HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  kbpj Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem kbpj 31196
Description: If a vector 𝐴 has norm 1, the outer product ∣ 𝐴⟩⟨𝐴 ∣ is the projector onto the subspace spanned by 𝐴. http://en.wikipedia.org/wiki/Bra-ket#Linear%5Foperators. (Contributed by NM, 30-May-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
kbpj ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ (normβ„Žβ€˜π΄) = 1) β†’ (𝐴 ketbra 𝐴) = (projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴})))
Proof of Theorem kbpj
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7412 . . . . . . . . 9 ((normβ„Žβ€˜π΄) = 1 β†’ ((normβ„Žβ€˜π΄)↑2) = (1↑2))
2 sq1 14155 . . . . . . . . 9 (1↑2) = 1
31, 2eqtrdi 2788 . . . . . . . 8 ((normβ„Žβ€˜π΄) = 1 β†’ ((normβ„Žβ€˜π΄)↑2) = 1)
43oveq2d 7421 . . . . . . 7 ((normβ„Žβ€˜π΄) = 1 β†’ ((π‘₯ Β·ih 𝐴) / ((normβ„Žβ€˜π΄)↑2)) = ((π‘₯ Β·ih 𝐴) / 1))
5 hicl 30320 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝐴 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·ih 𝐴) ∈ β„‚)
65ancoms 459 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·ih 𝐴) ∈ β„‚)
76div1d 11978 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((π‘₯ Β·ih 𝐴) / 1) = (π‘₯ Β·ih 𝐴))
84, 7sylan9eqr 2794 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) ∧ (normβ„Žβ€˜π΄) = 1) β†’ ((π‘₯ Β·ih 𝐴) / ((normβ„Žβ€˜π΄)↑2)) = (π‘₯ Β·ih 𝐴))
98an32s 650 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ (normβ„Žβ€˜π΄) = 1) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((π‘₯ Β·ih 𝐴) / ((normβ„Žβ€˜π΄)↑2)) = (π‘₯ Β·ih 𝐴))
109oveq1d 7420 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ (normβ„Žβ€˜π΄) = 1) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (((π‘₯ Β·ih 𝐴) / ((normβ„Žβ€˜π΄)↑2)) Β·β„Ž 𝐴) = ((π‘₯ Β·ih 𝐴) Β·β„Ž 𝐴))
11 simpll 765 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ (normβ„Žβ€˜π΄) = 1) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ 𝐴 ∈ β„‹)
12 simpr 485 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ (normβ„Žβ€˜π΄) = 1) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ π‘₯ ∈ β„‹)
13 ax-1ne0 11175 . . . . . . . . 9 1 β‰  0
14 neeq1 3003 . . . . . . . . 9 ((normβ„Žβ€˜π΄) = 1 β†’ ((normβ„Žβ€˜π΄) β‰  0 ↔ 1 β‰  0))
1513, 14mpbiri 257 . . . . . . . 8 ((normβ„Žβ€˜π΄) = 1 β†’ (normβ„Žβ€˜π΄) β‰  0)
16 normne0 30370 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‹ β†’ ((normβ„Žβ€˜π΄) β‰  0 ↔ 𝐴 β‰  0β„Ž))
1715, 16imbitrid 243 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‹ β†’ ((normβ„Žβ€˜π΄) = 1 β†’ 𝐴 β‰  0β„Ž))
1817imp 407 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ (normβ„Žβ€˜π΄) = 1) β†’ 𝐴 β‰  0β„Ž)
1918adantr 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ (normβ„Žβ€˜π΄) = 1) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ 𝐴 β‰  0β„Ž)
20 pjspansn 30817 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝐴 β‰  0β„Ž) β†’ ((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π‘₯) = (((π‘₯ Β·ih 𝐴) / ((normβ„Žβ€˜π΄)↑2)) Β·β„Ž 𝐴))
2111, 12, 19, 20syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ (normβ„Žβ€˜π΄) = 1) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π‘₯) = (((π‘₯ Β·ih 𝐴) / ((normβ„Žβ€˜π΄)↑2)) Β·β„Ž 𝐴))
22 kbval 31194 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐴 ∈ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((𝐴 ketbra 𝐴)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ Β·ih 𝐴) Β·β„Ž 𝐴))
23223anidm12 1419 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((𝐴 ketbra 𝐴)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ Β·ih 𝐴) Β·β„Ž 𝐴))
2423adantlr 713 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ (normβ„Žβ€˜π΄) = 1) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((𝐴 ketbra 𝐴)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ Β·ih 𝐴) Β·β„Ž 𝐴))
2510, 21, 243eqtr4rd 2783 . . 3 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ (normβ„Žβ€˜π΄) = 1) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((𝐴 ketbra 𝐴)β€˜π‘₯) = ((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π‘₯))
2625ralrimiva 3146 . 2 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ (normβ„Žβ€˜π΄) = 1) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ ((𝐴 ketbra 𝐴)β€˜π‘₯) = ((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π‘₯))
27 kbop 31193 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐴 ∈ β„‹) β†’ (𝐴 ketbra 𝐴): β„‹βŸΆ β„‹)
2827anidms 567 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‹ β†’ (𝐴 ketbra 𝐴): β„‹βŸΆ β„‹)
2928ffnd 6715 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‹ β†’ (𝐴 ketbra 𝐴) Fn β„‹)
30 spansnch 30800 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‹ β†’ (spanβ€˜{𝐴}) ∈ Cβ„‹ )
31 pjfn 30949 . . . . 5 ((spanβ€˜{𝐴}) ∈ Cβ„‹ β†’ (projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴})) Fn β„‹)
3230, 31syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‹ β†’ (projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴})) Fn β„‹)
33 eqfnfv 7029 . . . 4 (((𝐴 ketbra 𝐴) Fn β„‹ ∧ (projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴})) Fn β„‹) β†’ ((𝐴 ketbra 𝐴) = (projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴})) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ ((𝐴 ketbra 𝐴)β€˜π‘₯) = ((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π‘₯)))
3429, 32, 33syl2anc 584 . . 3 (𝐴 ∈ β„‹ β†’ ((𝐴 ketbra 𝐴) = (projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴})) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ ((𝐴 ketbra 𝐴)β€˜π‘₯) = ((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π‘₯)))
3534adantr 481 . 2 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ (normβ„Žβ€˜π΄) = 1) β†’ ((𝐴 ketbra 𝐴) = (projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴})) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ ((𝐴 ketbra 𝐴)β€˜π‘₯) = ((projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴}))β€˜π‘₯)))
3626, 35mpbird 256 1 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ (normβ„Žβ€˜π΄) = 1) β†’ (𝐴 ketbra 𝐴) = (projβ„Žβ€˜(spanβ€˜{𝐴})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  {csn 4627   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   / cdiv 11867  2c2 12263  β†‘cexp 14023   β„‹chba 30159   Β·β„Ž csm 30161   Β·ih csp 30162  normβ„Žcno 30163  0β„Žc0v 30164   Cβ„‹ cch 30169  spancspn 30172  projβ„Žcpjh 30177   ketbra ck 30197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186  ax-hilex 30239  ax-hfvadd 30240  ax-hvcom 30241  ax-hvass 30242  ax-hv0cl 30243  ax-hvaddid 30244  ax-hfvmul 30245  ax-hvmulid 30246  ax-hvmulass 30247  ax-hvdistr1 30248  ax-hvdistr2 30249  ax-hvmul0 30250  ax-hfi 30319  ax-his1 30322  ax-his2 30323  ax-his3 30324  ax-his4 30325  ax-hcompl 30442
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-lm 22724  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cfil 24763  df-cau 24764  df-cmet 24765  df-grpo 29733  df-gid 29734  df-ginv 29735  df-gdiv 29736  df-ablo 29785  df-vc 29799  df-nv 29832  df-va 29835  df-ba 29836  df-sm 29837  df-0v 29838  df-vs 29839  df-nmcv 29840  df-ims 29841  df-dip 29941  df-ssp 29962  df-ph 30053  df-cbn 30103  df-hnorm 30208  df-hba 30209  df-hvsub 30211  df-hlim 30212  df-hcau 30213  df-sh 30447  df-ch 30461  df-oc 30492  df-ch0 30493  df-shs 30548  df-span 30549  df-pjh 30635  df-kb 31091
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator