HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  kbass5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kbass5 31236
Description: Dirac bra-ket associative law ( โˆฃ ๐ดโŸฉโŸจ๐ต โˆฃ )( โˆฃ ๐ถโŸฉโŸจ๐ท โˆฃ ) = (( โˆฃ ๐ดโŸฉโŸจ๐ต โˆฃ ) โˆฃ ๐ถโŸฉ)โŸจ๐ท โˆฃ. (Contributed by NM, 30-May-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
kbass5 (((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐ด ketbra ๐ต) โˆ˜ (๐ถ ketbra ๐ท)) = (((๐ด ketbra ๐ต)โ€˜๐ถ) ketbra ๐ท))

Proof of Theorem kbass5
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kbval 31070 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ถ ketbra ๐ท)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฅ ยทih ๐ท) ยทโ„Ž ๐ถ))
213expa 1118 . . . . . . 7 (((๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ถ ketbra ๐ท)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฅ ยทih ๐ท) ยทโ„Ž ๐ถ))
32adantll 712 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ถ ketbra ๐ท)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฅ ยทih ๐ท) ยทโ„Ž ๐ถ))
43fveq2d 6882 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ketbra ๐ต)โ€˜((๐ถ ketbra ๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐ด ketbra ๐ต)โ€˜((๐‘ฅ ยทih ๐ท) ยทโ„Ž ๐ถ)))
5 simplll 773 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‹)
6 simpllr 774 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‹)
7 simpr 485 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
8 simplrr 776 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‹)
9 hicl 30196 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทih ๐ท) โˆˆ โ„‚)
107, 8, 9syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทih ๐ท) โˆˆ โ„‚)
11 simplrl 775 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‹)
12 hvmulcl 30129 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ ยทih ๐ท) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทih ๐ท) ยทโ„Ž ๐ถ) โˆˆ โ„‹)
1310, 11, 12syl2anc 584 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทih ๐ท) ยทโ„Ž ๐ถ) โˆˆ โ„‹)
14 kbval 31070 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ((๐‘ฅ ยทih ๐ท) ยทโ„Ž ๐ถ) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ketbra ๐ต)โ€˜((๐‘ฅ ยทih ๐ท) ยทโ„Ž ๐ถ)) = ((((๐‘ฅ ยทih ๐ท) ยทโ„Ž ๐ถ) ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด))
155, 6, 13, 14syl3anc 1371 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ketbra ๐ต)โ€˜((๐‘ฅ ยทih ๐ท) ยทโ„Ž ๐ถ)) = ((((๐‘ฅ ยทih ๐ท) ยทโ„Ž ๐ถ) ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด))
164, 15eqtrd 2771 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ketbra ๐ต)โ€˜((๐ถ ketbra ๐ท)โ€˜๐‘ฅ)) = ((((๐‘ฅ ยทih ๐ท) ยทโ„Ž ๐ถ) ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด))
17 kbop 31069 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ถ ketbra ๐ท): โ„‹โŸถ โ„‹)
1817adantl 482 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐ถ ketbra ๐ท): โ„‹โŸถ โ„‹)
19 fvco3 6976 . . . . 5 (((๐ถ ketbra ๐ท): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ketbra ๐ต) โˆ˜ (๐ถ ketbra ๐ท))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด ketbra ๐ต)โ€˜((๐ถ ketbra ๐ท)โ€˜๐‘ฅ)))
2018, 19sylan 580 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ketbra ๐ต) โˆ˜ (๐ถ ketbra ๐ท))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด ketbra ๐ต)โ€˜((๐ถ ketbra ๐ท)โ€˜๐‘ฅ)))
21 kbval 31070 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ketbra ๐ต)โ€˜๐ถ) = ((๐ถ ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด))
225, 6, 11, 21syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ketbra ๐ต)โ€˜๐ถ) = ((๐ถ ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด))
2322oveq2d 7409 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทih ๐ท) ยทโ„Ž ((๐ด ketbra ๐ต)โ€˜๐ถ)) = ((๐‘ฅ ยทih ๐ท) ยทโ„Ž ((๐ถ ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด)))
24 kbop 31069 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ketbra ๐ต): โ„‹โŸถ โ„‹)
2524ffvelcdmda 7071 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ketbra ๐ต)โ€˜๐ถ) โˆˆ โ„‹)
2625adantrr 715 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐ด ketbra ๐ต)โ€˜๐ถ) โˆˆ โ„‹)
2726adantr 481 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ketbra ๐ต)โ€˜๐ถ) โˆˆ โ„‹)
28 kbval 31070 . . . . . 6 ((((๐ด ketbra ๐ต)โ€˜๐ถ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((((๐ด ketbra ๐ต)โ€˜๐ถ) ketbra ๐ท)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฅ ยทih ๐ท) ยทโ„Ž ((๐ด ketbra ๐ต)โ€˜๐ถ)))
2927, 8, 7, 28syl3anc 1371 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((((๐ด ketbra ๐ต)โ€˜๐ถ) ketbra ๐ท)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฅ ยทih ๐ท) ยทโ„Ž ((๐ด ketbra ๐ต)โ€˜๐ถ)))
30 ax-his3 30200 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ ยทih ๐ท) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘ฅ ยทih ๐ท) ยทโ„Ž ๐ถ) ยทih ๐ต) = ((๐‘ฅ ยทih ๐ท) ยท (๐ถ ยทih ๐ต)))
3110, 11, 6, 30syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘ฅ ยทih ๐ท) ยทโ„Ž ๐ถ) ยทih ๐ต) = ((๐‘ฅ ยทih ๐ท) ยท (๐ถ ยทih ๐ต)))
3231oveq1d 7408 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((((๐‘ฅ ยทih ๐ท) ยทโ„Ž ๐ถ) ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด) = (((๐‘ฅ ยทih ๐ท) ยท (๐ถ ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ๐ด))
33 hicl 30196 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ถ ยทih ๐ต) โˆˆ โ„‚)
3411, 6, 33syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ถ ยทih ๐ต) โˆˆ โ„‚)
35 ax-hvmulass 30123 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ ยทih ๐ท) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ ยทih ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘ฅ ยทih ๐ท) ยท (๐ถ ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ๐ด) = ((๐‘ฅ ยทih ๐ท) ยทโ„Ž ((๐ถ ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด)))
3610, 34, 5, 35syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘ฅ ยทih ๐ท) ยท (๐ถ ยทih ๐ต)) ยทโ„Ž ๐ด) = ((๐‘ฅ ยทih ๐ท) ยทโ„Ž ((๐ถ ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด)))
3732, 36eqtrd 2771 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((((๐‘ฅ ยทih ๐ท) ยทโ„Ž ๐ถ) ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด) = ((๐‘ฅ ยทih ๐ท) ยทโ„Ž ((๐ถ ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด)))
3823, 29, 373eqtr4d 2781 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((((๐ด ketbra ๐ต)โ€˜๐ถ) ketbra ๐ท)โ€˜๐‘ฅ) = ((((๐‘ฅ ยทih ๐ท) ยทโ„Ž ๐ถ) ยทih ๐ต) ยทโ„Ž ๐ด))
3916, 20, 383eqtr4d 2781 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ketbra ๐ต) โˆ˜ (๐ถ ketbra ๐ท))โ€˜๐‘ฅ) = ((((๐ด ketbra ๐ต)โ€˜๐ถ) ketbra ๐ท)โ€˜๐‘ฅ))
4039ralrimiva 3145 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (((๐ด ketbra ๐ต) โˆ˜ (๐ถ ketbra ๐ท))โ€˜๐‘ฅ) = ((((๐ด ketbra ๐ต)โ€˜๐ถ) ketbra ๐ท)โ€˜๐‘ฅ))
41 fco 6728 . . . 4 (((๐ด ketbra ๐ต): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ถ ketbra ๐ท): โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด ketbra ๐ต) โˆ˜ (๐ถ ketbra ๐ท)): โ„‹โŸถ โ„‹)
4224, 17, 41syl2an 596 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐ด ketbra ๐ต) โˆ˜ (๐ถ ketbra ๐ท)): โ„‹โŸถ โ„‹)
43 kbop 31069 . . . . 5 ((((๐ด ketbra ๐ต)โ€˜๐ถ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ketbra ๐ต)โ€˜๐ถ) ketbra ๐ท): โ„‹โŸถ โ„‹)
4425, 43sylan 580 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ketbra ๐ต)โ€˜๐ถ) ketbra ๐ท): โ„‹โŸถ โ„‹)
4544anasss 467 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐ด ketbra ๐ต)โ€˜๐ถ) ketbra ๐ท): โ„‹โŸถ โ„‹)
46 ffn 6704 . . . 4 (((๐ด ketbra ๐ต) โˆ˜ (๐ถ ketbra ๐ท)): โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ ((๐ด ketbra ๐ต) โˆ˜ (๐ถ ketbra ๐ท)) Fn โ„‹)
47 ffn 6704 . . . 4 ((((๐ด ketbra ๐ต)โ€˜๐ถ) ketbra ๐ท): โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (((๐ด ketbra ๐ต)โ€˜๐ถ) ketbra ๐ท) Fn โ„‹)
48 eqfnfv 7018 . . . 4 ((((๐ด ketbra ๐ต) โˆ˜ (๐ถ ketbra ๐ท)) Fn โ„‹ โˆง (((๐ด ketbra ๐ต)โ€˜๐ถ) ketbra ๐ท) Fn โ„‹) โ†’ (((๐ด ketbra ๐ต) โˆ˜ (๐ถ ketbra ๐ท)) = (((๐ด ketbra ๐ต)โ€˜๐ถ) ketbra ๐ท) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (((๐ด ketbra ๐ต) โˆ˜ (๐ถ ketbra ๐ท))โ€˜๐‘ฅ) = ((((๐ด ketbra ๐ต)โ€˜๐ถ) ketbra ๐ท)โ€˜๐‘ฅ)))
4946, 47, 48syl2an 596 . . 3 ((((๐ด ketbra ๐ต) โˆ˜ (๐ถ ketbra ๐ท)): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (((๐ด ketbra ๐ต)โ€˜๐ถ) ketbra ๐ท): โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (((๐ด ketbra ๐ต) โˆ˜ (๐ถ ketbra ๐ท)) = (((๐ด ketbra ๐ต)โ€˜๐ถ) ketbra ๐ท) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (((๐ด ketbra ๐ต) โˆ˜ (๐ถ ketbra ๐ท))โ€˜๐‘ฅ) = ((((๐ด ketbra ๐ต)โ€˜๐ถ) ketbra ๐ท)โ€˜๐‘ฅ)))
5042, 45, 49syl2anc 584 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐ด ketbra ๐ต) โˆ˜ (๐ถ ketbra ๐ท)) = (((๐ด ketbra ๐ต)โ€˜๐ถ) ketbra ๐ท) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (((๐ด ketbra ๐ต) โˆ˜ (๐ถ ketbra ๐ท))โ€˜๐‘ฅ) = ((((๐ด ketbra ๐ต)โ€˜๐ถ) ketbra ๐ท)โ€˜๐‘ฅ)))
5140, 50mpbird 256 1 (((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐ด ketbra ๐ต) โˆ˜ (๐ถ ketbra ๐ท)) = (((๐ด ketbra ๐ต)โ€˜๐ถ) ketbra ๐ท))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3060   โˆ˜ ccom 5673   Fn wfn 6527  โŸถwf 6528  โ€˜cfv 6532  (class class class)co 7393  โ„‚cc 11090   ยท cmul 11097   โ„‹chba 30035   ยทโ„Ž csm 30037   ยทih csp 30038   ketbra ck 30073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-hilex 30115  ax-hfvmul 30121  ax-hvmulass 30123  ax-hfi 30195  ax-his3 30200
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-kb 30967
This theorem is referenced by:  kbass6  31237
  Copyright terms: Public domain W3C validator