Theorem hicl 31055

Description: Closure of inner product. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hicl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem hicl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfi 31054	. 2 ⊢ ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ
2	1	fovcl 7474	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  ℂcc 11001   ℋchba 30894   ·_ih csp 30897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370  ax-hfi 31054

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-ov 7349

This theorem is referenced by:  hicli  31056  his5  31061  his35  31063  his7  31065  his2sub  31067  his2sub2  31068  hire  31069  hi01  31071  abshicom  31076  hi2eq  31080  hial2eq2  31082  bcs2  31157  pjhthlem1  31366  normcan  31551  pjspansn  31552  adjsym  31808  cnvadj  31867  adj2  31909  brafn  31922  kbop  31928  kbmul  31930  kbpj  31931  eigvalcl  31936  lnopeqi  31983  riesz3i  32037  cnlnadjlem2  32043  cnlnadjlem7  32048  nmopcoadji  32076  kbass2  32092  kbass5  32095  kbass6  32096  hmopidmpji  32127  pjclem4  32174  pj3si  32182