Theorem fmpt3d 7109

Description: Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpt3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
fmpt3d.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fmpt3d	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fmpt3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpt3d.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)
2	1	fmpttd 7108	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)
3		fmpt3d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
4	3	feq1d 6684	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝐶 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶))
5	2, 4	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6529

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537

This theorem is used by:  fmptco  7123  off  7696  caofinvl  7710  curry1f  8103  curry2f  8105  fseqenlem1  10027  indf  12248  pfxf  14750  rpnnen2lem2  16303  1arithlem3  17017  homaf  18119  funcestrcsetclem3  18230  funcsetcestrclem3  18244  prfcl  18291  curf1cl  18316  yonedainv  18369  vrmdf  18967  pmtrf  19582  psgnunilem5  19621  pj1f  19824  vrgpf  19895  gsummptfsadd  20051  gsummptfssub  20076  lspf  21158  uvcff  22004  subrgpsr  22192  mvrf  22199  mhpmulcl  22377  cpm2mf  22977  nmf2  24819  nmof  24945  cphnmf  25423  rrxcph  25620  uniioombllem2  25811  mbfi1fseqlem3  25945  itg2cnlem1  25989  dvmptco  26199  dvle  26234  taylpf  26602  ulmshftlem  26625  ulmshft  26626  ulmdvlem1  26636  psergf  26648  pserdvlem2  26664  logbf  27026  lmif  29169  vtxdgf  29931  brafn  32428  kbop  32434  off2  33114  ofoprabco  33137  tocycf  33557  sgnsf  33602  mplasclco  34026  qqhf  34496  esumcocn  34590  ofcf  34613  mbfmcst  34770  dstrvprob  34983  dstfrvclim1  34989  signstf  35074  fsovfd  44852  dssmapnvod  44860  binomcxplemnotnn0  45180  sge0seq  47274  hoicvr  47376  hoicvrrex  47384