Theorem hicl 31410

Description: Closure of inner product. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hicl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem hicl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfi 31409	. 2 ⊢ ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ
2	1	fovcl 7540	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7412  ℂcc 11099   ℋchba 31249   ·_ih csp 31252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406  ax-hfi 31409

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7415

This theorem is referenced by:  hicli  31411  his5  31416  his35  31418  his7  31420  his2sub  31422  his2sub2  31423  hire  31424  hi01  31426  abshicom  31431  hi2eq  31435  hial2eq2  31437  bcs2  31512  pjhthlem1  31721  normcan  31906  pjspansn  31907  adjsym  32163  cnvadj  32222  adj2  32264  brafn  32277  kbop  32283  kbmul  32285  kbpj  32286  eigvalcl  32291  lnopeqi  32338  riesz3i  32392  cnlnadjlem2  32398  cnlnadjlem7  32403  nmopcoadji  32431  kbass2  32447  kbass5  32450  kbass6  32451  hmopidmpji  32482  pjclem4  32529  pj3si  32537