Theorem fmpt3d 6987

Description: Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpt3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
fmpt3d.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fmpt3d	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fmpt3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpt3d.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)
2	1	fmpttd 6986	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)
3		fmpt3d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
4	3	feq1d 6583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝐶 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶))
5	2, 4	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ↦ cmpt 5162  ⟶wf 6428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pr 5356

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ral 3071  df-rex 3072  df-rab 3075  df-v 3433  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5490  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436

This theorem is referenced by:  fmptco  6998  off  7545  caofinvl  7557  curry1f  7937  curry2f  7939  fseqenlem1  9781  pfxf  14391  rpnnen2lem2  15922  1arithlem3  16624  homaf  17743  funcestrcsetclem3  17857  funcsetcestrclem3  17871  prfcl  17918  curf1cl  17944  yonedainv  17997  vrmdf  18495  pmtrf  19061  psgnunilem5  19100  pj1f  19301  vrgpf  19372  gsummptfsadd  19523  gsummptfssub  19548  lspf  20234  uvcff  20996  subrgpsr  21186  mvrf  21191  mhpmulcl  21337  cpm2mf  21899  nmf2  23747  nmof  23881  cphnmf  24357  rrxcph  24554  uniioombllem2  24745  mbfi1fseqlem3  24880  itg2cnlem1  24924  dvmptco  25134  dvle  25169  taylpf  25523  ulmshftlem  25546  ulmshft  25547  ulmdvlem1  25557  psergf  25569  pserdvlem2  25585  logbf  25937  lmif  27144  vtxdgf  27836  brafn  30305  kbop  30311  off2  30974  ofoprabco  30997  tocycf  31380  sgnsf  31425  qqhf  31932  indf  31979  esumcocn  32044  ofcf  32067  mbfmcst  32222  dstrvprob  32434  dstfrvclim1  32440  signstf  32541  fsovfd  41590  dssmapnvod  41598  binomcxplemnotnn0  41944  sge0seq  43955  hoicvrrex  44065