Theorem hicl 31155

Description: Closure of inner product. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hicl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem hicl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfi 31154	. 2 ⊢ ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ
2	1	fovcl 7486	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  ℂcc 11024   ℋchba 30994   ·_ih csp 30997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-hfi 31154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7361

This theorem is referenced by:  hicli  31156  his5  31161  his35  31163  his7  31165  his2sub  31167  his2sub2  31168  hire  31169  hi01  31171  abshicom  31176  hi2eq  31180  hial2eq2  31182  bcs2  31257  pjhthlem1  31466  normcan  31651  pjspansn  31652  adjsym  31908  cnvadj  31967  adj2  32009  brafn  32022  kbop  32028  kbmul  32030  kbpj  32031  eigvalcl  32036  lnopeqi  32083  riesz3i  32137  cnlnadjlem2  32143  cnlnadjlem7  32148  nmopcoadji  32176  kbass2  32192  kbass5  32195  kbass6  32196  hmopidmpji  32227  pjclem4  32274  pj3si  32282