MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kqreglem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kqreglem1 23600
Description: A Kolmogorov quotient of a regular space is regular. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
kqval.2 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ π‘₯ ∈ 𝑦})
Assertion
Ref Expression
kqreglem1 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) β†’ (KQβ€˜π½) ∈ Reg)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐽   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem kqreglem1
Dummy variables π‘š 𝑀 𝑧 π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kqval.2 . . . . 5 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ π‘₯ ∈ 𝑦})
21kqtopon 23586 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (KQβ€˜π½) ∈ (TopOnβ€˜ran 𝐹))
32adantr 480 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) β†’ (KQβ€˜π½) ∈ (TopOnβ€˜ran 𝐹))
4 topontop 22770 . . 3 ((KQβ€˜π½) ∈ (TopOnβ€˜ran 𝐹) β†’ (KQβ€˜π½) ∈ Top)
53, 4syl 17 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) β†’ (KQβ€˜π½) ∈ Top)
6 toponss 22784 . . . . . . . 8 (((KQβ€˜π½) ∈ (TopOnβ€˜ran 𝐹) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) β†’ π‘Ž βŠ† ran 𝐹)
73, 6sylan 579 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) β†’ π‘Ž βŠ† ran 𝐹)
87sselda 3977 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ 𝑏 ∈ π‘Ž) β†’ 𝑏 ∈ ran 𝐹)
91kqffn 23584 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
109ad3antrrr 727 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ 𝑏 ∈ π‘Ž) β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
11 fvelrnb 6946 . . . . . . 7 (𝐹 Fn 𝑋 β†’ (𝑏 ∈ ran 𝐹 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘§) = 𝑏))
1210, 11syl 17 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ 𝑏 ∈ π‘Ž) β†’ (𝑏 ∈ ran 𝐹 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘§) = 𝑏))
138, 12mpbid 231 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ 𝑏 ∈ π‘Ž) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘§) = 𝑏)
14 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) β†’ 𝐽 ∈ Reg)
151kqid 23587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (KQβ€˜π½)))
1615ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (KQβ€˜π½)))
17 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) β†’ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½))
18 cnima 23124 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn (KQβ€˜π½)) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘Ž) ∈ 𝐽)
1916, 17, 18syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘Ž) ∈ 𝐽)
209adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
2120adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
22 elpreima 7053 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 Fn 𝑋 β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ π‘Ž) ↔ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ π‘Ž) ↔ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)))
2423biimpar 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) β†’ 𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ π‘Ž))
25 regsep 23193 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Reg ∧ (◑𝐹 β€œ π‘Ž) ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ π‘Ž)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐽 (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘Ž)))
2614, 19, 24, 25syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐽 (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘Ž)))
27 simp-4l 780 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘Ž)))) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
28 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘Ž)))) β†’ 𝑀 ∈ 𝐽)
291kqopn 23593 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ 𝐽) β†’ (𝐹 β€œ 𝑀) ∈ (KQβ€˜π½))
3027, 28, 29syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘Ž)))) β†’ (𝐹 β€œ 𝑀) ∈ (KQβ€˜π½))
31 simprrl 778 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘Ž)))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑀)
32 simplrl 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘Ž)))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
331kqfvima 23589 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑧 ∈ 𝑀 ↔ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝐹 β€œ 𝑀)))
3427, 28, 32, 33syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘Ž)))) β†’ (𝑧 ∈ 𝑀 ↔ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝐹 β€œ 𝑀)))
3531, 34mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘Ž)))) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝐹 β€œ 𝑀))
36 topontop 22770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
3727, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘Ž)))) β†’ 𝐽 ∈ Top)
38 elssuni 4934 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ 𝐽 β†’ 𝑀 βŠ† βˆͺ 𝐽)
3938ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘Ž)))) β†’ 𝑀 βŠ† βˆͺ 𝐽)
40 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
4140clscld 22906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑀 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) ∈ (Clsdβ€˜π½))
4237, 39, 41syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘Ž)))) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) ∈ (Clsdβ€˜π½))
431kqcld 23594 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (𝐹 β€œ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€)) ∈ (Clsdβ€˜(KQβ€˜π½)))
4427, 42, 43syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘Ž)))) β†’ (𝐹 β€œ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€)) ∈ (Clsdβ€˜(KQβ€˜π½)))
4540sscls 22915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑀 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ 𝑀 βŠ† ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€))
4637, 39, 45syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘Ž)))) β†’ 𝑀 βŠ† ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€))
47 imass2 6095 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 βŠ† ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) β†’ (𝐹 β€œ 𝑀) βŠ† (𝐹 β€œ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€)))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘Ž)))) β†’ (𝐹 β€œ 𝑀) βŠ† (𝐹 β€œ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€)))
49 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 βˆͺ (KQβ€˜π½) = βˆͺ (KQβ€˜π½)
5049clsss2 22931 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 β€œ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€)) ∈ (Clsdβ€˜(KQβ€˜π½)) ∧ (𝐹 β€œ 𝑀) βŠ† (𝐹 β€œ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€))) β†’ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜(𝐹 β€œ 𝑀)) βŠ† (𝐹 β€œ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€)))
5144, 48, 50syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘Ž)))) β†’ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜(𝐹 β€œ 𝑀)) βŠ† (𝐹 β€œ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€)))
5220ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘Ž)))) β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
53 fnfun 6643 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 Fn 𝑋 β†’ Fun 𝐹)
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘Ž)))) β†’ Fun 𝐹)
55 simprrr 779 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘Ž)))) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘Ž))
56 funimass2 6625 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Fun 𝐹 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘Ž)) β†’ (𝐹 β€œ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€)) βŠ† π‘Ž)
5754, 55, 56syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘Ž)))) β†’ (𝐹 β€œ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€)) βŠ† π‘Ž)
5851, 57sstrd 3987 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘Ž)))) β†’ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜(𝐹 β€œ 𝑀)) βŠ† π‘Ž)
59 eleq2 2816 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š = (𝐹 β€œ 𝑀) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ↔ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝐹 β€œ 𝑀)))
60 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘š = (𝐹 β€œ 𝑀) β†’ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘š) = ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜(𝐹 β€œ 𝑀)))
6160sseq1d 4008 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š = (𝐹 β€œ 𝑀) β†’ (((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘š) βŠ† π‘Ž ↔ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜(𝐹 β€œ 𝑀)) βŠ† π‘Ž))
6259, 61anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = (𝐹 β€œ 𝑀) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘š) βŠ† π‘Ž) ↔ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝐹 β€œ 𝑀) ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜(𝐹 β€œ 𝑀)) βŠ† π‘Ž)))
6362rspcev 3606 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 β€œ 𝑀) ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝐹 β€œ 𝑀) ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜(𝐹 β€œ 𝑀)) βŠ† π‘Ž)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘š) βŠ† π‘Ž))
6430, 35, 58, 63syl12anc 834 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) ∧ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘€) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘Ž)))) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘š) βŠ† π‘Ž))
6526, 64rexlimddv 3155 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘š) βŠ† π‘Ž))
6665expr 456 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘š) βŠ† π‘Ž)))
67 eleq1 2815 . . . . . . . . . . 11 ((πΉβ€˜π‘§) = 𝑏 β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž ↔ 𝑏 ∈ π‘Ž))
68 eleq1 2815 . . . . . . . . . . . . 13 ((πΉβ€˜π‘§) = 𝑏 β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ↔ 𝑏 ∈ π‘š))
6968anbi1d 629 . . . . . . . . . . . 12 ((πΉβ€˜π‘§) = 𝑏 β†’ (((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘š) βŠ† π‘Ž) ↔ (𝑏 ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘š) βŠ† π‘Ž)))
7069rexbidv 3172 . . . . . . . . . . 11 ((πΉβ€˜π‘§) = 𝑏 β†’ (βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘š) βŠ† π‘Ž) ↔ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)(𝑏 ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘š) βŠ† π‘Ž)))
7167, 70imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 ((πΉβ€˜π‘§) = 𝑏 β†’ (((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘š) βŠ† π‘Ž)) ↔ (𝑏 ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)(𝑏 ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘š) βŠ† π‘Ž))))
7266, 71syl5ibcom 244 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) = 𝑏 β†’ (𝑏 ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)(𝑏 ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘š) βŠ† π‘Ž))))
7372com23 86 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑏 ∈ π‘Ž β†’ ((πΉβ€˜π‘§) = 𝑏 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)(𝑏 ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘š) βŠ† π‘Ž))))
7473imp 406 . . . . . . 7 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑏 ∈ π‘Ž) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) = 𝑏 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)(𝑏 ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘š) βŠ† π‘Ž)))
7574an32s 649 . . . . . 6 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ 𝑏 ∈ π‘Ž) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) = 𝑏 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)(𝑏 ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘š) βŠ† π‘Ž)))
7675rexlimdva 3149 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ 𝑏 ∈ π‘Ž) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘§) = 𝑏 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)(𝑏 ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘š) βŠ† π‘Ž)))
7713, 76mpd 15 . . . 4 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)) ∧ 𝑏 ∈ π‘Ž) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)(𝑏 ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘š) βŠ† π‘Ž))
7877anasss 466 . . 3 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) ∧ (π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½) ∧ 𝑏 ∈ π‘Ž)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)(𝑏 ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘š) βŠ† π‘Ž))
7978ralrimivva 3194 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)βˆ€π‘ ∈ π‘Ž βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)(𝑏 ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘š) βŠ† π‘Ž))
80 isreg 23191 . 2 ((KQβ€˜π½) ∈ Reg ↔ ((KQβ€˜π½) ∈ Top ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (KQβ€˜π½)βˆ€π‘ ∈ π‘Ž βˆƒπ‘š ∈ (KQβ€˜π½)(𝑏 ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘š) βŠ† π‘Ž)))
815, 79, 80sylanbrc 582 1 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Reg) β†’ (KQβ€˜π½) ∈ Reg)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  {crab 3426   βŠ† wss 3943  βˆͺ cuni 4902   ↦ cmpt 5224  β—‘ccnv 5668  ran crn 5670   β€œ cima 5672  Fun wfun 6531   Fn wfn 6532  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Topctop 22750  TopOnctopon 22767  Clsdccld 22875  clsccl 22877   Cn ccn 23083  Regcreg 23168  KQckq 23552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-map 8824  df-qtop 17462  df-top 22751  df-topon 22768  df-cld 22878  df-cls 22880  df-cn 23086  df-reg 23175  df-kq 23553
This theorem is referenced by:  kqreg  23610
  Copyright terms: Public domain W3C validator