Theorem hicl 31167

Description: Closure of inner product. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hicl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem hicl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfi 31166	. 2 ⊢ ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ
2	1	fovcl 7496	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  ℂcc 11036   ℋchba 31006   ·_ih csp 31009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-hfi 31166

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-ov 7371

This theorem is referenced by:  hicli  31168  his5  31173  his35  31175  his7  31177  his2sub  31179  his2sub2  31180  hire  31181  hi01  31183  abshicom  31188  hi2eq  31192  hial2eq2  31194  bcs2  31269  pjhthlem1  31478  normcan  31663  pjspansn  31664  adjsym  31920  cnvadj  31979  adj2  32021  brafn  32034  kbop  32040  kbmul  32042  kbpj  32043  eigvalcl  32048  lnopeqi  32095  riesz3i  32149  cnlnadjlem2  32155  cnlnadjlem7  32160  nmopcoadji  32188  kbass2  32204  kbass5  32207  kbass6  32208  hmopidmpji  32239  pjclem4  32286  pj3si  32294