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Theorem kqreglem2 23246
Description: If the Kolmogorov quotient of a space is regular then so is the original space. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
kqval.2 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ π‘₯ ∈ 𝑦})
Assertion
Ref Expression
kqreglem2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) β†’ 𝐽 ∈ Reg)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐽   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem kqreglem2
Dummy variables π‘š 𝑛 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 topontop 22415 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
21adantr 482 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) β†’ 𝐽 ∈ Top)
3 simplr 768 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) β†’ (KQβ€˜π½) ∈ Reg)
4 simpll 766 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
5 simprl 770 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐽)
6 kqval.2 . . . . . . 7 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ π‘₯ ∈ 𝑦})
76kqopn 23238 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) β†’ (𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (KQβ€˜π½))
84, 5, 7syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) β†’ (𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (KQβ€˜π½))
9 simprr 772 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) β†’ 𝑀 ∈ 𝑧)
10 toponss 22429 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) β†’ 𝑧 βŠ† 𝑋)
114, 5, 10syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) β†’ 𝑧 βŠ† 𝑋)
1211, 9sseldd 3984 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) β†’ 𝑀 ∈ 𝑋)
136kqfvima 23234 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ (𝑀 ∈ 𝑧 ↔ (πΉβ€˜π‘€) ∈ (𝐹 β€œ 𝑧)))
144, 5, 12, 13syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) β†’ (𝑀 ∈ 𝑧 ↔ (πΉβ€˜π‘€) ∈ (𝐹 β€œ 𝑧)))
159, 14mpbid 231 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ (𝐹 β€œ 𝑧))
16 regsep 22838 . . . . 5 (((KQβ€˜π½) ∈ Reg ∧ (𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (KQβ€˜π½) ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ (𝐹 β€œ 𝑧)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))
173, 8, 15, 16syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))
184adantr 482 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
196kqid 23232 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (KQβ€˜π½)))
2018, 19syl 17 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (KQβ€˜π½)))
21 simprl 770 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ 𝑛 ∈ (KQβ€˜π½))
22 cnima 22769 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn (KQβ€˜π½)) ∧ 𝑛 ∈ (KQβ€˜π½)) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑛) ∈ 𝐽)
2320, 21, 22syl2anc 585 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑛) ∈ 𝐽)
2412adantr 482 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ 𝑀 ∈ 𝑋)
25 simprrl 780 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛)
266kqffn 23229 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
27 elpreima 7060 . . . . . . 7 (𝐹 Fn 𝑋 β†’ (𝑀 ∈ (◑𝐹 β€œ 𝑛) ↔ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛)))
2818, 26, 273syl 18 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ (𝑀 ∈ (◑𝐹 β€œ 𝑛) ↔ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛)))
2924, 25, 28mpbir2and 712 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ 𝑀 ∈ (◑𝐹 β€œ 𝑛))
306kqtopon 23231 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (KQβ€˜π½) ∈ (TopOnβ€˜ran 𝐹))
31 topontop 22415 . . . . . . . . . 10 ((KQβ€˜π½) ∈ (TopOnβ€˜ran 𝐹) β†’ (KQβ€˜π½) ∈ Top)
3218, 30, 313syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ (KQβ€˜π½) ∈ Top)
33 elssuni 4942 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) β†’ 𝑛 βŠ† βˆͺ (KQβ€˜π½))
3433ad2antrl 727 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ 𝑛 βŠ† βˆͺ (KQβ€˜π½))
35 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 βˆͺ (KQβ€˜π½) = βˆͺ (KQβ€˜π½)
3635clscld 22551 . . . . . . . . 9 (((KQβ€˜π½) ∈ Top ∧ 𝑛 βŠ† βˆͺ (KQβ€˜π½)) β†’ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) ∈ (Clsdβ€˜(KQβ€˜π½)))
3732, 34, 36syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) ∈ (Clsdβ€˜(KQβ€˜π½)))
38 cnclima 22772 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn (KQβ€˜π½)) ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) ∈ (Clsdβ€˜(KQβ€˜π½))) β†’ (◑𝐹 β€œ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
3920, 37, 38syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ (◑𝐹 β€œ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
4035sscls 22560 . . . . . . . . 9 (((KQβ€˜π½) ∈ Top ∧ 𝑛 βŠ† βˆͺ (KQβ€˜π½)) β†’ 𝑛 βŠ† ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›))
4132, 34, 40syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ 𝑛 βŠ† ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›))
42 imass2 6102 . . . . . . . 8 (𝑛 βŠ† ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑛) βŠ† (◑𝐹 β€œ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›)))
4341, 42syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑛) βŠ† (◑𝐹 β€œ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›)))
44 eqid 2733 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
4544clsss2 22576 . . . . . . 7 (((◑𝐹 β€œ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›)) ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑛) βŠ† (◑𝐹 β€œ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›))) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑛)) βŠ† (◑𝐹 β€œ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›)))
4639, 43, 45syl2anc 585 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑛)) βŠ† (◑𝐹 β€œ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›)))
47 simprrr 781 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧))
48 imass2 6102 . . . . . . . 8 (((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧) β†’ (◑𝐹 β€œ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›)) βŠ† (◑𝐹 β€œ (𝐹 β€œ 𝑧)))
4947, 48syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ (◑𝐹 β€œ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›)) βŠ† (◑𝐹 β€œ (𝐹 β€œ 𝑧)))
505adantr 482 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐽)
516kqsat 23235 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐹 β€œ 𝑧)) = 𝑧)
5218, 50, 51syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐹 β€œ 𝑧)) = 𝑧)
5349, 52sseqtrd 4023 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ (◑𝐹 β€œ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›)) βŠ† 𝑧)
5446, 53sstrd 3993 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑛)) βŠ† 𝑧)
55 eleq2 2823 . . . . . . 7 (π‘š = (◑𝐹 β€œ 𝑛) β†’ (𝑀 ∈ π‘š ↔ 𝑀 ∈ (◑𝐹 β€œ 𝑛)))
56 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (π‘š = (◑𝐹 β€œ 𝑛) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘š) = ((clsβ€˜π½)β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑛)))
5756sseq1d 4014 . . . . . . 7 (π‘š = (◑𝐹 β€œ 𝑛) β†’ (((clsβ€˜π½)β€˜π‘š) βŠ† 𝑧 ↔ ((clsβ€˜π½)β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑛)) βŠ† 𝑧))
5855, 57anbi12d 632 . . . . . 6 (π‘š = (◑𝐹 β€œ 𝑛) β†’ ((𝑀 ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘š) βŠ† 𝑧) ↔ (𝑀 ∈ (◑𝐹 β€œ 𝑛) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑛)) βŠ† 𝑧)))
5958rspcev 3613 . . . . 5 (((◑𝐹 β€œ 𝑛) ∈ 𝐽 ∧ (𝑀 ∈ (◑𝐹 β€œ 𝑛) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑛)) βŠ† 𝑧)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝐽 (𝑀 ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘š) βŠ† 𝑧))
6023, 29, 54, 59syl12anc 836 . . . 4 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝐽 (𝑀 ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘š) βŠ† 𝑧))
6117, 60rexlimddv 3162 . . 3 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝐽 (𝑀 ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘š) βŠ† 𝑧))
6261ralrimivva 3201 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐽 βˆ€π‘€ ∈ 𝑧 βˆƒπ‘š ∈ 𝐽 (𝑀 ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘š) βŠ† 𝑧))
63 isreg 22836 . 2 (𝐽 ∈ Reg ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐽 βˆ€π‘€ ∈ 𝑧 βˆƒπ‘š ∈ 𝐽 (𝑀 ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘š) βŠ† 𝑧)))
642, 62, 63sylanbrc 584 1 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) β†’ 𝐽 ∈ Reg)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433   βŠ† wss 3949  βˆͺ cuni 4909   ↦ cmpt 5232  β—‘ccnv 5676  ran crn 5678   β€œ cima 5680   Fn wfn 6539  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Topctop 22395  TopOnctopon 22412  Clsdccld 22520  clsccl 22522   Cn ccn 22728  Regcreg 22813  KQckq 23197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-map 8822  df-qtop 17453  df-top 22396  df-topon 22413  df-cld 22523  df-cls 22525  df-cn 22731  df-reg 22820  df-kq 23198
This theorem is referenced by:  kqreg  23255
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