Theorem hicl 30310

Description: Closure of inner product. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hicl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem hicl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfi 30309	. 2 ⊢ ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ
2	1	fovcl 7531	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7403  ℂcc 11103   ℋchba 30149   ·_ih csp 30152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pr 5425  ax-hfi 30309

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4321  df-if 4527  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-id 5572  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-fv 6547  df-ov 7406

This theorem is referenced by:  hicli  30311  his5  30316  his35  30318  his7  30320  his2sub  30322  his2sub2  30323  hire  30324  hi01  30326  abshicom  30331  hi2eq  30335  hial2eq2  30337  bcs2  30412  pjhthlem1  30621  normcan  30806  pjspansn  30807  adjsym  31063  cnvadj  31122  adj2  31164  brafn  31177  kbop  31183  kbmul  31185  kbpj  31186  eigvalcl  31191  lnopeqi  31238  riesz3i  31292  cnlnadjlem2  31298  cnlnadjlem7  31303  nmopcoadji  31331  kbass2  31347  kbass5  31350  kbass6  31351  hmopidmpji  31382  pjclem4  31429  pj3si  31437