Theorem hicl 31042

Description: Closure of inner product. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hicl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem hicl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfi 31041	. 2 ⊢ ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ
2	1	fovcl 7481	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7353  ℂcc 11026   ℋchba 30881   ·_ih csp 30884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-hfi 31041

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-fv 6494  df-ov 7356

This theorem is referenced by:  hicli  31043  his5  31048  his35  31050  his7  31052  his2sub  31054  his2sub2  31055  hire  31056  hi01  31058  abshicom  31063  hi2eq  31067  hial2eq2  31069  bcs2  31144  pjhthlem1  31353  normcan  31538  pjspansn  31539  adjsym  31795  cnvadj  31854  adj2  31896  brafn  31909  kbop  31915  kbmul  31917  kbpj  31918  eigvalcl  31923  lnopeqi  31970  riesz3i  32024  cnlnadjlem2  32030  cnlnadjlem7  32035  nmopcoadji  32063  kbass2  32079  kbass5  32082  kbass6  32083  hmopidmpji  32114  pjclem4  32161  pj3si  32169