Theorem hicl 29421

Description: Closure of inner product. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hicl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem hicl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfi 29420	. 2 ⊢ ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ
2	1	fovcl 7393	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7268  ℂcc 10853   ℋchba 29260   ·_ih csp 29263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pr 5355  ax-hfi 29420

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-fv 6438  df-ov 7271

This theorem is referenced by:  hicli  29422  his5  29427  his35  29429  his7  29431  his2sub  29433  his2sub2  29434  hire  29435  hi01  29437  abshicom  29442  hi2eq  29446  hial2eq2  29448  bcs2  29523  pjhthlem1  29732  normcan  29917  pjspansn  29918  adjsym  30174  cnvadj  30233  adj2  30275  brafn  30288  kbop  30294  kbmul  30296  kbpj  30297  eigvalcl  30302  lnopeqi  30349  riesz3i  30403  cnlnadjlem2  30409  cnlnadjlem7  30414  nmopcoadji  30442  kbass2  30458  kbass5  30461  kbass6  30462  hmopidmpji  30493  pjclem4  30540  pj3si  30548