Theorem hicl 30333

Description: Closure of inner product. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hicl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem hicl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfi 30332	. 2 ⊢ ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ
2	1	fovcl 7537	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  ℂcc 11108   ℋchba 30172   ·_ih csp 30175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-hfi 30332

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412

This theorem is referenced by:  hicli  30334  his5  30339  his35  30341  his7  30343  his2sub  30345  his2sub2  30346  hire  30347  hi01  30349  abshicom  30354  hi2eq  30358  hial2eq2  30360  bcs2  30435  pjhthlem1  30644  normcan  30829  pjspansn  30830  adjsym  31086  cnvadj  31145  adj2  31187  brafn  31200  kbop  31206  kbmul  31208  kbpj  31209  eigvalcl  31214  lnopeqi  31261  riesz3i  31315  cnlnadjlem2  31321  cnlnadjlem7  31326  nmopcoadji  31354  kbass2  31370  kbass5  31373  kbass6  31374  hmopidmpji  31405  pjclem4  31452  pj3si  31460