Theorem hicl 31007

Description: Closure of inner product. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hicl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem hicl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfi 31006	. 2 ⊢ ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ
2	1	fovcl 7533	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7403  ℂcc 11125   ℋchba 30846   ·_ih csp 30849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402  ax-hfi 31006

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-fv 6538  df-ov 7406

This theorem is referenced by:  hicli  31008  his5  31013  his35  31015  his7  31017  his2sub  31019  his2sub2  31020  hire  31021  hi01  31023  abshicom  31028  hi2eq  31032  hial2eq2  31034  bcs2  31109  pjhthlem1  31318  normcan  31503  pjspansn  31504  adjsym  31760  cnvadj  31819  adj2  31861  brafn  31874  kbop  31880  kbmul  31882  kbpj  31883  eigvalcl  31888  lnopeqi  31935  riesz3i  31989  cnlnadjlem2  31995  cnlnadjlem7  32000  nmopcoadji  32028  kbass2  32044  kbass5  32047  kbass6  32048  hmopidmpji  32079  pjclem4  32126  pj3si  32134