Theorem hicl 31016

Description: Closure of inner product. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hicl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem hicl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfi 31015	. 2 ⊢ ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ
2	1	fovcl 7520	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  ℂcc 11073   ℋchba 30855   ·_ih csp 30858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390  ax-hfi 31015

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-fv 6522  df-ov 7393

This theorem is referenced by:  hicli  31017  his5  31022  his35  31024  his7  31026  his2sub  31028  his2sub2  31029  hire  31030  hi01  31032  abshicom  31037  hi2eq  31041  hial2eq2  31043  bcs2  31118  pjhthlem1  31327  normcan  31512  pjspansn  31513  adjsym  31769  cnvadj  31828  adj2  31870  brafn  31883  kbop  31889  kbmul  31891  kbpj  31892  eigvalcl  31897  lnopeqi  31944  riesz3i  31998  cnlnadjlem2  32004  cnlnadjlem7  32009  nmopcoadji  32037  kbass2  32053  kbass5  32056  kbass6  32057  hmopidmpji  32088  pjclem4  32135  pj3si  32143