Theorem fmpt3d 6701

Description: Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpt3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
fmpt3d.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fmpt3d	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fmpt3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpt3d.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)
2	1	fmpttd 6700	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)
3		fmpt3d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
4	3	feq1d 6326	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝐶 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶))
5	2, 4	mpbird 249	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ↦ cmpt 5004  ⟶wf 6181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pr 5182

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-nul 4173  df-if 4345  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-fv 6193

This theorem is referenced by:  fmptco  6712  off  7240  caofinvl  7252  curry1f  7607  curry2f  7609  fseqenlem1  9242  pfxf  13860  rpnnen2lem2  15426  1arithlem3  16115  homaf  17160  funcestrcsetclem3  17262  funcsetcestrclem3  17276  prfcl  17323  curf1cl  17348  yonedainv  17401  vrmdf  17876  pmtrf  18356  psgnunilem5  18395  pj1f  18593  vrgpf  18666  gsummptfsadd  18809  gsummptfssub  18834  lspf  19480  subrgpsr  19925  mvrf  19930  uvcff  20649  cpm2mf  21076  nmf2  22917  nmof  23043  cphnmf  23514  rrxcph  23710  uniioombllem2  23899  mbfi1fseqlem3  24033  itg2cnlem1  24077  dvmptco  24284  dvle  24319  taylpf  24669  ulmshftlem  24692  ulmshft  24693  ulmdvlem1  24703  psergf  24715  pserdvlem2  24731  logbf  25080  lmif  26285  vtxdgf  26968  brafn  29517  kbop  29523  off2  30164  ofoprabco  30185  tocycf  30476  sgnsf  30499  qqhf  30900  indf  30947  esumcocn  31012  ofcf  31035  mbfmcst  31191  dstrvprob  31404  dstfrvclim1  31410  signstf  31511  fsovfd  39750  dssmapnvod  39758  binomcxplemnotnn0  40133  sge0seq  42184  hoicvrrex  42294