Theorem kqffn 23708

Description: The topological indistinguishability map is a function on the base. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
kqval.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦})

Assertion

Ref	Expression
kqffn	⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → 𝐹 Fn 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem kqffn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4011	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦} ⊆ 𝐽
2		elpw2g 5261	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → ({𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦} ∈ 𝒫 𝐽 ↔ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦} ⊆ 𝐽))
3	1, 2	mpbiri 259	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦} ∈ 𝒫 𝐽)
4	3	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦} ∈ 𝒫 𝐽)
5		kqval.2	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦})
6	4, 5	fmptd 7055	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → 𝐹:𝑋⟶𝒫 𝐽)
7	6	ffnd 6656	1 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → 𝐹 Fn 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {crab 3391   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4529   ↦ cmpt 5153   Fn wfn 6480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489

This theorem is referenced by:  kqtopon  23710  kqid  23711  ist0-4  23712  kqfvima  23713  kqsat  23714  kqdisj  23715  kqcldsat  23716  kqopn  23717  kqcld  23718  kqt0lem  23719  isr0  23720  r0cld  23721  regr1lem2  23723  kqreglem1  23724  kqreglem2  23725  kqnrmlem1  23726  kqnrmlem2  23727