Theorem hicl 31028

Description: Closure of inner product. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hicl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem hicl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfi 31027	. 2 ⊢ ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ
2	1	fovcl 7543	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7413  ℂcc 11135   ℋchba 30867   ·_ih csp 30870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pr 5412  ax-hfi 31027

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-fv 6549  df-ov 7416

This theorem is referenced by:  hicli  31029  his5  31034  his35  31036  his7  31038  his2sub  31040  his2sub2  31041  hire  31042  hi01  31044  abshicom  31049  hi2eq  31053  hial2eq2  31055  bcs2  31130  pjhthlem1  31339  normcan  31524  pjspansn  31525  adjsym  31781  cnvadj  31840  adj2  31882  brafn  31895  kbop  31901  kbmul  31903  kbpj  31904  eigvalcl  31909  lnopeqi  31956  riesz3i  32010  cnlnadjlem2  32016  cnlnadjlem7  32021  nmopcoadji  32049  kbass2  32065  kbass5  32068  kbass6  32069  hmopidmpji  32100  pjclem4  32147  pj3si  32155