Theorem hicl 31099

Description: Closure of inner product. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hicl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem hicl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfi 31098	. 2 ⊢ ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ
2	1	fovcl 7561	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  ℂcc 11153   ℋchba 30938   ·_ih csp 30941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-hfi 31098

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7434

This theorem is referenced by:  hicli  31100  his5  31105  his35  31107  his7  31109  his2sub  31111  his2sub2  31112  hire  31113  hi01  31115  abshicom  31120  hi2eq  31124  hial2eq2  31126  bcs2  31201  pjhthlem1  31410  normcan  31595  pjspansn  31596  adjsym  31852  cnvadj  31911  adj2  31953  brafn  31966  kbop  31972  kbmul  31974  kbpj  31975  eigvalcl  31980  lnopeqi  32027  riesz3i  32081  cnlnadjlem2  32087  cnlnadjlem7  32092  nmopcoadji  32120  kbass2  32136  kbass5  32139  kbass6  32140  hmopidmpji  32171  pjclem4  32218  pj3si  32226