Theorem kbpj 32540

Description: If a vector 𝐴 has norm 1, the outer product ∣ 𝐴⟩⟨𝐴 ∣ is the projector onto the subspace spanned by 𝐴. http://en.wikipedia.org/wiki/Bra-ket#Linear%5Foperators. (Contributed by NM, 30-May-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
kbpj	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) = 1) → (𝐴 ketbra 𝐴) = (projℎ‘(span‘{𝐴})))

Proof of Theorem kbpj

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ ((normℎ‘𝐴) = 1 → ((normℎ‘𝐴)↑2) = (1↑2))
2		sq1 14318	. . . . . . . . 9 ⊢ (1↑2) = 1
3	1, 2	eqtrdi 2812	. . . . . . . 8 ⊢ ((normℎ‘𝐴) = 1 → ((normℎ‘𝐴)↑2) = 1)
4	3	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ ((normℎ‘𝐴) = 1 → ((𝑥 ·ih 𝐴) / ((normℎ‘𝐴)↑2)) = ((𝑥 ·ih 𝐴) / 1))
5		hicl 31664	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
6	5	ancoms 464	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
7	6	div1d 12066	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih 𝐴) / 1) = (𝑥 ·ih 𝐴))
8	4, 7	sylan9eqr 2818	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝐴) = 1) → ((𝑥 ·ih 𝐴) / ((normℎ‘𝐴)↑2)) = (𝑥 ·ih 𝐴))
9	8	an32s 665	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih 𝐴) / ((normℎ‘𝐴)↑2)) = (𝑥 ·ih 𝐴))
10	9	oveq1d 7427	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑥 ·ih 𝐴) / ((normℎ‘𝐴)↑2)) ·ℎ 𝐴) = ((𝑥 ·ih 𝐴) ·ℎ 𝐴))
11		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐴 ∈ ℋ)
12		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
13		ax-1ne0 11250	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≠ 0
14		neeq1 3018	. . . . . . . . 9 ⊢ ((normℎ‘𝐴) = 1 → ((normℎ‘𝐴) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 0))
15	13, 14	mpbiri 261	. . . . . . . 8 ⊢ ((normℎ‘𝐴) = 1 → (normℎ‘𝐴) ≠ 0)
16		normne0 31714	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0ℎ))
17	15, 16	imbitrid 247	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝐴) = 1 → 𝐴 ≠ 0ℎ))
18	17	imp 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) = 1) → 𝐴 ≠ 0ℎ)
19	18	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐴 ≠ 0ℎ)
20		pjspansn 32161	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → ((projℎ‘(span‘{𝐴}))‘𝑥) = (((𝑥 ·ih 𝐴) / ((normℎ‘𝐴)↑2)) ·ℎ 𝐴))
21	11, 12, 19, 20	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((projℎ‘(span‘{𝐴}))‘𝑥) = (((𝑥 ·ih 𝐴) / ((normℎ‘𝐴)↑2)) ·ℎ 𝐴))
22		kbval 32538	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐴)‘𝑥) = ((𝑥 ·ih 𝐴) ·ℎ 𝐴))
23	22	3anidm12 1446	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐴)‘𝑥) = ((𝑥 ·ih 𝐴) ·ℎ 𝐴))
24	23	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐴)‘𝑥) = ((𝑥 ·ih 𝐴) ·ℎ 𝐴))
25	10, 21, 24	3eqtr4rd 2807	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐴)‘𝑥) = ((projℎ‘(span‘{𝐴}))‘𝑥))
26	25	ralrimiva 3155	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) = 1) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝐴 ketbra 𝐴)‘𝑥) = ((projℎ‘(span‘{𝐴}))‘𝑥))
27		kbop 32537	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐴 ketbra 𝐴): ℋ⟶ ℋ)
28	27	anidms 577	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ketbra 𝐴): ℋ⟶ ℋ)
29	28	ffnd 6702	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ketbra 𝐴) Fn ℋ)
30		spansnch 32144	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (span‘{𝐴}) ∈ Cℋ )
31		pjfn 32293	. . . . 5 ⊢ ((span‘{𝐴}) ∈ Cℋ → (projℎ‘(span‘{𝐴})) Fn ℋ)
32	30, 31	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (projℎ‘(span‘{𝐴})) Fn ℋ)
33		eqfnfv 7021	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ketbra 𝐴) Fn ℋ ∧ (projℎ‘(span‘{𝐴})) Fn ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐴) = (projℎ‘(span‘{𝐴})) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝐴 ketbra 𝐴)‘𝑥) = ((projℎ‘(span‘{𝐴}))‘𝑥)))
34	29, 32, 33	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝐴 ketbra 𝐴) = (projℎ‘(span‘{𝐴})) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝐴 ketbra 𝐴)‘𝑥) = ((projℎ‘(span‘{𝐴}))‘𝑥)))
35	34	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) = 1) → ((𝐴 ketbra 𝐴) = (projℎ‘(span‘{𝐴})) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝐴 ketbra 𝐴)‘𝑥) = ((projℎ‘(span‘{𝐴}))‘𝑥)))
36	26, 35	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) = 1) → (𝐴 ketbra 𝐴) = (projℎ‘(span‘{𝐴})))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  {csn 4584   Fn wfn 6526  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  0cc0 11181  1c1 11182   / cdiv 11954  2c2 12378  ↑cexp 14184   ℋchba 31503   ·_ℎ csm 31505   ·_ih csp 31506  norm_ℎcno 31507  0_ℎc0v 31508   C_ℋ cch 31513  spancspn 31516  proj_ℎcpjh 31521   ketbra ck 31541

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cc 10494  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259  ax-addf 11260  ax-mulf 11261  ax-hilex 31583  ax-hfvadd 31584  ax-hvcom 31585  ax-hvass 31586  ax-hv0cl 31587  ax-hvaddid 31588  ax-hfvmul 31589  ax-hvmulid 31590  ax-hvmulass 31591  ax-hvdistr1 31592  ax-hvdistr2 31593  ax-hvmul0 31594  ax-hfi 31663  ax-his1 31666  ax-his2 31667  ax-his3 31668  ax-his4 31669  ax-hcompl 31786

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-oadd 8464  df-omul 8465  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-fi 9387  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-card 10001  df-acn 10004  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-xneg 13222  df-xadd 13223  df-xmul 13224  df-ioo 13461  df-ico 13463  df-icc 13464  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-fl 13912  df-seq 14125  df-exp 14185  df-hash 14455  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-clim 15635  df-rlim 15636  df-sum 15834  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-hom 17432  df-cco 17433  df-rest 17573  df-topn 17574  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-topgen 17594  df-pt 17595  df-prds 17598  df-xrs 17654  df-qtop 17659  df-imas 17660  df-xps 17662  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-submnd 18959  df-mulg 19258  df-cntz 19511  df-cmn 19976  df-psmet 21650  df-xmet 21651  df-met 21652  df-bl 21653  df-mopn 21654  df-fbas 21655  df-fg 21656  df-cnfld 21659  df-top 23192  df-topon 23209  df-topsp 23231  df-bases 23244  df-cld 23317  df-ntr 23318  df-cls 23319  df-nei 23396  df-cn 23525  df-cnp 23526  df-lm 23527  df-haus 23613  df-tx 23861  df-hmeo 24054  df-fil 24145  df-fm 24237  df-flim 24238  df-flf 24239  df-xms 24619  df-ms 24620  df-tms 24621  df-cfil 25556  df-cau 25557  df-cmet 25558  df-grpo 31077  df-gid 31078  df-ginv 31079  df-gdiv 31080  df-ablo 31129  df-vc 31143  df-nv 31176  df-va 31179  df-ba 31180  df-sm 31181  df-0v 31182  df-vs 31183  df-nmcv 31184  df-ims 31185  df-dip 31285  df-ssp 31306  df-ph 31397  df-cbn 31447  df-hnorm 31552  df-hba 31553  df-hvsub 31555  df-hlim 31556  df-hcau 31557  df-sh 31791  df-ch 31805  df-oc 31836  df-ch0 31837  df-shs 31892  df-span 31893  df-pjh 31979  df-kb 32435

This theorem is used by: (None)