HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  kbpj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kbpj 29148
Description: If a vector 𝐴 has norm 1, the outer product 𝐴 𝐴 is the projector onto the subspace spanned by 𝐴. http://en.wikipedia.org/wiki/Bra-ket#Linear%5Foperators. (Contributed by NM, 30-May-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
kbpj ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (norm𝐴) = 1) → (𝐴 ketbra 𝐴) = (proj‘(span‘{𝐴})))

Proof of Theorem kbpj
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6798 . . . . . . . . 9 ((norm𝐴) = 1 → ((norm𝐴)↑2) = (1↑2))
2 sq1 13158 . . . . . . . . 9 (1↑2) = 1
31, 2syl6eq 2821 . . . . . . . 8 ((norm𝐴) = 1 → ((norm𝐴)↑2) = 1)
43oveq2d 6807 . . . . . . 7 ((norm𝐴) = 1 → ((𝑥 ·ih 𝐴) / ((norm𝐴)↑2)) = ((𝑥 ·ih 𝐴) / 1))
5 hicl 28270 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
65ancoms 446 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
76div1d 10993 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih 𝐴) / 1) = (𝑥 ·ih 𝐴))
84, 7sylan9eqr 2827 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (norm𝐴) = 1) → ((𝑥 ·ih 𝐴) / ((norm𝐴)↑2)) = (𝑥 ·ih 𝐴))
98an32s 631 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ (norm𝐴) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih 𝐴) / ((norm𝐴)↑2)) = (𝑥 ·ih 𝐴))
109oveq1d 6806 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ (norm𝐴) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑥 ·ih 𝐴) / ((norm𝐴)↑2)) · 𝐴) = ((𝑥 ·ih 𝐴) · 𝐴))
11 simpll 750 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ (norm𝐴) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐴 ∈ ℋ)
12 simpr 471 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ (norm𝐴) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
13 ax-1ne0 10205 . . . . . . . . 9 1 ≠ 0
14 neeq1 3005 . . . . . . . . 9 ((norm𝐴) = 1 → ((norm𝐴) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 0))
1513, 14mpbiri 248 . . . . . . . 8 ((norm𝐴) = 1 → (norm𝐴) ≠ 0)
16 normne0 28320 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℋ → ((norm𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
1715, 16syl5ib 234 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℋ → ((norm𝐴) = 1 → 𝐴 ≠ 0))
1817imp 393 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (norm𝐴) = 1) → 𝐴 ≠ 0)
1918adantr 466 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ (norm𝐴) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐴 ≠ 0)
20 pjspansn 28769 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝑥) = (((𝑥 ·ih 𝐴) / ((norm𝐴)↑2)) · 𝐴))
2111, 12, 19, 20syl3anc 1476 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ (norm𝐴) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝑥) = (((𝑥 ·ih 𝐴) / ((norm𝐴)↑2)) · 𝐴))
22 kbval 29146 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐴)‘𝑥) = ((𝑥 ·ih 𝐴) · 𝐴))
23223anidm12 1529 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐴)‘𝑥) = ((𝑥 ·ih 𝐴) · 𝐴))
2423adantlr 694 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ (norm𝐴) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐴)‘𝑥) = ((𝑥 ·ih 𝐴) · 𝐴))
2510, 21, 243eqtr4rd 2816 . . 3 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ (norm𝐴) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐴)‘𝑥) = ((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝑥))
2625ralrimiva 3115 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (norm𝐴) = 1) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝐴 ketbra 𝐴)‘𝑥) = ((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝑥))
27 kbop 29145 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐴 ketbra 𝐴): ℋ⟶ ℋ)
2827anidms 556 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ketbra 𝐴): ℋ⟶ ℋ)
29 ffn 6183 . . . . 5 ((𝐴 ketbra 𝐴): ℋ⟶ ℋ → (𝐴 ketbra 𝐴) Fn ℋ)
3028, 29syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ketbra 𝐴) Fn ℋ)
31 spansnch 28752 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℋ → (span‘{𝐴}) ∈ C )
32 pjfn 28901 . . . . 5 ((span‘{𝐴}) ∈ C → (proj‘(span‘{𝐴})) Fn ℋ)
3331, 32syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℋ → (proj‘(span‘{𝐴})) Fn ℋ)
34 eqfnfv 6452 . . . 4 (((𝐴 ketbra 𝐴) Fn ℋ ∧ (proj‘(span‘{𝐴})) Fn ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐴) = (proj‘(span‘{𝐴})) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝐴 ketbra 𝐴)‘𝑥) = ((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝑥)))
3530, 33, 34syl2anc 573 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → ((𝐴 ketbra 𝐴) = (proj‘(span‘{𝐴})) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝐴 ketbra 𝐴)‘𝑥) = ((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝑥)))
3635adantr 466 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (norm𝐴) = 1) → ((𝐴 ketbra 𝐴) = (proj‘(span‘{𝐴})) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝐴 ketbra 𝐴)‘𝑥) = ((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝑥)))
3726, 36mpbird 247 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (norm𝐴) = 1) → (𝐴 ketbra 𝐴) = (proj‘(span‘{𝐴})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  {csn 4316   Fn wfn 6024  wf 6025  cfv 6029  (class class class)co 6791  cc 10134  0cc0 10136  1c1 10137   / cdiv 10884  2c2 11270  cexp 13060  chil 28109   · csm 28111   ·ih csp 28112  normcno 28113  0c0v 28114   C cch 28119  spancspn 28122  projcpjh 28127   ketbra ck 28147
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-inf2 8700  ax-cc 9457  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214  ax-addf 10215  ax-mulf 10216  ax-hilex 28189  ax-hfvadd 28190  ax-hvcom 28191  ax-hvass 28192  ax-hv0cl 28193  ax-hvaddid 28194  ax-hfvmul 28195  ax-hvmulid 28196  ax-hvmulass 28197  ax-hvdistr1 28198  ax-hvdistr2 28199  ax-hvmul0 28200  ax-hfi 28269  ax-his1 28272  ax-his2 28273  ax-his3 28274  ax-his4 28275  ax-hcompl 28392
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-isom 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-of 7042  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-supp 7445  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-2o 7712  df-oadd 7715  df-omul 7716  df-er 7894  df-map 8009  df-pm 8010  df-ixp 8061  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-fsupp 8430  df-fi 8471  df-sup 8502  df-inf 8503  df-oi 8569  df-card 8963  df-acn 8966  df-cda 9190  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-7 11284  df-8 11285  df-9 11286  df-n0 11493  df-z 11578  df-dec 11694  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12144  df-xadd 12145  df-xmul 12146  df-ioo 12377  df-ico 12379  df-icc 12380  df-fz 12527  df-fzo 12667  df-fl 12794  df-seq 13002  df-exp 13061  df-hash 13315  df-cj 14040  df-re 14041  df-im 14042  df-sqrt 14176  df-abs 14177  df-clim 14420  df-rlim 14421  df-sum 14618  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16155  df-mulr 16156  df-starv 16157  df-sca 16158  df-vsca 16159  df-ip 16160  df-tset 16161  df-ple 16162  df-ds 16165  df-unif 16166  df-hom 16167  df-cco 16168  df-rest 16284  df-topn 16285  df-0g 16303  df-gsum 16304  df-topgen 16305  df-pt 16306  df-prds 16309  df-xrs 16363  df-qtop 16368  df-imas 16369  df-xps 16371  df-mre 16447  df-mrc 16448  df-acs 16450  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19946  df-xmet 19947  df-met 19948  df-bl 19949  df-mopn 19950  df-fbas 19951  df-fg 19952  df-cnfld 19955  df-top 20912  df-topon 20929  df-topsp 20951  df-bases 20964  df-cld 21037  df-ntr 21038  df-cls 21039  df-nei 21116  df-cn 21245  df-cnp 21246  df-lm 21247  df-haus 21333  df-tx 21579  df-hmeo 21772  df-fil 21863  df-fm 21955  df-flim 21956  df-flf 21957  df-xms 22338  df-ms 22339  df-tms 22340  df-cfil 23265  df-cau 23266  df-cmet 23267  df-grpo 27680  df-gid 27681  df-ginv 27682  df-gdiv 27683  df-ablo 27732  df-vc 27747  df-nv 27780  df-va 27783  df-ba 27784  df-sm 27785  df-0v 27786  df-vs 27787  df-nmcv 27788  df-ims 27789  df-dip 27889  df-ssp 27910  df-ph 28001  df-cbn 28052  df-hnorm 28158  df-hba 28159  df-hvsub 28161  df-hlim 28162  df-hcau 28163  df-sh 28397  df-ch 28411  df-oc 28442  df-ch0 28443  df-shs 28500  df-span 28501  df-pjh 28587  df-kb 29043
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator