Theorem kbass5 30527

Description: Dirac bra-ket associative law ( ∣ 𝐴⟩⟨𝐵 ∣ )( ∣ 𝐶⟩⟨𝐷 ∣ ) = (( ∣ 𝐴⟩⟨𝐵 ∣ ) ∣ 𝐶⟩)⟨𝐷 ∣. (Contributed by NM, 30-May-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
kbass5	⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷)) = (((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷))

Proof of Theorem kbass5

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kbval 30361	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐶 ketbra 𝐷)‘𝑥) = ((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ 𝐶))
2	1	3expa 1118	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐶 ketbra 𝐷)‘𝑥) = ((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ 𝐶))
3	2	adantll 712	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐶 ketbra 𝐷)‘𝑥) = ((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ 𝐶))
4	3	fveq2d 6808	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐵)‘((𝐶 ketbra 𝐷)‘𝑥)) = ((𝐴 ketbra 𝐵)‘((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ 𝐶)))
5		simplll 773	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐴 ∈ ℋ)
6		simpllr 774	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐵 ∈ ℋ)
7		simpr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
8		simplrr 776	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐷 ∈ ℋ)
9		hicl 29487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝐷) ∈ ℂ)
10	7, 8, 9	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝐷) ∈ ℂ)
11		simplrl 775	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐶 ∈ ℋ)
12		hvmulcl 29420	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ·ih 𝐷) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
13	10, 11, 12	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
14		kbval 30361	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐵)‘((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ 𝐶)) = ((((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ 𝐶) ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴))
15	5, 6, 13, 14	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐵)‘((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ 𝐶)) = ((((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ 𝐶) ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴))
16	4, 15	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐵)‘((𝐶 ketbra 𝐷)‘𝑥)) = ((((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ 𝐶) ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴))
17		kbop 30360	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐶 ketbra 𝐷): ℋ⟶ ℋ)
18	17	adantl 483	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐶 ketbra 𝐷): ℋ⟶ ℋ)
19		fvco3 6899	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ketbra 𝐷): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷))‘𝑥) = ((𝐴 ketbra 𝐵)‘((𝐶 ketbra 𝐷)‘𝑥)))
20	18, 19	sylan 581	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷))‘𝑥) = ((𝐴 ketbra 𝐵)‘((𝐶 ketbra 𝐷)‘𝑥)))
21		kbval 30361	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) = ((𝐶 ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴))
22	5, 6, 11, 21	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) = ((𝐶 ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴))
23	22	oveq2d 7323	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ ((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶)) = ((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ ((𝐶 ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴)))
24		kbop 30360	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ketbra 𝐵): ℋ⟶ ℋ)
25	24	ffvelcdmda 6993	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ∈ ℋ)
26	25	adantrr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ∈ ℋ)
27	26	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ∈ ℋ)
28		kbval 30361	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷)‘𝑥) = ((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ ((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶)))
29	27, 8, 7, 28	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷)‘𝑥) = ((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ ((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶)))
30		ax-his3 29491	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ·ih 𝐷) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ 𝐶) ·ih 𝐵) = ((𝑥 ·ih 𝐷) · (𝐶 ·ih 𝐵)))
31	10, 11, 6, 30	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ 𝐶) ·ih 𝐵) = ((𝑥 ·ih 𝐷) · (𝐶 ·ih 𝐵)))
32	31	oveq1d 7322	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ 𝐶) ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴) = (((𝑥 ·ih 𝐷) · (𝐶 ·ih 𝐵)) ·ℎ 𝐴))
33		hicl 29487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐶 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)
34	11, 6, 33	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐶 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)
35		ax-hvmulass 29414	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ·ih 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 ·ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((𝑥 ·ih 𝐷) · (𝐶 ·ih 𝐵)) ·ℎ 𝐴) = ((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ ((𝐶 ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴)))
36	10, 34, 5, 35	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑥 ·ih 𝐷) · (𝐶 ·ih 𝐵)) ·ℎ 𝐴) = ((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ ((𝐶 ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴)))
37	32, 36	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ 𝐶) ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴) = ((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ ((𝐶 ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴)))
38	23, 29, 37	3eqtr4d 2786	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷)‘𝑥) = ((((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ 𝐶) ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴))
39	16, 20, 38	3eqtr4d 2786	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷))‘𝑥) = ((((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷)‘𝑥))
40	39	ralrimiva 3140	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ∀𝑥 ∈ ℋ (((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷))‘𝑥) = ((((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷)‘𝑥))
41		fco 6654	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ketbra 𝐵): ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐶 ketbra 𝐷): ℋ⟶ ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷)): ℋ⟶ ℋ)
42	24, 17, 41	syl2an 597	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷)): ℋ⟶ ℋ)
43		kbop 30360	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷): ℋ⟶ ℋ)
44	25, 43	sylan 581	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷): ℋ⟶ ℋ)
45	44	anasss 468	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷): ℋ⟶ ℋ)
46		ffn 6630	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷)): ℋ⟶ ℋ → ((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷)) Fn ℋ)
47		ffn 6630	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷): ℋ⟶ ℋ → (((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷) Fn ℋ)
48		eqfnfv 6941	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷)) Fn ℋ ∧ (((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷) Fn ℋ) → (((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷)) = (((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷))‘𝑥) = ((((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷)‘𝑥)))
49	46, 47, 48	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷)): ℋ⟶ ℋ ∧ (((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷): ℋ⟶ ℋ) → (((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷)) = (((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷))‘𝑥) = ((((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷)‘𝑥)))
50	42, 45, 49	syl2anc 585	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷)) = (((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷))‘𝑥) = ((((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷)‘𝑥)))
51	40, 50	mpbird 257	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷)) = (((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∀wral 3062   ∘ ccom 5604   Fn wfn 6453  ⟶wf 6454  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  ℂcc 10915   · cmul 10922   ℋchba 29326   ·_ℎ csm 29328   ·_ih csp 29329   ketbra ck 29364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pr 5361  ax-hilex 29406  ax-hfvmul 29412  ax-hvmulass 29414  ax-hfi 29486  ax-his3 29491

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-kb 30258

This theorem is referenced by:  kbass6  30528