Theorem hicl 29491

Description: Closure of inner product. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hicl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem hicl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfi 29490	. 2 ⊢ ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ
2	1	fovcl 7434	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2104  (class class class)co 7307  ℂcc 10919   ℋchba 29330   ·_ih csp 29333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pr 5361  ax-hfi 29490

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-fv 6466  df-ov 7310

This theorem is referenced by:  hicli  29492  his5  29497  his35  29499  his7  29501  his2sub  29503  his2sub2  29504  hire  29505  hi01  29507  abshicom  29512  hi2eq  29516  hial2eq2  29518  bcs2  29593  pjhthlem1  29802  normcan  29987  pjspansn  29988  adjsym  30244  cnvadj  30303  adj2  30345  brafn  30358  kbop  30364  kbmul  30366  kbpj  30367  eigvalcl  30372  lnopeqi  30419  riesz3i  30473  cnlnadjlem2  30479  cnlnadjlem7  30484  nmopcoadji  30512  kbass2  30528  kbass5  30531  kbass6  30532  hmopidmpji  30563  pjclem4  30610  pj3si  30618