Theorem kqffn 23703

Description: The topological indistinguishability map is a function on the base. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
kqval.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦})

Assertion

Ref	Expression
kqffn	⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → 𝐹 Fn 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem kqffn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4021	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦} ⊆ 𝐽
2		elpw2g 5271	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → ({𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦} ∈ 𝒫 𝐽 ↔ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦} ⊆ 𝐽))
3	1, 2	mpbiri 258	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦} ∈ 𝒫 𝐽)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦} ∈ 𝒫 𝐽)
5		kqval.2	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦})
6	4, 5	fmptd 7061	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → 𝐹:𝑋⟶𝒫 𝐽)
7	6	ffnd 6664	1 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → 𝐹 Fn 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390   ⊆ wss 3890  𝒫 cpw 4542   ↦ cmpt 5167   Fn wfn 6488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497

This theorem is referenced by:  kqtopon  23705  kqid  23706  ist0-4  23707  kqfvima  23708  kqsat  23709  kqdisj  23710  kqcldsat  23711  kqopn  23712  kqcld  23713  kqt0lem  23714  isr0  23715  r0cld  23716  regr1lem2  23718  kqreglem1  23719  kqreglem2  23720  kqnrmlem1  23721  kqnrmlem2  23722