26377  pserdvlem2  26393  logbf  26753  lmif  28853  vtxdgf  29540  brafn  32018  kbop  32024  off2  32714  ofoprabco  32737  tocycf  33178  sgnsf  33223  qqhf  34130  esumcocn  34224  ofcf  34247  mbfmcst  34403  dstrvprob  34616  dstfrvclim1  34622  signstf  34710  fsovfd  44439  dssmapnvod  44447  binomcxplemnotnn0  44783  sge0seq  46874  hoicvr  46976  hoicvrrex  46984