Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | topontop 22278 |
. . 3
β’ (π½ β (TopOnβπ) β π½ β Top) |
2 | 1 | adantr 482 |
. 2
β’ ((π½ β (TopOnβπ) β§ (KQβπ½) β Reg) β π½ β Top) |
3 | | simplr 768 |
. . . . 5
β’ (((π½ β (TopOnβπ) β§ (KQβπ½) β Reg) β§ (π§ β π½ β§ π€ β π§)) β (KQβπ½) β Reg) |
4 | | simpll 766 |
. . . . . 6
β’ (((π½ β (TopOnβπ) β§ (KQβπ½) β Reg) β§ (π§ β π½ β§ π€ β π§)) β π½ β (TopOnβπ)) |
5 | | simprl 770 |
. . . . . 6
β’ (((π½ β (TopOnβπ) β§ (KQβπ½) β Reg) β§ (π§ β π½ β§ π€ β π§)) β π§ β π½) |
6 | | kqval.2 |
. . . . . . 7
β’ πΉ = (π₯ β π β¦ {π¦ β π½ β£ π₯ β π¦}) |
7 | 6 | kqopn 23101 |
. . . . . 6
β’ ((π½ β (TopOnβπ) β§ π§ β π½) β (πΉ β π§) β (KQβπ½)) |
8 | 4, 5, 7 | syl2anc 585 |
. . . . 5
β’ (((π½ β (TopOnβπ) β§ (KQβπ½) β Reg) β§ (π§ β π½ β§ π€ β π§)) β (πΉ β π§) β (KQβπ½)) |
9 | | simprr 772 |
. . . . . 6
β’ (((π½ β (TopOnβπ) β§ (KQβπ½) β Reg) β§ (π§ β π½ β§ π€ β π§)) β π€ β π§) |
10 | | toponss 22292 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π½ β (TopOnβπ) β§ π§ β π½) β π§ β π) |
11 | 4, 5, 10 | syl2anc 585 |
. . . . . . . 8
β’ (((π½ β (TopOnβπ) β§ (KQβπ½) β Reg) β§ (π§ β π½ β§ π€ β π§)) β π§ β π) |
12 | 11, 9 | sseldd 3946 |
. . . . . . 7
β’ (((π½ β (TopOnβπ) β§ (KQβπ½) β Reg) β§ (π§ β π½ β§ π€ β π§)) β π€ β π) |
13 | 6 | kqfvima 23097 |
. . . . . . 7
β’ ((π½ β (TopOnβπ) β§ π§ β π½ β§ π€ β π) β (π€ β π§ β (πΉβπ€) β (πΉ β π§))) |
14 | 4, 5, 12, 13 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ (((π½ β (TopOnβπ) β§ (KQβπ½) β Reg) β§ (π§ β π½ β§ π€ β π§)) β (π€ β π§ β (πΉβπ€) β (πΉ β π§))) |
15 | 9, 14 | mpbid 231 |
. . . . 5
β’ (((π½ β (TopOnβπ) β§ (KQβπ½) β Reg) β§ (π§ β π½ β§ π€ β π§)) β (πΉβπ€) β (πΉ β π§)) |
16 | | regsep 22701 |
. . . . 5
β’
(((KQβπ½)
β Reg β§ (πΉ β
π§) β (KQβπ½) β§ (πΉβπ€) β (πΉ β π§)) β βπ β (KQβπ½)((πΉβπ€) β π β§ ((clsβ(KQβπ½))βπ) β (πΉ β π§))) |
17 | 3, 8, 15, 16 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((π½ β (TopOnβπ) β§ (KQβπ½) β Reg) β§ (π§ β π½ β§ π€ β π§)) β βπ β (KQβπ½)((πΉβπ€) β π β§ ((clsβ(KQβπ½))βπ) β (πΉ β π§))) |
18 | 4 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’ ((((π½ β (TopOnβπ) β§ (KQβπ½) β Reg) β§ (π§ β π½ β§ π€ β π§)) β§ (π β (KQβπ½) β§ ((πΉβπ€) β π β§ ((clsβ(KQβπ½))βπ) β (πΉ β π§)))) β π½ β (TopOnβπ)) |
19 | 6 | kqid 23095 |
. . . . . . 7
β’ (π½ β (TopOnβπ) β πΉ β (π½ Cn (KQβπ½))) |
20 | 18, 19 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ ((((π½ β (TopOnβπ) β§ (KQβπ½) β Reg) β§ (π§ β π½ β§ π€ β π§)) β§ (π β (KQβπ½) β§ ((πΉβπ€) β π β§ ((clsβ(KQβπ½))βπ) β (πΉ β π§)))) β πΉ β (π½ Cn (KQβπ½))) |
21 | | simprl 770 |
. . . . . 6
β’ ((((π½ β (TopOnβπ) β§ (KQβπ½) β Reg) β§ (π§ β π½ β§ π€ β π§)) β§ (π β (KQβπ½) β§ ((πΉβπ€) β π β§ ((clsβ(KQβπ½))βπ) β (πΉ β π§)))) β π β (KQβπ½)) |
22 | | cnima 22632 |
. . . . . 6
β’ ((πΉ β (π½ Cn (KQβπ½)) β§ π β (KQβπ½)) β (β‘πΉ β π) β π½) |
23 | 20, 21, 22 | syl2anc 585 |
. . . . 5
β’ ((((π½ β (TopOnβπ) β§ (KQβπ½) β Reg) β§ (π§ β π½ β§ π€ β π§)) β§ (π β (KQβπ½) β§ ((πΉβπ€) β π β§ ((clsβ(KQβπ½))βπ) β (πΉ β π§)))) β (β‘πΉ β π) β π½) |
24 | 12 | adantr 482 |
. . . . . 6
β’ ((((π½ β (TopOnβπ) β§ (KQβπ½) β Reg) β§ (π§ β π½ β§ π€ β π§)) β§ (π β (KQβπ½) β§ ((πΉβπ€) β π β§ ((clsβ(KQβπ½))βπ) β (πΉ β π§)))) β π€ β π) |
25 | | simprrl 780 |
. . . . . 6
β’ ((((π½ β (TopOnβπ) β§ (KQβπ½) β Reg) β§ (π§ β π½ β§ π€ β π§)) β§ (π β (KQβπ½) β§ ((πΉβπ€) β π β§ ((clsβ(KQβπ½))βπ) β (πΉ β π§)))) β (πΉβπ€) β π) |
26 | 6 | kqffn 23092 |
. . . . . . 7
β’ (π½ β (TopOnβπ) β πΉ Fn π) |
27 | | elpreima 7009 |
. . . . . . 7
β’ (πΉ Fn π β (π€ β (β‘πΉ β π) β (π€ β π β§ (πΉβπ€) β π))) |
28 | 18, 26, 27 | 3syl 18 |
. . . . . 6
β’ ((((π½ β (TopOnβπ) β§ (KQβπ½) β Reg) β§ (π§ β π½ β§ π€ β π§)) β§ (π β (KQβπ½) β§ ((πΉβπ€) β π β§ ((clsβ(KQβπ½))βπ) β (πΉ β π§)))) β (π€ β (β‘πΉ β π) β (π€ β π β§ (πΉβπ€) β π))) |
29 | 24, 25, 28 | mpbir2and 712 |
. . . . 5
β’ ((((π½ β (TopOnβπ) β§ (KQβπ½) β Reg) β§ (π§ β π½ β§ π€ β π§)) β§ (π β (KQβπ½) β§ ((πΉβπ€) β π β§ ((clsβ(KQβπ½))βπ) β (πΉ β π§)))) β π€ β (β‘πΉ β π)) |
30 | 6 | kqtopon 23094 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π½ β (TopOnβπ) β (KQβπ½) β (TopOnβran πΉ)) |
31 | | topontop 22278 |
. . . . . . . . . 10
β’
((KQβπ½) β
(TopOnβran πΉ) β
(KQβπ½) β
Top) |
32 | 18, 30, 31 | 3syl 18 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π½ β (TopOnβπ) β§ (KQβπ½) β Reg) β§ (π§ β π½ β§ π€ β π§)) β§ (π β (KQβπ½) β§ ((πΉβπ€) β π β§ ((clsβ(KQβπ½))βπ) β (πΉ β π§)))) β (KQβπ½) β Top) |
33 | | elssuni 4899 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (KQβπ½) β π β βͺ
(KQβπ½)) |
34 | 33 | ad2antrl 727 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π½ β (TopOnβπ) β§ (KQβπ½) β Reg) β§ (π§ β π½ β§ π€ β π§)) β§ (π β (KQβπ½) β§ ((πΉβπ€) β π β§ ((clsβ(KQβπ½))βπ) β (πΉ β π§)))) β π β βͺ
(KQβπ½)) |
35 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . 10
β’ βͺ (KQβπ½) = βͺ
(KQβπ½) |
36 | 35 | clscld 22414 |
. . . . . . . . 9
β’
(((KQβπ½)
β Top β§ π β
βͺ (KQβπ½)) β ((clsβ(KQβπ½))βπ) β (Clsdβ(KQβπ½))) |
37 | 32, 34, 36 | syl2anc 585 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π½ β (TopOnβπ) β§ (KQβπ½) β Reg) β§ (π§ β π½ β§ π€ β π§)) β§ (π β (KQβπ½) β§ ((πΉβπ€) β π β§ ((clsβ(KQβπ½))βπ) β (πΉ β π§)))) β ((clsβ(KQβπ½))βπ) β (Clsdβ(KQβπ½))) |
38 | | cnclima 22635 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΉ β (π½ Cn (KQβπ½)) β§ ((clsβ(KQβπ½))βπ) β (Clsdβ(KQβπ½))) β (β‘πΉ β ((clsβ(KQβπ½))βπ)) β (Clsdβπ½)) |
39 | 20, 37, 38 | syl2anc 585 |
. . . . . . 7
β’ ((((π½ β (TopOnβπ) β§ (KQβπ½) β Reg) β§ (π§ β π½ β§ π€ β π§)) β§ (π β (KQβπ½) β§ ((πΉβπ€) β π β§ ((clsβ(KQβπ½))βπ) β (πΉ β π§)))) β (β‘πΉ β ((clsβ(KQβπ½))βπ)) β (Clsdβπ½)) |
40 | 35 | sscls 22423 |
. . . . . . . . 9
β’
(((KQβπ½)
β Top β§ π β
βͺ (KQβπ½)) β π β ((clsβ(KQβπ½))βπ)) |
41 | 32, 34, 40 | syl2anc 585 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π½ β (TopOnβπ) β§ (KQβπ½) β Reg) β§ (π§ β π½ β§ π€ β π§)) β§ (π β (KQβπ½) β§ ((πΉβπ€) β π β§ ((clsβ(KQβπ½))βπ) β (πΉ β π§)))) β π β ((clsβ(KQβπ½))βπ)) |
42 | | imass2 6055 |
. . . . . . . 8
β’ (π β
((clsβ(KQβπ½))βπ) β (β‘πΉ β π) β (β‘πΉ β ((clsβ(KQβπ½))βπ))) |
43 | 41, 42 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ ((((π½ β (TopOnβπ) β§ (KQβπ½) β Reg) β§ (π§ β π½ β§ π€ β π§)) β§ (π β (KQβπ½) β§ ((πΉβπ€) β π β§ ((clsβ(KQβπ½))βπ) β (πΉ β π§)))) β (β‘πΉ β π) β (β‘πΉ β ((clsβ(KQβπ½))βπ))) |
44 | | eqid 2733 |
. . . . . . . 8
β’ βͺ π½ =
βͺ π½ |
45 | 44 | clsss2 22439 |
. . . . . . 7
β’ (((β‘πΉ β ((clsβ(KQβπ½))βπ)) β (Clsdβπ½) β§ (β‘πΉ β π) β (β‘πΉ β ((clsβ(KQβπ½))βπ))) β ((clsβπ½)β(β‘πΉ β π)) β (β‘πΉ β ((clsβ(KQβπ½))βπ))) |
46 | 39, 43, 45 | syl2anc 585 |
. . . . . 6
β’ ((((π½ β (TopOnβπ) β§ (KQβπ½) β Reg) β§ (π§ β π½ β§ π€ β π§)) β§ (π β (KQβπ½) β§ ((πΉβπ€) β π β§ ((clsβ(KQβπ½))βπ) β (πΉ β π§)))) β ((clsβπ½)β(β‘πΉ β π)) β (β‘πΉ β ((clsβ(KQβπ½))βπ))) |
47 | | simprrr 781 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π½ β (TopOnβπ) β§ (KQβπ½) β Reg) β§ (π§ β π½ β§ π€ β π§)) β§ (π β (KQβπ½) β§ ((πΉβπ€) β π β§ ((clsβ(KQβπ½))βπ) β (πΉ β π§)))) β ((clsβ(KQβπ½))βπ) β (πΉ β π§)) |
48 | | imass2 6055 |
. . . . . . . 8
β’
(((clsβ(KQβπ½))βπ) β (πΉ β π§) β (β‘πΉ β ((clsβ(KQβπ½))βπ)) β (β‘πΉ β (πΉ β π§))) |
49 | 47, 48 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ ((((π½ β (TopOnβπ) β§ (KQβπ½) β Reg) β§ (π§ β π½ β§ π€ β π§)) β§ (π β (KQβπ½) β§ ((πΉβπ€) β π β§ ((clsβ(KQβπ½))βπ) β (πΉ β π§)))) β (β‘πΉ β ((clsβ(KQβπ½))βπ)) β (β‘πΉ β (πΉ β π§))) |
50 | 5 | adantr 482 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π½ β (TopOnβπ) β§ (KQβπ½) β Reg) β§ (π§ β π½ β§ π€ β π§)) β§ (π β (KQβπ½) β§ ((πΉβπ€) β π β§ ((clsβ(KQβπ½))βπ) β (πΉ β π§)))) β π§ β π½) |
51 | 6 | kqsat 23098 |
. . . . . . . 8
β’ ((π½ β (TopOnβπ) β§ π§ β π½) β (β‘πΉ β (πΉ β π§)) = π§) |
52 | 18, 50, 51 | syl2anc 585 |
. . . . . . 7
β’ ((((π½ β (TopOnβπ) β§ (KQβπ½) β Reg) β§ (π§ β π½ β§ π€ β π§)) β§ (π β (KQβπ½) β§ ((πΉβπ€) β π β§ ((clsβ(KQβπ½))βπ) β (πΉ β π§)))) β (β‘πΉ β (πΉ β π§)) = π§) |
53 | 49, 52 | sseqtrd 3985 |
. . . . . 6
β’ ((((π½ β (TopOnβπ) β§ (KQβπ½) β Reg) β§ (π§ β π½ β§ π€ β π§)) β§ (π β (KQβπ½) β§ ((πΉβπ€) β π β§ ((clsβ(KQβπ½))βπ) β (πΉ β π§)))) β (β‘πΉ β ((clsβ(KQβπ½))βπ)) β π§) |
54 | 46, 53 | sstrd 3955 |
. . . . 5
β’ ((((π½ β (TopOnβπ) β§ (KQβπ½) β Reg) β§ (π§ β π½ β§ π€ β π§)) β§ (π β (KQβπ½) β§ ((πΉβπ€) β π β§ ((clsβ(KQβπ½))βπ) β (πΉ β π§)))) β ((clsβπ½)β(β‘πΉ β π)) β π§) |
55 | | eleq2 2823 |
. . . . . . 7
β’ (π = (β‘πΉ β π) β (π€ β π β π€ β (β‘πΉ β π))) |
56 | | fveq2 6843 |
. . . . . . . 8
β’ (π = (β‘πΉ β π) β ((clsβπ½)βπ) = ((clsβπ½)β(β‘πΉ β π))) |
57 | 56 | sseq1d 3976 |
. . . . . . 7
β’ (π = (β‘πΉ β π) β (((clsβπ½)βπ) β π§ β ((clsβπ½)β(β‘πΉ β π)) β π§)) |
58 | 55, 57 | anbi12d 632 |
. . . . . 6
β’ (π = (β‘πΉ β π) β ((π€ β π β§ ((clsβπ½)βπ) β π§) β (π€ β (β‘πΉ β π) β§ ((clsβπ½)β(β‘πΉ β π)) β π§))) |
59 | 58 | rspcev 3580 |
. . . . 5
β’ (((β‘πΉ β π) β π½ β§ (π€ β (β‘πΉ β π) β§ ((clsβπ½)β(β‘πΉ β π)) β π§)) β βπ β π½ (π€ β π β§ ((clsβπ½)βπ) β π§)) |
60 | 23, 29, 54, 59 | syl12anc 836 |
. . . 4
β’ ((((π½ β (TopOnβπ) β§ (KQβπ½) β Reg) β§ (π§ β π½ β§ π€ β π§)) β§ (π β (KQβπ½) β§ ((πΉβπ€) β π β§ ((clsβ(KQβπ½))βπ) β (πΉ β π§)))) β βπ β π½ (π€ β π β§ ((clsβπ½)βπ) β π§)) |
61 | 17, 60 | rexlimddv 3155 |
. . 3
β’ (((π½ β (TopOnβπ) β§ (KQβπ½) β Reg) β§ (π§ β π½ β§ π€ β π§)) β βπ β π½ (π€ β π β§ ((clsβπ½)βπ) β π§)) |
62 | 61 | ralrimivva 3194 |
. 2
β’ ((π½ β (TopOnβπ) β§ (KQβπ½) β Reg) β
βπ§ β π½ βπ€ β π§ βπ β π½ (π€ β π β§ ((clsβπ½)βπ) β π§)) |
63 | | isreg 22699 |
. 2
β’ (π½ β Reg β (π½ β Top β§ βπ§ β π½ βπ€ β π§ βπ β π½ (π€ β π β§ ((clsβπ½)βπ) β π§))) |
64 | 2, 62, 63 | sylanbrc 584 |
1
β’ ((π½ β (TopOnβπ) β§ (KQβπ½) β Reg) β π½ β Reg) |