Theorem hicl 31341

Description: Closure of inner product. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hicl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem hicl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfi 31340	. 2 ⊢ ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ
2	1	fovcl 7528	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7400  ℂcc 11086   ℋchba 31180   ·_ih csp 31183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5395  ax-hfi 31340

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-fv 6533  df-ov 7403

This theorem is referenced by:  hicli  31342  his5  31347  his35  31349  his7  31351  his2sub  31353  his2sub2  31354  hire  31355  hi01  31357  abshicom  31362  hi2eq  31366  hial2eq2  31368  bcs2  31443  pjhthlem1  31652  normcan  31837  pjspansn  31838  adjsym  32094  cnvadj  32153  adj2  32195  brafn  32208  kbop  32214  kbmul  32216  kbpj  32217  eigvalcl  32222  lnopeqi  32269  riesz3i  32323  cnlnadjlem2  32329  cnlnadjlem7  32334  nmopcoadji  32362  kbass2  32378  kbass5  32381  kbass6  32382  hmopidmpji  32413  pjclem4  32460  pj3si  32468