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Theorem kqreglem2 23109
Description: If the Kolmogorov quotient of a space is regular then so is the original space. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
kqval.2 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ π‘₯ ∈ 𝑦})
Assertion
Ref Expression
kqreglem2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) β†’ 𝐽 ∈ Reg)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐽   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem kqreglem2
Dummy variables π‘š 𝑛 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 topontop 22278 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
21adantr 482 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) β†’ 𝐽 ∈ Top)
3 simplr 768 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) β†’ (KQβ€˜π½) ∈ Reg)
4 simpll 766 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
5 simprl 770 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐽)
6 kqval.2 . . . . . . 7 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ π‘₯ ∈ 𝑦})
76kqopn 23101 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) β†’ (𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (KQβ€˜π½))
84, 5, 7syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) β†’ (𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (KQβ€˜π½))
9 simprr 772 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) β†’ 𝑀 ∈ 𝑧)
10 toponss 22292 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) β†’ 𝑧 βŠ† 𝑋)
114, 5, 10syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) β†’ 𝑧 βŠ† 𝑋)
1211, 9sseldd 3946 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) β†’ 𝑀 ∈ 𝑋)
136kqfvima 23097 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ (𝑀 ∈ 𝑧 ↔ (πΉβ€˜π‘€) ∈ (𝐹 β€œ 𝑧)))
144, 5, 12, 13syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) β†’ (𝑀 ∈ 𝑧 ↔ (πΉβ€˜π‘€) ∈ (𝐹 β€œ 𝑧)))
159, 14mpbid 231 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ (𝐹 β€œ 𝑧))
16 regsep 22701 . . . . 5 (((KQβ€˜π½) ∈ Reg ∧ (𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (KQβ€˜π½) ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ (𝐹 β€œ 𝑧)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))
173, 8, 15, 16syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))
184adantr 482 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
196kqid 23095 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (KQβ€˜π½)))
2018, 19syl 17 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (KQβ€˜π½)))
21 simprl 770 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ 𝑛 ∈ (KQβ€˜π½))
22 cnima 22632 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn (KQβ€˜π½)) ∧ 𝑛 ∈ (KQβ€˜π½)) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑛) ∈ 𝐽)
2320, 21, 22syl2anc 585 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑛) ∈ 𝐽)
2412adantr 482 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ 𝑀 ∈ 𝑋)
25 simprrl 780 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛)
266kqffn 23092 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
27 elpreima 7009 . . . . . . 7 (𝐹 Fn 𝑋 β†’ (𝑀 ∈ (◑𝐹 β€œ 𝑛) ↔ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛)))
2818, 26, 273syl 18 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ (𝑀 ∈ (◑𝐹 β€œ 𝑛) ↔ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛)))
2924, 25, 28mpbir2and 712 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ 𝑀 ∈ (◑𝐹 β€œ 𝑛))
306kqtopon 23094 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (KQβ€˜π½) ∈ (TopOnβ€˜ran 𝐹))
31 topontop 22278 . . . . . . . . . 10 ((KQβ€˜π½) ∈ (TopOnβ€˜ran 𝐹) β†’ (KQβ€˜π½) ∈ Top)
3218, 30, 313syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ (KQβ€˜π½) ∈ Top)
33 elssuni 4899 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) β†’ 𝑛 βŠ† βˆͺ (KQβ€˜π½))
3433ad2antrl 727 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ 𝑛 βŠ† βˆͺ (KQβ€˜π½))
35 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 βˆͺ (KQβ€˜π½) = βˆͺ (KQβ€˜π½)
3635clscld 22414 . . . . . . . . 9 (((KQβ€˜π½) ∈ Top ∧ 𝑛 βŠ† βˆͺ (KQβ€˜π½)) β†’ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) ∈ (Clsdβ€˜(KQβ€˜π½)))
3732, 34, 36syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) ∈ (Clsdβ€˜(KQβ€˜π½)))
38 cnclima 22635 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn (KQβ€˜π½)) ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) ∈ (Clsdβ€˜(KQβ€˜π½))) β†’ (◑𝐹 β€œ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
3920, 37, 38syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ (◑𝐹 β€œ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
4035sscls 22423 . . . . . . . . 9 (((KQβ€˜π½) ∈ Top ∧ 𝑛 βŠ† βˆͺ (KQβ€˜π½)) β†’ 𝑛 βŠ† ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›))
4132, 34, 40syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ 𝑛 βŠ† ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›))
42 imass2 6055 . . . . . . . 8 (𝑛 βŠ† ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑛) βŠ† (◑𝐹 β€œ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›)))
4341, 42syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑛) βŠ† (◑𝐹 β€œ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›)))
44 eqid 2733 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
4544clsss2 22439 . . . . . . 7 (((◑𝐹 β€œ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›)) ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑛) βŠ† (◑𝐹 β€œ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›))) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑛)) βŠ† (◑𝐹 β€œ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›)))
4639, 43, 45syl2anc 585 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑛)) βŠ† (◑𝐹 β€œ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›)))
47 simprrr 781 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧))
48 imass2 6055 . . . . . . . 8 (((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧) β†’ (◑𝐹 β€œ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›)) βŠ† (◑𝐹 β€œ (𝐹 β€œ 𝑧)))
4947, 48syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ (◑𝐹 β€œ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›)) βŠ† (◑𝐹 β€œ (𝐹 β€œ 𝑧)))
505adantr 482 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐽)
516kqsat 23098 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐹 β€œ 𝑧)) = 𝑧)
5218, 50, 51syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐹 β€œ 𝑧)) = 𝑧)
5349, 52sseqtrd 3985 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ (◑𝐹 β€œ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›)) βŠ† 𝑧)
5446, 53sstrd 3955 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑛)) βŠ† 𝑧)
55 eleq2 2823 . . . . . . 7 (π‘š = (◑𝐹 β€œ 𝑛) β†’ (𝑀 ∈ π‘š ↔ 𝑀 ∈ (◑𝐹 β€œ 𝑛)))
56 fveq2 6843 . . . . . . . 8 (π‘š = (◑𝐹 β€œ 𝑛) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘š) = ((clsβ€˜π½)β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑛)))
5756sseq1d 3976 . . . . . . 7 (π‘š = (◑𝐹 β€œ 𝑛) β†’ (((clsβ€˜π½)β€˜π‘š) βŠ† 𝑧 ↔ ((clsβ€˜π½)β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑛)) βŠ† 𝑧))
5855, 57anbi12d 632 . . . . . 6 (π‘š = (◑𝐹 β€œ 𝑛) β†’ ((𝑀 ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘š) βŠ† 𝑧) ↔ (𝑀 ∈ (◑𝐹 β€œ 𝑛) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑛)) βŠ† 𝑧)))
5958rspcev 3580 . . . . 5 (((◑𝐹 β€œ 𝑛) ∈ 𝐽 ∧ (𝑀 ∈ (◑𝐹 β€œ 𝑛) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑛)) βŠ† 𝑧)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝐽 (𝑀 ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘š) βŠ† 𝑧))
6023, 29, 54, 59syl12anc 836 . . . 4 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝐽 (𝑀 ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘š) βŠ† 𝑧))
6117, 60rexlimddv 3155 . . 3 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝐽 (𝑀 ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘š) βŠ† 𝑧))
6261ralrimivva 3194 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐽 βˆ€π‘€ ∈ 𝑧 βˆƒπ‘š ∈ 𝐽 (𝑀 ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘š) βŠ† 𝑧))
63 isreg 22699 . 2 (𝐽 ∈ Reg ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐽 βˆ€π‘€ ∈ 𝑧 βˆƒπ‘š ∈ 𝐽 (𝑀 ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘š) βŠ† 𝑧)))
642, 62, 63sylanbrc 584 1 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) β†’ 𝐽 ∈ Reg)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3406   βŠ† wss 3911  βˆͺ cuni 4866   ↦ cmpt 5189  β—‘ccnv 5633  ran crn 5635   β€œ cima 5637   Fn wfn 6492  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Topctop 22258  TopOnctopon 22275  Clsdccld 22383  clsccl 22385   Cn ccn 22591  Regcreg 22676  KQckq 23060
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-map 8770  df-qtop 17394  df-top 22259  df-topon 22276  df-cld 22386  df-cls 22388  df-cn 22594  df-reg 22683  df-kq 23061
This theorem is referenced by:  kqreg  23118
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