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Theorem kqreglem1 23663
Description: A Kolmogorov quotient of a regular space is regular. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
kqval.2 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ π‘₯ ∈ 𝑦})
Assertion
Ref Expression
kqreglem1 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) β†’ (KQβ€˜π½) ∈ Reg)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐽   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem kqreglem1
Dummy variables π‘š 𝑀 𝑧 π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kqval.2 . . . . 5 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ π‘₯ ∈ 𝑦})
21kqtopon 23649 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (KQβ€˜π½) ∈ (TopOnβ€˜ran 𝐹))
32adantr 479 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) β†’ (KQβ€˜π½) ∈ (TopOnβ€˜ran 𝐹))
4 topontop 22833 . . 3 ((KQβ€˜π½) ∈ (TopOnβ€˜ran 𝐹) β†’ (KQβ€˜π½) ∈ Top)
53, 4syl 17 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) β†’ (KQβ€˜π½) ∈ Top)
6 toponss 22847 . . . . . . . 8 (((KQβ€˜π½) ∈ (TopOnβ€˜ran 𝐹) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) β†’ π‘Ž βŠ† ran 𝐹)
73, 6sylan 578 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) β†’ π‘Ž βŠ† ran 𝐹)
87sselda 3972 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ 𝑏 ∈ π‘Ž) β†’ 𝑏 ∈ ran 𝐹)
91kqffn 23647 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
109ad3antrrr 728 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ 𝑏 ∈ π‘Ž) β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
11 fvelrnb 6954 . . . . . . 7 (𝐹 Fn 𝑋 β†’ (𝑏 ∈ ran 𝐹 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘§) = 𝑏))
1210, 11syl 17 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ 𝑏 ∈ π‘Ž) β†’ (𝑏 ∈ ran 𝐹 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘§) = 𝑏))
138, 12mpbid 231 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ 𝑏 ∈ π‘Ž) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘§) = 𝑏)
14 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) β†’ 𝐽 ∈ Reg)
151kqid 23650 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (KQβ€˜π½)))
1615ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (KQβ€˜π½)))
17 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) β†’ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½))
18 cnima 23187 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn (KQβ€˜π½)) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘Ž) ∈ 𝐽)
1916, 17, 18syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘Ž) ∈ 𝐽)
209adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
2120adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
22 elpreima 7062 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 Fn 𝑋 β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ π‘Ž) ↔ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ π‘Ž) ↔ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)))
2423biimpar 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) β†’ 𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ π‘Ž))
25 regsep 23256 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Reg ∧ (◑𝐹 β€œ π‘Ž) ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ π‘Ž)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐽 (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘Ž)))
2614, 19, 24, 25syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐽 (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘Ž)))
27 simp-4l 781 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘Ž)))) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
28 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘Ž)))) β†’ 𝑀 ∈ 𝐽)
291kqopn 23656 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ 𝐽) β†’ (𝐹 β€œ 𝑀) ∈ (KQβ€˜π½))
3027, 28, 29syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘Ž)))) β†’ (𝐹 β€œ 𝑀) ∈ (KQβ€˜π½))
31 simprrl 779 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘Ž)))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑀)
32 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘Ž)))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
331kqfvima 23652 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑧 ∈ 𝑀 ↔ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝐹 β€œ 𝑀)))
3427, 28, 32, 33syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘Ž)))) β†’ (𝑧 ∈ 𝑀 ↔ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝐹 β€œ 𝑀)))
3531, 34mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘Ž)))) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝐹 β€œ 𝑀))
36 topontop 22833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
3727, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘Ž)))) β†’ 𝐽 ∈ Top)
38 elssuni 4935 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ 𝐽 β†’ 𝑀 βŠ† βˆͺ 𝐽)
3938ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘Ž)))) β†’ 𝑀 βŠ† βˆͺ 𝐽)
40 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
4140clscld 22969 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑀 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) ∈ (Clsdβ€˜π½))
4237, 39, 41syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘Ž)))) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) ∈ (Clsdβ€˜π½))
431kqcld 23657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (𝐹 β€œ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€)) ∈ (Clsdβ€˜(KQβ€˜π½)))
4427, 42, 43syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘Ž)))) β†’ (𝐹 β€œ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€)) ∈ (Clsdβ€˜(KQβ€˜π½)))
4540sscls 22978 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑀 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ 𝑀 βŠ† ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€))
4637, 39, 45syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘Ž)))) β†’ 𝑀 βŠ† ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€))
47 imass2 6101 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 βŠ† ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) β†’ (𝐹 β€œ 𝑀) βŠ† (𝐹 β€œ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€)))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘Ž)))) β†’ (𝐹 β€œ 𝑀) βŠ† (𝐹 β€œ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€)))
49 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 βˆͺ (KQβ€˜π½) = βˆͺ (KQβ€˜π½)
5049clsss2 22994 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 β€œ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€)) ∈ (Clsdβ€˜(KQβ€˜π½)) ∧ (𝐹 β€œ 𝑀) βŠ† (𝐹 β€œ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€))) β†’ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜(𝐹 β€œ 𝑀)) βŠ† (𝐹 β€œ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€)))
5144, 48, 50syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘Ž)))) β†’ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜(𝐹 β€œ 𝑀)) βŠ† (𝐹 β€œ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€)))
5220ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘Ž)))) β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
53 fnfun 6649 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 Fn 𝑋 β†’ Fun 𝐹)
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘Ž)))) β†’ Fun 𝐹)
55 simprrr 780 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘Ž)))) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘Ž))
56 funimass2 6631 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Fun 𝐹 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘Ž)) β†’ (𝐹 β€œ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€)) βŠ† π‘Ž)
5754, 55, 56syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘Ž)))) β†’ (𝐹 β€œ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€)) βŠ† π‘Ž)
5851, 57sstrd 3983 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘Ž)))) β†’ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜(𝐹 β€œ 𝑀)) βŠ† π‘Ž)
59 eleq2 2814 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š = (𝐹 β€œ 𝑀) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ↔ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝐹 β€œ 𝑀)))
60 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘š = (𝐹 β€œ 𝑀) β†’ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘š) = ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜(𝐹 β€œ 𝑀)))
6160sseq1d 4004 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š = (𝐹 β€œ 𝑀) β†’ (((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘š) βŠ† π‘Ž ↔ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜(𝐹 β€œ 𝑀)) βŠ† π‘Ž))
6259, 61anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = (𝐹 β€œ 𝑀) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘š) βŠ† π‘Ž) ↔ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝐹 β€œ 𝑀) ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜(𝐹 β€œ 𝑀)) βŠ† π‘Ž)))
6362rspcev 3601 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 β€œ 𝑀) ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝐹 β€œ 𝑀) ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜(𝐹 β€œ 𝑀)) βŠ† π‘Ž)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘š) βŠ† π‘Ž))
6430, 35, 58, 63syl12anc 835 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘Ž)))) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘š) βŠ† π‘Ž))
6526, 64rexlimddv 3151 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘š) βŠ† π‘Ž))
6665expr 455 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘š) βŠ† π‘Ž)))
67 eleq1 2813 . . . . . . . . . . 11 ((πΉβ€˜π‘§) = 𝑏 β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž ↔ 𝑏 ∈ π‘Ž))
68 eleq1 2813 . . . . . . . . . . . . 13 ((πΉβ€˜π‘§) = 𝑏 β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ↔ 𝑏 ∈ π‘š))
6968anbi1d 629 . . . . . . . . . . . 12 ((πΉβ€˜π‘§) = 𝑏 β†’ (((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘š) βŠ† π‘Ž) ↔ (𝑏 ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘š) βŠ† π‘Ž)))
7069rexbidv 3169 . . . . . . . . . . 11 ((πΉβ€˜π‘§) = 𝑏 β†’ (βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘š) βŠ† π‘Ž) ↔ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)(𝑏 ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘š) βŠ† π‘Ž)))
7167, 70imbi12d 343 . . . . . . . . . 10 ((πΉβ€˜π‘§) = 𝑏 β†’ (((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘š) βŠ† π‘Ž)) ↔ (𝑏 ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)(𝑏 ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘š) βŠ† π‘Ž))))
7266, 71syl5ibcom 244 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) = 𝑏 β†’ (𝑏 ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)(𝑏 ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘š) βŠ† π‘Ž))))
7372com23 86 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑏 ∈ π‘Ž β†’ ((πΉβ€˜π‘§) = 𝑏 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)(𝑏 ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘š) βŠ† π‘Ž))))
7473imp 405 . . . . . . 7 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑏 ∈ π‘Ž) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) = 𝑏 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)(𝑏 ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘š) βŠ† π‘Ž)))
7574an32s 650 . . . . . 6 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ 𝑏 ∈ π‘Ž) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) = 𝑏 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)(𝑏 ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘š) βŠ† π‘Ž)))
7675rexlimdva 3145 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ 𝑏 ∈ π‘Ž) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘§) = 𝑏 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)(𝑏 ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘š) βŠ† π‘Ž)))
7713, 76mpd 15 . . . 4 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ 𝑏 ∈ π‘Ž) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)(𝑏 ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘š) βŠ† π‘Ž))
7877anasss 465 . . 3 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ (π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½) ∧ 𝑏 ∈ π‘Ž)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)(𝑏 ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘š) βŠ† π‘Ž))
7978ralrimivva 3191 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)βˆ€π‘ ∈ π‘Ž βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)(𝑏 ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘š) βŠ† π‘Ž))
80 isreg 23254 . 2 ((KQβ€˜π½) ∈ Reg ↔ ((KQβ€˜π½) ∈ Top ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)βˆ€π‘ ∈ π‘Ž βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)(𝑏 ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘š) βŠ† π‘Ž)))
815, 79, 80sylanbrc 581 1 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) β†’ (KQβ€˜π½) ∈ Reg)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  {crab 3419   βŠ† wss 3939  βˆͺ cuni 4903   ↦ cmpt 5226  β—‘ccnv 5671  ran crn 5673   β€œ cima 5675  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Topctop 22813  TopOnctopon 22830  Clsdccld 22938  clsccl 22940   Cn ccn 23146  Regcreg 23231  KQckq 23615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-map 8845  df-qtop 17488  df-top 22814  df-topon 22831  df-cld 22941  df-cls 22943  df-cn 23149  df-reg 23238  df-kq 23616
This theorem is referenced by:  kqreg  23673
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