Theorem hicl 31569

Description: Closure of inner product. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hicl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem hicl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfi 31568	. 2 ⊢ ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ
2	1	fovcl 7545	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7417  ℂcc 11126   ℋchba 31408   ·_ih csp 31411

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402  ax-hfi 31568

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7420

This theorem is used by:  hicli  31570  his5  31575  his35  31577  his7  31579  his2sub  31581  his2sub2  31582  hire  31583  hi01  31585  abshicom  31590  hi2eq  31594  hial2eq2  31596  bcs2  31671  pjhthlem1  31880  normcan  32065  pjspansn  32066  adjsym  32322  cnvadj  32381  adj2  32423  brafn  32436  kbop  32442  kbmul  32444  kbpj  32445  eigvalcl  32450  lnopeqi  32497  riesz3i  32551  cnlnadjlem2  32557  cnlnadjlem7  32562  nmopcoadji  32590  kbass2  32606  kbass5  32609  kbass6  32610  hmopidmpji  32641  pjclem4  32688  pj3si  32696