Theorem hicl 31664

Description: Closure of inner product. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hicl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem hicl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfi 31663	. 2 ⊢ ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ
2	1	fovcl 7540	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7412  ℂcc 11179   ℋchba 31503   ·_ih csp 31506

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-hfi 31663

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-fv 6539  df-ov 7415

This theorem is used by:  hicli  31665  his5  31670  his35  31672  his7  31674  his2sub  31676  his2sub2  31677  hire  31678  hi01  31680  abshicom  31685  hi2eq  31689  hial2eq2  31691  bcs2  31766  pjhthlem1  31975  normcan  32160  pjspansn  32161  adjsym  32417  cnvadj  32476  adj2  32518  brafn  32531  kbop  32537  kbmul  32539  kbpj  32540  eigvalcl  32545  lnopeqi  32592  riesz3i  32646  cnlnadjlem2  32652  cnlnadjlem7  32657  nmopcoadji  32685  kbass2  32701  kbass5  32704  kbass6  32705  hmopidmpji  32736  pjclem4  32783  pj3si  32791