HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  kbpj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kbpj 31985
Description: If a vector 𝐴 has norm 1, the outer product 𝐴⟩⟨𝐴 is the projector onto the subspace spanned by 𝐴. http://en.wikipedia.org/wiki/Bra-ket#Linear%5Foperators. (Contributed by NM, 30-May-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
kbpj ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (norm𝐴) = 1) → (𝐴 ketbra 𝐴) = (proj‘(span‘{𝐴})))

Proof of Theorem kbpj
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7438 . . . . . . . . 9 ((norm𝐴) = 1 → ((norm𝐴)↑2) = (1↑2))
2 sq1 14231 . . . . . . . . 9 (1↑2) = 1
31, 2eqtrdi 2791 . . . . . . . 8 ((norm𝐴) = 1 → ((norm𝐴)↑2) = 1)
43oveq2d 7447 . . . . . . 7 ((norm𝐴) = 1 → ((𝑥 ·ih 𝐴) / ((norm𝐴)↑2)) = ((𝑥 ·ih 𝐴) / 1))
5 hicl 31109 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
65ancoms 458 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
76div1d 12033 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih 𝐴) / 1) = (𝑥 ·ih 𝐴))
84, 7sylan9eqr 2797 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (norm𝐴) = 1) → ((𝑥 ·ih 𝐴) / ((norm𝐴)↑2)) = (𝑥 ·ih 𝐴))
98an32s 652 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ (norm𝐴) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih 𝐴) / ((norm𝐴)↑2)) = (𝑥 ·ih 𝐴))
109oveq1d 7446 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ (norm𝐴) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑥 ·ih 𝐴) / ((norm𝐴)↑2)) · 𝐴) = ((𝑥 ·ih 𝐴) · 𝐴))
11 simpll 767 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ (norm𝐴) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐴 ∈ ℋ)
12 simpr 484 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ (norm𝐴) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
13 ax-1ne0 11222 . . . . . . . . 9 1 ≠ 0
14 neeq1 3001 . . . . . . . . 9 ((norm𝐴) = 1 → ((norm𝐴) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 0))
1513, 14mpbiri 258 . . . . . . . 8 ((norm𝐴) = 1 → (norm𝐴) ≠ 0)
16 normne0 31159 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℋ → ((norm𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
1715, 16imbitrid 244 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℋ → ((norm𝐴) = 1 → 𝐴 ≠ 0))
1817imp 406 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (norm𝐴) = 1) → 𝐴 ≠ 0)
1918adantr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ (norm𝐴) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐴 ≠ 0)
20 pjspansn 31606 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝑥) = (((𝑥 ·ih 𝐴) / ((norm𝐴)↑2)) · 𝐴))
2111, 12, 19, 20syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ (norm𝐴) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝑥) = (((𝑥 ·ih 𝐴) / ((norm𝐴)↑2)) · 𝐴))
22 kbval 31983 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐴)‘𝑥) = ((𝑥 ·ih 𝐴) · 𝐴))
23223anidm12 1418 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐴)‘𝑥) = ((𝑥 ·ih 𝐴) · 𝐴))
2423adantlr 715 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ (norm𝐴) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐴)‘𝑥) = ((𝑥 ·ih 𝐴) · 𝐴))
2510, 21, 243eqtr4rd 2786 . . 3 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ (norm𝐴) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐴)‘𝑥) = ((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝑥))
2625ralrimiva 3144 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (norm𝐴) = 1) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝐴 ketbra 𝐴)‘𝑥) = ((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝑥))
27 kbop 31982 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐴 ketbra 𝐴): ℋ⟶ ℋ)
2827anidms 566 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ketbra 𝐴): ℋ⟶ ℋ)
2928ffnd 6738 . . . 4 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ketbra 𝐴) Fn ℋ)
30 spansnch 31589 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℋ → (span‘{𝐴}) ∈ C )
31 pjfn 31738 . . . . 5 ((span‘{𝐴}) ∈ C → (proj‘(span‘{𝐴})) Fn ℋ)
3230, 31syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℋ → (proj‘(span‘{𝐴})) Fn ℋ)
33 eqfnfv 7051 . . . 4 (((𝐴 ketbra 𝐴) Fn ℋ ∧ (proj‘(span‘{𝐴})) Fn ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐴) = (proj‘(span‘{𝐴})) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝐴 ketbra 𝐴)‘𝑥) = ((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝑥)))
3429, 32, 33syl2anc 584 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → ((𝐴 ketbra 𝐴) = (proj‘(span‘{𝐴})) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝐴 ketbra 𝐴)‘𝑥) = ((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝑥)))
3534adantr 480 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (norm𝐴) = 1) → ((𝐴 ketbra 𝐴) = (proj‘(span‘{𝐴})) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝐴 ketbra 𝐴)‘𝑥) = ((proj‘(span‘{𝐴}))‘𝑥)))
3626, 35mpbird 257 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (norm𝐴) = 1) → (𝐴 ketbra 𝐴) = (proj‘(span‘{𝐴})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  {csn 4631   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   / cdiv 11918  2c2 12319  cexp 14099  chba 30948   · csm 30950   ·ih csp 30951  normcno 30952  0c0v 30953   C cch 30958  spancspn 30961  projcpjh 30966   ketbra ck 30986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cc 10473  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233  ax-hilex 31028  ax-hfvadd 31029  ax-hvcom 31030  ax-hvass 31031  ax-hv0cl 31032  ax-hvaddid 31033  ax-hfvmul 31034  ax-hvmulid 31035  ax-hvmulass 31036  ax-hvdistr1 31037  ax-hvdistr2 31038  ax-hvmul0 31039  ax-hfi 31108  ax-his1 31111  ax-his2 31112  ax-his3 31113  ax-his4 31114  ax-hcompl 31231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-lm 23253  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cfil 25303  df-cau 25304  df-cmet 25305  df-grpo 30522  df-gid 30523  df-ginv 30524  df-gdiv 30525  df-ablo 30574  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-vs 30628  df-nmcv 30629  df-ims 30630  df-dip 30730  df-ssp 30751  df-ph 30842  df-cbn 30892  df-hnorm 30997  df-hba 30998  df-hvsub 31000  df-hlim 31001  df-hcau 31002  df-sh 31236  df-ch 31250  df-oc 31281  df-ch0 31282  df-shs 31337  df-span 31338  df-pjh 31424  df-kb 31880
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator