Theorem hicl 30320

Description: Closure of inner product. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hicl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem hicl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfi 30319	. 2 ⊢ ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ
2	1	fovcl 7533	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7405  ℂcc 11104   ℋchba 30159   ·_ih csp 30162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-hfi 30319

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ov 7408

This theorem is referenced by:  hicli  30321  his5  30326  his35  30328  his7  30330  his2sub  30332  his2sub2  30333  hire  30334  hi01  30336  abshicom  30341  hi2eq  30345  hial2eq2  30347  bcs2  30422  pjhthlem1  30631  normcan  30816  pjspansn  30817  adjsym  31073  cnvadj  31132  adj2  31174  brafn  31187  kbop  31193  kbmul  31195  kbpj  31196  eigvalcl  31201  lnopeqi  31248  riesz3i  31302  cnlnadjlem2  31308  cnlnadjlem7  31313  nmopcoadji  31341  kbass2  31357  kbass5  31360  kbass6  31361  hmopidmpji  31392  pjclem4  31439  pj3si  31447