Theorem kbpj 31887

Description: If a vector 𝐴 has norm 1, the outer product ∣ 𝐴⟩⟨𝐴 ∣ is the projector onto the subspace spanned by 𝐴. http://en.wikipedia.org/wiki/Bra-ket#Linear%5Foperators. (Contributed by NM, 30-May-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
kbpj	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) = 1) → (𝐴 ketbra 𝐴) = (projℎ‘(span‘{𝐴})))

Proof of Theorem kbpj

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7347	. . . . . . . . 9 ⊢ ((normℎ‘𝐴) = 1 → ((normℎ‘𝐴)↑2) = (1↑2))
2		sq1 14090	. . . . . . . . 9 ⊢ (1↑2) = 1
3	1, 2	eqtrdi 2780	. . . . . . . 8 ⊢ ((normℎ‘𝐴) = 1 → ((normℎ‘𝐴)↑2) = 1)
4	3	oveq2d 7356	. . . . . . 7 ⊢ ((normℎ‘𝐴) = 1 → ((𝑥 ·ih 𝐴) / ((normℎ‘𝐴)↑2)) = ((𝑥 ·ih 𝐴) / 1))
5		hicl 31011	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
6	5	ancoms 458	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
7	6	div1d 11880	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih 𝐴) / 1) = (𝑥 ·ih 𝐴))
8	4, 7	sylan9eqr 2786	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝐴) = 1) → ((𝑥 ·ih 𝐴) / ((normℎ‘𝐴)↑2)) = (𝑥 ·ih 𝐴))
9	8	an32s 652	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih 𝐴) / ((normℎ‘𝐴)↑2)) = (𝑥 ·ih 𝐴))
10	9	oveq1d 7355	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑥 ·ih 𝐴) / ((normℎ‘𝐴)↑2)) ·ℎ 𝐴) = ((𝑥 ·ih 𝐴) ·ℎ 𝐴))
11		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐴 ∈ ℋ)
12		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
13		ax-1ne0 11066	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≠ 0
14		neeq1 2987	. . . . . . . . 9 ⊢ ((normℎ‘𝐴) = 1 → ((normℎ‘𝐴) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 0))
15	13, 14	mpbiri 258	. . . . . . . 8 ⊢ ((normℎ‘𝐴) = 1 → (normℎ‘𝐴) ≠ 0)
16		normne0 31061	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0ℎ))
17	15, 16	imbitrid 244	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝐴) = 1 → 𝐴 ≠ 0ℎ))
18	17	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) = 1) → 𝐴 ≠ 0ℎ)
19	18	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐴 ≠ 0ℎ)
20		pjspansn 31508	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → ((projℎ‘(span‘{𝐴}))‘𝑥) = (((𝑥 ·ih 𝐴) / ((normℎ‘𝐴)↑2)) ·ℎ 𝐴))
21	11, 12, 19, 20	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((projℎ‘(span‘{𝐴}))‘𝑥) = (((𝑥 ·ih 𝐴) / ((normℎ‘𝐴)↑2)) ·ℎ 𝐴))
22		kbval 31885	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐴)‘𝑥) = ((𝑥 ·ih 𝐴) ·ℎ 𝐴))
23	22	3anidm12 1421	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐴)‘𝑥) = ((𝑥 ·ih 𝐴) ·ℎ 𝐴))
24	23	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐴)‘𝑥) = ((𝑥 ·ih 𝐴) ·ℎ 𝐴))
25	10, 21, 24	3eqtr4rd 2775	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐴)‘𝑥) = ((projℎ‘(span‘{𝐴}))‘𝑥))
26	25	ralrimiva 3121	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) = 1) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝐴 ketbra 𝐴)‘𝑥) = ((projℎ‘(span‘{𝐴}))‘𝑥))
27		kbop 31884	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐴 ketbra 𝐴): ℋ⟶ ℋ)
28	27	anidms 566	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ketbra 𝐴): ℋ⟶ ℋ)
29	28	ffnd 6647	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ketbra 𝐴) Fn ℋ)
30		spansnch 31491	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (span‘{𝐴}) ∈ Cℋ )
31		pjfn 31640	. . . . 5 ⊢ ((span‘{𝐴}) ∈ Cℋ → (projℎ‘(span‘{𝐴})) Fn ℋ)
32	30, 31	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (projℎ‘(span‘{𝐴})) Fn ℋ)
33		eqfnfv 6958	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ketbra 𝐴) Fn ℋ ∧ (projℎ‘(span‘{𝐴})) Fn ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐴) = (projℎ‘(span‘{𝐴})) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝐴 ketbra 𝐴)‘𝑥) = ((projℎ‘(span‘{𝐴}))‘𝑥)))
34	29, 32, 33	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝐴 ketbra 𝐴) = (projℎ‘(span‘{𝐴})) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝐴 ketbra 𝐴)‘𝑥) = ((projℎ‘(span‘{𝐴}))‘𝑥)))
35	34	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) = 1) → ((𝐴 ketbra 𝐴) = (projℎ‘(span‘{𝐴})) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝐴 ketbra 𝐴)‘𝑥) = ((projℎ‘(span‘{𝐴}))‘𝑥)))
36	26, 35	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) = 1) → (𝐴 ketbra 𝐴) = (projℎ‘(span‘{𝐴})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  {csn 4573   Fn wfn 6471  ⟶wf 6472  ‘cfv 6476  (class class class)co 7340  ℂcc 10995  0cc0 10997  1c1 10998   / cdiv 11765  2c2 12171  ↑cexp 13956   ℋchba 30850   ·_ℎ csm 30852   ·_ih csp 30853  norm_ℎcno 30854  0_ℎc0v 30855   C_ℋ cch 30860  spancspn 30863  proj_ℎcpjh 30868   ketbra ck 30888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5214  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-inf2 9525  ax-cc 10317  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074  ax-pre-sup 11075  ax-addf 11076  ax-mulf 11077  ax-hilex 30930  ax-hfvadd 30931  ax-hvcom 30932  ax-hvass 30933  ax-hv0cl 30934  ax-hvaddid 30935  ax-hfvmul 30936  ax-hvmulid 30937  ax-hvmulass 30938  ax-hvdistr1 30939  ax-hvdistr2 30940  ax-hvmul0 30941  ax-hfi 31010  ax-his1 31013  ax-his2 31014  ax-his3 31015  ax-his4 31016  ax-hcompl 31133

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4895  df-iun 4940  df-iin 4941  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-se 5567  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-of 7604  df-om 7791  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-supp 8085  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-2o 8380  df-oadd 8383  df-omul 8384  df-er 8616  df-map 8746  df-pm 8747  df-ixp 8816  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-fin 8867  df-fsupp 9240  df-fi 9289  df-sup 9320  df-inf 9321  df-oi 9390  df-card 9823  df-acn 9826  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-div 11766  df-nn 12117  df-2 12179  df-3 12180  df-4 12181  df-5 12182  df-6 12183  df-7 12184  df-8 12185  df-9 12186  df-n0 12373  df-z 12460  df-dec 12580  df-uz 12724  df-q 12838  df-rp 12882  df-xneg 13002  df-xadd 13003  df-xmul 13004  df-ioo 13240  df-ico 13242  df-icc 13243  df-fz 13399  df-fzo 13546  df-fl 13684  df-seq 13897  df-exp 13957  df-hash 14226  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15382  df-rlim 15383  df-sum 15581  df-struct 17045  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17108  df-ress 17129  df-plusg 17161  df-mulr 17162  df-starv 17163  df-sca 17164  df-vsca 17165  df-ip 17166  df-tset 17167  df-ple 17168  df-ds 17170  df-unif 17171  df-hom 17172  df-cco 17173  df-rest 17313  df-topn 17314  df-0g 17332  df-gsum 17333  df-topgen 17334  df-pt 17335  df-prds 17338  df-xrs 17393  df-qtop 17398  df-imas 17399  df-xps 17401  df-mre 17475  df-mrc 17476  df-acs 17478  df-mgm 18501  df-sgrp 18580  df-mnd 18596  df-submnd 18645  df-mulg 18934  df-cntz 19183  df-cmn 19648  df-psmet 21237  df-xmet 21238  df-met 21239  df-bl 21240  df-mopn 21241  df-fbas 21242  df-fg 21243  df-cnfld 21246  df-top 22763  df-topon 22780  df-topsp 22802  df-bases 22815  df-cld 22888  df-ntr 22889  df-cls 22890  df-nei 22967  df-cn 23096  df-cnp 23097  df-lm 23098  df-haus 23184  df-tx 23431  df-hmeo 23624  df-fil 23715  df-fm 23807  df-flim 23808  df-flf 23809  df-xms 24189  df-ms 24190  df-tms 24191  df-cfil 25136  df-cau 25137  df-cmet 25138  df-grpo 30424  df-gid 30425  df-ginv 30426  df-gdiv 30427  df-ablo 30476  df-vc 30490  df-nv 30523  df-va 30526  df-ba 30527  df-sm 30528  df-0v 30529  df-vs 30530  df-nmcv 30531  df-ims 30532  df-dip 30632  df-ssp 30653  df-ph 30744  df-cbn 30794  df-hnorm 30899  df-hba 30900  df-hvsub 30902  df-hlim 30903  df-hcau 30904  df-sh 31138  df-ch 31152  df-oc 31183  df-ch0 31184  df-shs 31239  df-span 31240  df-pjh 31326  df-kb 31782

This theorem is referenced by: (None)