Theorem kqffn 22874

Description: The topological indistinguishability map is a function on the base. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
kqval.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦})

Assertion

Ref	Expression
kqffn	⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → 𝐹 Fn 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem kqffn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4018	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦} ⊆ 𝐽
2		elpw2g 5272	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → ({𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦} ∈ 𝒫 𝐽 ↔ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦} ⊆ 𝐽))
3	1, 2	mpbiri 257	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦} ∈ 𝒫 𝐽)
4	3	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦} ∈ 𝒫 𝐽)
5		kqval.2	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦})
6	4, 5	fmptd 6985	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → 𝐹:𝑋⟶𝒫 𝐽)
7	6	ffnd 6599	1 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → 𝐹 Fn 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  {crab 3070   ⊆ wss 3892  𝒫 cpw 4539   ↦ cmpt 5162   Fn wfn 6427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pr 5356

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ral 3071  df-rex 3072  df-rab 3075  df-v 3433  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5490  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436

This theorem is referenced by:  kqtopon  22876  kqid  22877  ist0-4  22878  kqfvima  22879  kqsat  22880  kqdisj  22881  kqcldsat  22882  kqopn  22883  kqcld  22884  kqt0lem  22885  isr0  22886  r0cld  22887  regr1lem2  22889  kqreglem1  22890  kqreglem2  22891  kqnrmlem1  22892  kqnrmlem2  22893