Theorem kbass5 31640

Description: Dirac bra-ket associative law ( ∣ 𝐴⟩⟨𝐵 ∣ )( ∣ 𝐶⟩⟨𝐷 ∣ ) = (( ∣ 𝐴⟩⟨𝐵 ∣ ) ∣ 𝐶⟩)⟨𝐷 ∣. (Contributed by NM, 30-May-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
kbass5	⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷)) = (((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷))

Proof of Theorem kbass5

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kbval 31474	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐶 ketbra 𝐷)‘𝑥) = ((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ 𝐶))
2	1	3expa 1116	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐶 ketbra 𝐷)‘𝑥) = ((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ 𝐶))
3	2	adantll 710	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐶 ketbra 𝐷)‘𝑥) = ((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ 𝐶))
4	3	fveq2d 6894	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐵)‘((𝐶 ketbra 𝐷)‘𝑥)) = ((𝐴 ketbra 𝐵)‘((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ 𝐶)))
5		simplll 771	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐴 ∈ ℋ)
6		simpllr 772	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐵 ∈ ℋ)
7		simpr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
8		simplrr 774	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐷 ∈ ℋ)
9		hicl 30600	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝐷) ∈ ℂ)
10	7, 8, 9	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝐷) ∈ ℂ)
11		simplrl 773	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐶 ∈ ℋ)
12		hvmulcl 30533	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ·ih 𝐷) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
13	10, 11, 12	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
14		kbval 31474	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐵)‘((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ 𝐶)) = ((((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ 𝐶) ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴))
15	5, 6, 13, 14	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐵)‘((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ 𝐶)) = ((((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ 𝐶) ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴))
16	4, 15	eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐵)‘((𝐶 ketbra 𝐷)‘𝑥)) = ((((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ 𝐶) ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴))
17		kbop 31473	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐶 ketbra 𝐷): ℋ⟶ ℋ)
18	17	adantl 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐶 ketbra 𝐷): ℋ⟶ ℋ)
19		fvco3 6989	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ketbra 𝐷): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷))‘𝑥) = ((𝐴 ketbra 𝐵)‘((𝐶 ketbra 𝐷)‘𝑥)))
20	18, 19	sylan 578	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷))‘𝑥) = ((𝐴 ketbra 𝐵)‘((𝐶 ketbra 𝐷)‘𝑥)))
21		kbval 31474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) = ((𝐶 ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴))
22	5, 6, 11, 21	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) = ((𝐶 ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴))
23	22	oveq2d 7427	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ ((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶)) = ((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ ((𝐶 ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴)))
24		kbop 31473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ketbra 𝐵): ℋ⟶ ℋ)
25	24	ffvelcdmda 7085	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ∈ ℋ)
26	25	adantrr 713	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ∈ ℋ)
27	26	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ∈ ℋ)
28		kbval 31474	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷)‘𝑥) = ((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ ((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶)))
29	27, 8, 7, 28	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷)‘𝑥) = ((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ ((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶)))
30		ax-his3 30604	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ·ih 𝐷) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ 𝐶) ·ih 𝐵) = ((𝑥 ·ih 𝐷) · (𝐶 ·ih 𝐵)))
31	10, 11, 6, 30	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ 𝐶) ·ih 𝐵) = ((𝑥 ·ih 𝐷) · (𝐶 ·ih 𝐵)))
32	31	oveq1d 7426	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ 𝐶) ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴) = (((𝑥 ·ih 𝐷) · (𝐶 ·ih 𝐵)) ·ℎ 𝐴))
33		hicl 30600	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐶 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)
34	11, 6, 33	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐶 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)
35		ax-hvmulass 30527	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ·ih 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 ·ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((𝑥 ·ih 𝐷) · (𝐶 ·ih 𝐵)) ·ℎ 𝐴) = ((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ ((𝐶 ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴)))
36	10, 34, 5, 35	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑥 ·ih 𝐷) · (𝐶 ·ih 𝐵)) ·ℎ 𝐴) = ((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ ((𝐶 ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴)))
37	32, 36	eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ 𝐶) ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴) = ((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ ((𝐶 ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴)))
38	23, 29, 37	3eqtr4d 2780	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷)‘𝑥) = ((((𝑥 ·ih 𝐷) ·ℎ 𝐶) ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴))
39	16, 20, 38	3eqtr4d 2780	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷))‘𝑥) = ((((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷)‘𝑥))
40	39	ralrimiva 3144	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ∀𝑥 ∈ ℋ (((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷))‘𝑥) = ((((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷)‘𝑥))
41		fco 6740	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ketbra 𝐵): ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐶 ketbra 𝐷): ℋ⟶ ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷)): ℋ⟶ ℋ)
42	24, 17, 41	syl2an 594	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷)): ℋ⟶ ℋ)
43		kbop 31473	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷): ℋ⟶ ℋ)
44	25, 43	sylan 578	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷): ℋ⟶ ℋ)
45	44	anasss 465	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷): ℋ⟶ ℋ)
46		ffn 6716	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷)): ℋ⟶ ℋ → ((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷)) Fn ℋ)
47		ffn 6716	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷): ℋ⟶ ℋ → (((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷) Fn ℋ)
48		eqfnfv 7031	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷)) Fn ℋ ∧ (((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷) Fn ℋ) → (((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷)) = (((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷))‘𝑥) = ((((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷)‘𝑥)))
49	46, 47, 48	syl2an 594	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷)): ℋ⟶ ℋ ∧ (((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷): ℋ⟶ ℋ) → (((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷)) = (((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷))‘𝑥) = ((((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷)‘𝑥)))
50	42, 45, 49	syl2anc 582	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷)) = (((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷))‘𝑥) = ((((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷)‘𝑥)))
51	40, 50	mpbird 256	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷)) = (((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∀wral 3059   ∘ ccom 5679   Fn wfn 6537  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  ℂcc 11110   · cmul 11117   ℋchba 30439   ·_ℎ csm 30441   ·_ih csp 30442   ketbra ck 30477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-hilex 30519  ax-hfvmul 30525  ax-hvmulass 30527  ax-hfi 30599  ax-his3 30604

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-kb 31371

This theorem is referenced by:  kbass6  31641