Theorem hicl 31229

Description: Closure of inner product. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hicl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem hicl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfi 31228	. 2 ⊢ ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ
2	1	fovcl 7520	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7392  ℂcc 11068   ℋchba 31068   ·_ih csp 31071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5389  ax-hfi 31228

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-fv 6525  df-ov 7395

This theorem is referenced by:  hicli  31230  his5  31235  his35  31237  his7  31239  his2sub  31241  his2sub2  31242  hire  31243  hi01  31245  abshicom  31250  hi2eq  31254  hial2eq2  31256  bcs2  31331  pjhthlem1  31540  normcan  31725  pjspansn  31726  adjsym  31982  cnvadj  32041  adj2  32083  brafn  32096  kbop  32102  kbmul  32104  kbpj  32105  eigvalcl  32110  lnopeqi  32157  riesz3i  32211  cnlnadjlem2  32217  cnlnadjlem7  32222  nmopcoadji  32250  kbass2  32266  kbass5  32269  kbass6  32270  hmopidmpji  32301  pjclem4  32348  pj3si  32356