Theorem hicl 31166

Description: Closure of inner product. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hicl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem hicl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfi 31165	. 2 ⊢ ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ
2	1	fovcl 7488	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  ℂcc 11027   ℋchba 31005   ·_ih csp 31008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370  ax-hfi 31165

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7363

This theorem is referenced by:  hicli  31167  his5  31172  his35  31174  his7  31176  his2sub  31178  his2sub2  31179  hire  31180  hi01  31182  abshicom  31187  hi2eq  31191  hial2eq2  31193  bcs2  31268  pjhthlem1  31477  normcan  31662  pjspansn  31663  adjsym  31919  cnvadj  31978  adj2  32020  brafn  32033  kbop  32039  kbmul  32041  kbpj  32042  eigvalcl  32047  lnopeqi  32094  riesz3i  32148  cnlnadjlem2  32154  cnlnadjlem7  32159  nmopcoadji  32187  kbass2  32203  kbass5  32206  kbass6  32207  hmopidmpji  32238  pjclem4  32285  pj3si  32293