Theorem hicl 31009

Description: Closure of inner product. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hicl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem hicl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfi 31008	. 2 ⊢ ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ
2	1	fovcl 7517	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  ℂcc 11066   ℋchba 30848   ·_ih csp 30851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-hfi 31008

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-fv 6519  df-ov 7390

This theorem is referenced by:  hicli  31010  his5  31015  his35  31017  his7  31019  his2sub  31021  his2sub2  31022  hire  31023  hi01  31025  abshicom  31030  hi2eq  31034  hial2eq2  31036  bcs2  31111  pjhthlem1  31320  normcan  31505  pjspansn  31506  adjsym  31762  cnvadj  31821  adj2  31863  brafn  31876  kbop  31882  kbmul  31884  kbpj  31885  eigvalcl  31890  lnopeqi  31937  riesz3i  31991  cnlnadjlem2  31997  cnlnadjlem7  32002  nmopcoadji  32030  kbass2  32046  kbass5  32049  kbass6  32050  hmopidmpji  32081  pjclem4  32128  pj3si  32136