Theorem kqffn 23669

Description: The topological indistinguishability map is a function on the base. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
kqval.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦})

Assertion

Ref	Expression
kqffn	⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → 𝐹 Fn 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem kqffn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4032	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦} ⊆ 𝐽
2		elpw2g 5278	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → ({𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦} ∈ 𝒫 𝐽 ↔ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦} ⊆ 𝐽))
3	1, 2	mpbiri 258	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦} ∈ 𝒫 𝐽)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦} ∈ 𝒫 𝐽)
5		kqval.2	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦})
6	4, 5	fmptd 7059	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → 𝐹:𝑋⟶𝒫 𝐽)
7	6	ffnd 6663	1 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → 𝐹 Fn 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3399   ⊆ wss 3901  𝒫 cpw 4554   ↦ cmpt 5179   Fn wfn 6487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496

This theorem is referenced by:  kqtopon  23671  kqid  23672  ist0-4  23673  kqfvima  23674  kqsat  23675  kqdisj  23676  kqcldsat  23677  kqopn  23678  kqcld  23679  kqt0lem  23680  isr0  23681  r0cld  23682  regr1lem2  23684  kqreglem1  23685  kqreglem2  23686  kqnrmlem1  23687  kqnrmlem2  23688