Theorem hicl 31469

Description: Closure of inner product. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hicl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem hicl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfi 31468	. 2 ⊢ ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ
2	1	fovcl 7551	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7423  ℂcc 11116   ℋchba 31308   ·_ih csp 31311

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409  ax-hfi 31468

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7426

This theorem is used by:  hicli  31470  his5  31475  his35  31477  his7  31479  his2sub  31481  his2sub2  31482  hire  31483  hi01  31485  abshicom  31490  hi2eq  31494  hial2eq2  31496  bcs2  31571  pjhthlem1  31780  normcan  31965  pjspansn  31966  adjsym  32222  cnvadj  32281  adj2  32323  brafn  32336  kbop  32342  kbmul  32344  kbpj  32345  eigvalcl  32350  lnopeqi  32397  riesz3i  32451  cnlnadjlem2  32457  cnlnadjlem7  32462  nmopcoadji  32490  kbass2  32506  kbass5  32509  kbass6  32510  hmopidmpji  32541  pjclem4  32588  pj3si  32596