Theorem hicl 31108

Description: Closure of inner product. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hicl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem hicl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfi 31107	. 2 ⊢ ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ
2	1	fovcl 7560	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7430  ℂcc 11150   ℋchba 30947   ·_ih csp 30950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437  ax-hfi 31107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-fv 6570  df-ov 7433

This theorem is referenced by:  hicli  31109  his5  31114  his35  31116  his7  31118  his2sub  31120  his2sub2  31121  hire  31122  hi01  31124  abshicom  31129  hi2eq  31133  hial2eq2  31135  bcs2  31210  pjhthlem1  31419  normcan  31604  pjspansn  31605  adjsym  31861  cnvadj  31920  adj2  31962  brafn  31975  kbop  31981  kbmul  31983  kbpj  31984  eigvalcl  31989  lnopeqi  32036  riesz3i  32090  cnlnadjlem2  32096  cnlnadjlem7  32101  nmopcoadji  32129  kbass2  32145  kbass5  32148  kbass6  32149  hmopidmpji  32180  pjclem4  32227  pj3si  32235