HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  kbpj Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem kbpj 31759
Description: If a vector 𝐴 has norm 1, the outer product ∣ 𝐴⟩⟨𝐴 ∣ is the projector onto the subspace spanned by 𝐴. http://en.wikipedia.org/wiki/Bra-ket#Linear%5Foperators. (Contributed by NM, 30-May-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
kbpj ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ (normβ„Žβ€˜π΄) = 1) β†’ (𝐴 ketbra 𝐴) = (projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴})))
Proof of Theorem kbpj
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7421 . . . . . . . . 9 ((normβ„Žβ€˜π΄) = 1 β†’ ((normβ„Žβ€˜π΄)↑2) = (1↑2))
2 sq1 14184 . . . . . . . . 9 (1↑2) = 1
31, 2eqtrdi 2784 . . . . . . . 8 ((normβ„Žβ€˜π΄) = 1 β†’ ((normβ„Žβ€˜π΄)↑2) = 1)
43oveq2d 7430 . . . . . . 7 ((normβ„Žβ€˜π΄) = 1 β†’ ((π‘₯ Β·ih 𝐴) / ((normβ„Žβ€˜π΄)↑2)) = ((π‘₯ Β·ih 𝐴) / 1))
5 hicl 30883 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝐴 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·ih 𝐴) ∈ β„‚)
65ancoms 458 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·ih 𝐴) ∈ β„‚)
76div1d 12006 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((π‘₯ Β·ih 𝐴) / 1) = (π‘₯ Β·ih 𝐴))
84, 7sylan9eqr 2790 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) ∧ (normβ„Žβ€˜π΄) = 1) β†’ ((π‘₯ Β·ih 𝐴) / ((normβ„Žβ€˜π΄)↑2)) = (π‘₯ Β·ih 𝐴))
98an32s 651 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ (normβ„Žβ€˜π΄) = 1) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((π‘₯ Β·ih 𝐴) / ((normβ„Žβ€˜π΄)↑2)) = (π‘₯ Β·ih 𝐴))
109oveq1d 7429 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ (normβ„Žβ€˜π΄) = 1) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (((π‘₯ Β·ih 𝐴) / ((normβ„Žβ€˜π΄)↑2)) Β·β„Ž 𝐴) = ((π‘₯ Β·ih 𝐴) Β·β„Ž 𝐴))
11 simpll 766 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ (normβ„Žβ€˜π΄) = 1) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ 𝐴 ∈ β„‹)
12 simpr 484 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ (normβ„Žβ€˜π΄) = 1) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ π‘₯ ∈ β„‹)
13 ax-1ne0 11201 . . . . . . . . 9 1 β‰  0
14 neeq1 2999 . . . . . . . . 9 ((normβ„Žβ€˜π΄) = 1 β†’ ((normβ„Žβ€˜π΄) β‰  0 ↔ 1 β‰  0))
1513, 14mpbiri 258 . . . . . . . 8 ((normβ„Žβ€˜π΄) = 1 β†’ (normβ„Žβ€˜π΄) β‰  0)
16 normne0 30933 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‹ β†’ ((normβ„Žβ€˜π΄) β‰  0 ↔ 𝐴 β‰  0β„Ž))
1715, 16imbitrid 243 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‹ β†’ ((normβ„Žβ€˜π΄) = 1 β†’ 𝐴 β‰  0β„Ž))
1817imp 406 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ (normβ„Žβ€˜π΄) = 1) β†’ 𝐴 β‰  0β„Ž)
1918adantr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ (normβ„Žβ€˜π΄) = 1) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ 𝐴 β‰  0β„Ž)
20 pjspansn 31380 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝐴 β‰  0β„Ž) β†’ ((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π‘₯) = (((π‘₯ Β·ih 𝐴) / ((normβ„Žβ€˜π΄)↑2)) Β·β„Ž 𝐴))
2111, 12, 19, 20syl3anc 1369 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ (normβ„Žβ€˜π΄) = 1) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π‘₯) = (((π‘₯ Β·ih 𝐴) / ((normβ„Žβ€˜π΄)↑2)) Β·β„Ž 𝐴))
22 kbval 31757 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐴 ∈ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((𝐴 ketbra 𝐴)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ Β·ih 𝐴) Β·β„Ž 𝐴))
23223anidm12 1417 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((𝐴 ketbra 𝐴)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ Β·ih 𝐴) Β·β„Ž 𝐴))
2423adantlr 714 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ (normβ„Žβ€˜π΄) = 1) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((𝐴 ketbra 𝐴)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ Β·ih 𝐴) Β·β„Ž 𝐴))
2510, 21, 243eqtr4rd 2779 . . 3 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ (normβ„Žβ€˜π΄) = 1) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((𝐴 ketbra 𝐴)β€˜π‘₯) = ((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π‘₯))
2625ralrimiva 3142 . 2 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ (normβ„Žβ€˜π΄) = 1) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ ((𝐴 ketbra 𝐴)β€˜π‘₯) = ((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π‘₯))
27 kbop 31756 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐴 ∈ β„‹) β†’ (𝐴 ketbra 𝐴): β„‹βŸΆ β„‹)
2827anidms 566 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‹ β†’ (𝐴 ketbra 𝐴): β„‹βŸΆ β„‹)
2928ffnd 6717 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‹ β†’ (𝐴 ketbra 𝐴) Fn β„‹)
30 spansnch 31363 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‹ β†’ (spanβ€˜{𝐴}) ∈ Cβ„‹ )
31 pjfn 31512 . . . . 5 ((spanβ€˜{𝐴}) ∈ Cβ„‹ β†’ (projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴})) Fn β„‹)
3230, 31syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‹ β†’ (projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴})) Fn β„‹)
33 eqfnfv 7034 . . . 4 (((𝐴 ketbra 𝐴) Fn β„‹ ∧ (projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴})) Fn β„‹) β†’ ((𝐴 ketbra 𝐴) = (projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴})) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ ((𝐴 ketbra 𝐴)β€˜π‘₯) = ((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π‘₯)))
3429, 32, 33syl2anc 583 . . 3 (𝐴 ∈ β„‹ β†’ ((𝐴 ketbra 𝐴) = (projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴})) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ ((𝐴 ketbra 𝐴)β€˜π‘₯) = ((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π‘₯)))
3534adantr 480 . 2 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ (normβ„Žβ€˜π΄) = 1) β†’ ((𝐴 ketbra 𝐴) = (projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴})) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ ((𝐴 ketbra 𝐴)β€˜π‘₯) = ((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π‘₯)))
3626, 35mpbird 257 1 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ (normβ„Žβ€˜π΄) = 1) β†’ (𝐴 ketbra 𝐴) = (projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2936  βˆ€wral 3057  {csn 4624   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11130  0cc0 11132  1c1 11133   / cdiv 11895  2c2 12291  β†‘cexp 14052   β„‹chba 30722   Β·β„Ž csm 30724   Β·ih csp 30725  normβ„Žcno 30726  0β„Žc0v 30727   Cβ„‹ cch 30732  spancspn 30735  projβ„Žcpjh 30740   ketbra ck 30760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9658  ax-cc 10452  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210  ax-addf 11211  ax-mulf 11212  ax-hilex 30802  ax-hfvadd 30803  ax-hvcom 30804  ax-hvass 30805  ax-hv0cl 30806  ax-hvaddid 30807  ax-hfvmul 30808  ax-hvmulid 30809  ax-hvmulass 30810  ax-hvdistr1 30811  ax-hvdistr2 30812  ax-hvmul0 30813  ax-hfi 30882  ax-his1 30885  ax-his2 30886  ax-his3 30887  ax-his4 30888  ax-hcompl 31005
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9380  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9527  df-card 9956  df-acn 9959  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-q 12957  df-rp 13001  df-xneg 13118  df-xadd 13119  df-xmul 13120  df-ioo 13354  df-ico 13356  df-icc 13357  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-fl 13783  df-seq 13993  df-exp 14053  df-hash 14316  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15458  df-rlim 15459  df-sum 15659  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-hom 17250  df-cco 17251  df-rest 17397  df-topn 17398  df-0g 17416  df-gsum 17417  df-topgen 17418  df-pt 17419  df-prds 17422  df-xrs 17477  df-qtop 17482  df-imas 17483  df-xps 17485  df-mre 17559  df-mrc 17560  df-acs 17562  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-submnd 18734  df-mulg 19017  df-cntz 19261  df-cmn 19730  df-psmet 21264  df-xmet 21265  df-met 21266  df-bl 21267  df-mopn 21268  df-fbas 21269  df-fg 21270  df-cnfld 21273  df-top 22789  df-topon 22806  df-topsp 22828  df-bases 22842  df-cld 22916  df-ntr 22917  df-cls 22918  df-nei 22995  df-cn 23124  df-cnp 23125  df-lm 23126  df-haus 23212  df-tx 23459  df-hmeo 23652  df-fil 23743  df-fm 23835  df-flim 23836  df-flf 23837  df-xms 24219  df-ms 24220  df-tms 24221  df-cfil 25176  df-cau 25177  df-cmet 25178  df-grpo 30296  df-gid 30297  df-ginv 30298  df-gdiv 30299  df-ablo 30348  df-vc 30362  df-nv 30395  df-va 30398  df-ba 30399  df-sm 30400  df-0v 30401  df-vs 30402  df-nmcv 30403  df-ims 30404  df-dip 30504  df-ssp 30525  df-ph 30616  df-cbn 30666  df-hnorm 30771  df-hba 30772  df-hvsub 30774  df-hlim 30775  df-hcau 30776  df-sh 31010  df-ch 31024  df-oc 31055  df-ch0 31056  df-shs 31111  df-span 31112  df-pjh 31198  df-kb 31654
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator