Theorem hicl 31687

Description: Closure of inner product. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hicl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem hicl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfi 31686	. 2 ⊢ ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ
2	1	fovcl 7548	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420  ℂcc 11201   ℋchba 31526   ·_ih csp 31529

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-hfi 31686

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7423

This theorem is used by:  hicli  31688  his5  31693  his35  31695  his7  31697  his2sub  31699  his2sub2  31700  hire  31701  hi01  31703  abshicom  31708  hi2eq  31712  hial2eq2  31714  bcs2  31789  pjhthlem1  31998  normcan  32183  pjspansn  32184  adjsym  32440  cnvadj  32499  adj2  32541  brafn  32554  kbop  32560  kbmul  32562  kbpj  32563  eigvalcl  32568  lnopeqi  32615  riesz3i  32669  cnlnadjlem2  32675  cnlnadjlem7  32680  nmopcoadji  32708  kbass2  32724  kbass5  32727  kbass6  32728  hmopidmpji  32759  pjclem4  32806  pj3si  32814