Theorem hicl 28863

Description: Closure of inner product. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hicl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem hicl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfi 28862	. 2 ⊢ ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ
2	1	fovcl 7258	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7135  ℂcc 10524   ℋchba 28702   ·_ih csp 28705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295  ax-hfi 28862

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-fv 6332  df-ov 7138

This theorem is referenced by:  hicli  28864  his5  28869  his35  28871  his7  28873  his2sub  28875  his2sub2  28876  hire  28877  hi01  28879  abshicom  28884  hi2eq  28888  hial2eq2  28890  bcs2  28965  pjhthlem1  29174  normcan  29359  pjspansn  29360  adjsym  29616  cnvadj  29675  adj2  29717  brafn  29730  kbop  29736  kbmul  29738  kbpj  29739  eigvalcl  29744  lnopeqi  29791  riesz3i  29845  cnlnadjlem2  29851  cnlnadjlem7  29856  nmopcoadji  29884  kbass2  29900  kbass5  29903  kbass6  29904  hmopidmpji  29935  pjclem4  29982  pj3si  29990