Theorem fmpt3d 7088

Description: Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpt3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
fmpt3d.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fmpt3d	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fmpt3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpt3d.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)
2	1	fmpttd 7087	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)
3		fmpt3d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
4	3	feq1d 6670	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝐶 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶))
5	2, 4	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ↦ cmpt 5188  ⟶wf 6507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515

This theorem is referenced by:  fmptco  7101  off  7671  caofinvl  7685  curry1f  8085  curry2f  8087  fseqenlem1  9977  pfxf  14645  rpnnen2lem2  16183  1arithlem3  16896  homaf  17992  funcestrcsetclem3  18103  funcsetcestrclem3  18117  prfcl  18164  curf1cl  18189  yonedainv  18242  vrmdf  18785  pmtrf  19385  psgnunilem5  19424  pj1f  19627  vrgpf  19698  gsummptfsadd  19854  gsummptfssub  19879  lspf  20880  uvcff  21700  subrgpsr  21887  mvrf  21894  mhpmulcl  22036  cpm2mf  22639  nmf2  24481  nmof  24607  cphnmf  25095  rrxcph  25292  uniioombllem2  25484  mbfi1fseqlem3  25618  itg2cnlem1  25662  dvmptco  25876  dvle  25912  taylpf  26273  ulmshftlem  26298  ulmshft  26299  ulmdvlem1  26309  psergf  26321  pserdvlem2  26338  logbf  26699  lmif  28712  vtxdgf  29399  brafn  31876  kbop  31882  off2  32565  ofoprabco  32588  indf  32778  tocycf  33074  sgnsf  33119  qqhf  33976  esumcocn  34070  ofcf  34093  mbfmcst  34250  dstrvprob  34463  dstfrvclim1  34469  signstf  34557  fsovfd  44001  dssmapnvod  44009  binomcxplemnotnn0  44345  sge0seq  46444  hoicvrrex  46554