Theorem kbass5 32152

Description: Dirac bra-ket associative law ( ∣ 𝐴⟩⟨𝐵 ∣ )( ∣ 𝐶⟩⟨𝐷 ∣ ) = (( ∣ 𝐴⟩⟨𝐵 ∣ ) ∣ 𝐶⟩)⟨𝐷 ∣. (Contributed by NM, 30-May-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
kbass5	⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷)) = (((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷))

Proof of Theorem kbass5

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kbval 31986	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐶 ketbra 𝐷)‘𝑥) = ((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ 𝐶))
2	1	3expa 1118	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐶 ketbra 𝐷)‘𝑥) = ((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ 𝐶))
3	2	adantll 713	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐶 ketbra 𝐷)‘𝑥) = ((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ 𝐶))
4	3	fveq2d 6924	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐵)‘((𝐶 ketbra 𝐷)‘𝑥)) = ((𝐴 ketbra 𝐵)‘((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ 𝐶)))
5		simplll 774	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐴 ∈ ℋ)
6		simpllr 775	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐵 ∈ ℋ)
7		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
8		simplrr 777	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐷 ∈ ℋ)
9		hicl 31112	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝐷) ∈ ℂ)
10	7, 8, 9	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝐷) ∈ ℂ)
11		simplrl 776	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐶 ∈ ℋ)
12		hvmulcl 31045	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ·ih 𝐷) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
13	10, 11, 12	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
14		kbval 31986	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐵)‘((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ 𝐶)) = ((((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ 𝐶) ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴))
15	5, 6, 13, 14	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐵)‘((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ 𝐶)) = ((((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ 𝐶) ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴))
16	4, 15	eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐵)‘((𝐶 ketbra 𝐷)‘𝑥)) = ((((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ 𝐶) ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴))
17		kbop 31985	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐶 ketbra 𝐷): ℋ⟶ ℋ)
18	17	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐶 ketbra 𝐷): ℋ⟶ ℋ)
19		fvco3 7021	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ketbra 𝐷): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷))‘𝑥) = ((𝐴 ketbra 𝐵)‘((𝐶 ketbra 𝐷)‘𝑥)))
20	18, 19	sylan 579	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷))‘𝑥) = ((𝐴 ketbra 𝐵)‘((𝐶 ketbra 𝐷)‘𝑥)))
21		kbval 31986	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) = ((𝐶 ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴))
22	5, 6, 11, 21	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) = ((𝐶 ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴))
23	22	oveq2d 7464	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ ((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶)) = ((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ ((𝐶 ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴)))
24		kbop 31985	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ketbra 𝐵): ℋ⟶ ℋ)
25	24	ffvelcdmda 7118	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ∈ ℋ)
26	25	adantrr 716	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ∈ ℋ)
27	26	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ∈ ℋ)
28		kbval 31986	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷)‘𝑥) = ((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ ((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶)))
29	27, 8, 7, 28	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷)‘𝑥) = ((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ ((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶)))
30		ax-his3 31116	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ·ih 𝐷) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ 𝐶) ·ih 𝐵) = ((𝑥 ·ih 𝐷) · (𝐶 ·ih 𝐵)))
31	10, 11, 6, 30	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ 𝐶) ·ih 𝐵) = ((𝑥 ·ih 𝐷) · (𝐶 ·ih 𝐵)))
32	31	oveq1d 7463	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ 𝐶) ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴) = (((𝑥 ·ih 𝐷) · (𝐶 ·ih 𝐵)) ·ℎ 𝐴))
33		hicl 31112	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐶 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)
34	11, 6, 33	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐶 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)
35		ax-hvmulass 31039	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ·ih 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 ·ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((𝑥 ·ih 𝐷) · (𝐶 ·ih 𝐵)) ·ℎ 𝐴) = ((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ ((𝐶 ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴)))
36	10, 34, 5, 35	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑥 ·ih 𝐷) · (𝐶 ·ih 𝐵)) ·ℎ 𝐴) = ((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ ((𝐶 ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴)))
37	32, 36	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ 𝐶) ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴) = ((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ ((𝐶 ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴)))
38	23, 29, 37	3eqtr4d 2790	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷)‘𝑥) = ((((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ 𝐶) ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴))
39	16, 20, 38	3eqtr4d 2790	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷))‘𝑥) = ((((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷)‘𝑥))
40	39	ralrimiva 3152	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ∀𝑥 ∈ ℋ (((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷))‘𝑥) = ((((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷)‘𝑥))
41		fco 6771	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ketbra 𝐵): ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐶 ketbra 𝐷): ℋ⟶ ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷)): ℋ⟶ ℋ)
42	24, 17, 41	syl2an 595	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷)): ℋ⟶ ℋ)
43		kbop 31985	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷): ℋ⟶ ℋ)
44	25, 43	sylan 579	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷): ℋ⟶ ℋ)
45	44	anasss 466	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷): ℋ⟶ ℋ)
46		ffn 6747	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷)): ℋ⟶ ℋ → ((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷)) Fn ℋ)
47		ffn 6747	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷): ℋ⟶ ℋ → (((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷) Fn ℋ)
48		eqfnfv 7064	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷)) Fn ℋ ∧ (((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷) Fn ℋ) → (((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷)) = (((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷))‘𝑥) = ((((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷)‘𝑥)))
49	46, 47, 48	syl2an 595	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷)): ℋ⟶ ℋ ∧ (((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷): ℋ⟶ ℋ) → (((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷)) = (((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷))‘𝑥) = ((((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷)‘𝑥)))
50	42, 45, 49	syl2anc 583	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷)) = (((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷))‘𝑥) = ((((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷)‘𝑥)))
51	40, 50	mpbird 257	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷)) = (((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067   ∘ ccom 5704   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182   · cmul 11189   ℋchba 30951   ·_ℎ csm 30953   ·_ih csp 30954   ketbra ck 30989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-hilex 31031  ax-hfvmul 31037  ax-hvmulass 31039  ax-hfi 31111  ax-his3 31116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-kb 31883

This theorem is referenced by:  kbass6  32153