Theorem hicl 28851

Description: Closure of inner product. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hicl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem hicl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfi 28850	. 2 ⊢ ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ
2	1	fovcl 7273	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7150  ℂcc 10529   ℋchba 28690   ·_ih csp 28693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pr 5322  ax-hfi 28850

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-fv 6358  df-ov 7153

This theorem is referenced by:  hicli  28852  his5  28857  his35  28859  his7  28861  his2sub  28863  his2sub2  28864  hire  28865  hi01  28867  abshicom  28872  hi2eq  28876  hial2eq2  28878  bcs2  28953  pjhthlem1  29162  normcan  29347  pjspansn  29348  adjsym  29604  cnvadj  29663  adj2  29705  brafn  29718  kbop  29724  kbmul  29726  kbpj  29727  eigvalcl  29732  lnopeqi  29779  riesz3i  29833  cnlnadjlem2  29839  cnlnadjlem7  29844  nmopcoadji  29872  kbass2  29888  kbass5  29891  kbass6  29892  hmopidmpji  29923  pjclem4  29970  pj3si  29978