Theorem hicl 31176

Description: Closure of inner product. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hicl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem hicl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfi 31175	. 2 ⊢ ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ
2	1	fovcl 7491	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7363  ℂcc 11034   ℋchba 31015   ·_ih csp 31018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pr 5369  ax-hfi 31175

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7366

This theorem is referenced by:  hicli  31177  his5  31182  his35  31184  his7  31186  his2sub  31188  his2sub2  31189  hire  31190  hi01  31192  abshicom  31197  hi2eq  31201  hial2eq2  31203  bcs2  31278  pjhthlem1  31487  normcan  31672  pjspansn  31673  adjsym  31929  cnvadj  31988  adj2  32030  brafn  32043  kbop  32049  kbmul  32051  kbpj  32052  eigvalcl  32057  lnopeqi  32104  riesz3i  32158  cnlnadjlem2  32164  cnlnadjlem7  32169  nmopcoadji  32197  kbass2  32213  kbass5  32216  kbass6  32217  hmopidmpji  32248  pjclem4  32295  pj3si  32303