Theorem hicl 31151

Description: Closure of inner product. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hicl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem hicl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfi 31150	. 2 ⊢ ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ
2	1	fovcl 7495	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℂcc 11036   ℋchba 30990   ·_ih csp 30993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-hfi 31150

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fv 6506  df-ov 7370

This theorem is referenced by:  hicli  31152  his5  31157  his35  31159  his7  31161  his2sub  31163  his2sub2  31164  hire  31165  hi01  31167  abshicom  31172  hi2eq  31176  hial2eq2  31178  bcs2  31253  pjhthlem1  31462  normcan  31647  pjspansn  31648  adjsym  31904  cnvadj  31963  adj2  32005  brafn  32018  kbop  32024  kbmul  32026  kbpj  32027  eigvalcl  32032  lnopeqi  32079  riesz3i  32133  cnlnadjlem2  32139  cnlnadjlem7  32144  nmopcoadji  32172  kbass2  32188  kbass5  32191  kbass6  32192  hmopidmpji  32223  pjclem4  32270  pj3si  32278