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Theorem kqreglem2 23253
Description: If the Kolmogorov quotient of a space is regular then so is the original space. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
kqval.2 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ π‘₯ ∈ 𝑦})
Assertion
Ref Expression
kqreglem2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) β†’ 𝐽 ∈ Reg)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐽   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem kqreglem2
Dummy variables π‘š 𝑛 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 topontop 22422 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
21adantr 481 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) β†’ 𝐽 ∈ Top)
3 simplr 767 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) β†’ (KQβ€˜π½) ∈ Reg)
4 simpll 765 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
5 simprl 769 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐽)
6 kqval.2 . . . . . . 7 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ π‘₯ ∈ 𝑦})
76kqopn 23245 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) β†’ (𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (KQβ€˜π½))
84, 5, 7syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) β†’ (𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (KQβ€˜π½))
9 simprr 771 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) β†’ 𝑀 ∈ 𝑧)
10 toponss 22436 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) β†’ 𝑧 βŠ† 𝑋)
114, 5, 10syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) β†’ 𝑧 βŠ† 𝑋)
1211, 9sseldd 3983 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) β†’ 𝑀 ∈ 𝑋)
136kqfvima 23241 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ (𝑀 ∈ 𝑧 ↔ (πΉβ€˜π‘€) ∈ (𝐹 β€œ 𝑧)))
144, 5, 12, 13syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) β†’ (𝑀 ∈ 𝑧 ↔ (πΉβ€˜π‘€) ∈ (𝐹 β€œ 𝑧)))
159, 14mpbid 231 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ (𝐹 β€œ 𝑧))
16 regsep 22845 . . . . 5 (((KQβ€˜π½) ∈ Reg ∧ (𝐹 β€œ 𝑧) ∈ (KQβ€˜π½) ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ (𝐹 β€œ 𝑧)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))
173, 8, 15, 16syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ (KQβ€˜π½)((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))
184adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
196kqid 23239 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (KQβ€˜π½)))
2018, 19syl 17 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (KQβ€˜π½)))
21 simprl 769 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ 𝑛 ∈ (KQβ€˜π½))
22 cnima 22776 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn (KQβ€˜π½)) ∧ 𝑛 ∈ (KQβ€˜π½)) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑛) ∈ 𝐽)
2320, 21, 22syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑛) ∈ 𝐽)
2412adantr 481 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ 𝑀 ∈ 𝑋)
25 simprrl 779 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛)
266kqffn 23236 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
27 elpreima 7059 . . . . . . 7 (𝐹 Fn 𝑋 β†’ (𝑀 ∈ (◑𝐹 β€œ 𝑛) ↔ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛)))
2818, 26, 273syl 18 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ (𝑀 ∈ (◑𝐹 β€œ 𝑛) ↔ (𝑀 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛)))
2924, 25, 28mpbir2and 711 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ 𝑀 ∈ (◑𝐹 β€œ 𝑛))
306kqtopon 23238 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (KQβ€˜π½) ∈ (TopOnβ€˜ran 𝐹))
31 topontop 22422 . . . . . . . . . 10 ((KQβ€˜π½) ∈ (TopOnβ€˜ran 𝐹) β†’ (KQβ€˜π½) ∈ Top)
3218, 30, 313syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ (KQβ€˜π½) ∈ Top)
33 elssuni 4941 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) β†’ 𝑛 βŠ† βˆͺ (KQβ€˜π½))
3433ad2antrl 726 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ 𝑛 βŠ† βˆͺ (KQβ€˜π½))
35 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 βˆͺ (KQβ€˜π½) = βˆͺ (KQβ€˜π½)
3635clscld 22558 . . . . . . . . 9 (((KQβ€˜π½) ∈ Top ∧ 𝑛 βŠ† βˆͺ (KQβ€˜π½)) β†’ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) ∈ (Clsdβ€˜(KQβ€˜π½)))
3732, 34, 36syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) ∈ (Clsdβ€˜(KQβ€˜π½)))
38 cnclima 22779 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn (KQβ€˜π½)) ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) ∈ (Clsdβ€˜(KQβ€˜π½))) β†’ (◑𝐹 β€œ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
3920, 37, 38syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ (◑𝐹 β€œ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
4035sscls 22567 . . . . . . . . 9 (((KQβ€˜π½) ∈ Top ∧ 𝑛 βŠ† βˆͺ (KQβ€˜π½)) β†’ 𝑛 βŠ† ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›))
4132, 34, 40syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ 𝑛 βŠ† ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›))
42 imass2 6101 . . . . . . . 8 (𝑛 βŠ† ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑛) βŠ† (◑𝐹 β€œ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›)))
4341, 42syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑛) βŠ† (◑𝐹 β€œ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›)))
44 eqid 2732 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
4544clsss2 22583 . . . . . . 7 (((◑𝐹 β€œ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›)) ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑛) βŠ† (◑𝐹 β€œ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›))) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑛)) βŠ† (◑𝐹 β€œ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›)))
4639, 43, 45syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑛)) βŠ† (◑𝐹 β€œ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›)))
47 simprrr 780 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧))
48 imass2 6101 . . . . . . . 8 (((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧) β†’ (◑𝐹 β€œ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›)) βŠ† (◑𝐹 β€œ (𝐹 β€œ 𝑧)))
4947, 48syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ (◑𝐹 β€œ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›)) βŠ† (◑𝐹 β€œ (𝐹 β€œ 𝑧)))
505adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐽)
516kqsat 23242 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐹 β€œ 𝑧)) = 𝑧)
5218, 50, 51syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐹 β€œ 𝑧)) = 𝑧)
5349, 52sseqtrd 4022 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ (◑𝐹 β€œ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›)) βŠ† 𝑧)
5446, 53sstrd 3992 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑛)) βŠ† 𝑧)
55 eleq2 2822 . . . . . . 7 (π‘š = (◑𝐹 β€œ 𝑛) β†’ (𝑀 ∈ π‘š ↔ 𝑀 ∈ (◑𝐹 β€œ 𝑛)))
56 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (π‘š = (◑𝐹 β€œ 𝑛) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘š) = ((clsβ€˜π½)β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑛)))
5756sseq1d 4013 . . . . . . 7 (π‘š = (◑𝐹 β€œ 𝑛) β†’ (((clsβ€˜π½)β€˜π‘š) βŠ† 𝑧 ↔ ((clsβ€˜π½)β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑛)) βŠ† 𝑧))
5855, 57anbi12d 631 . . . . . 6 (π‘š = (◑𝐹 β€œ 𝑛) β†’ ((𝑀 ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘š) βŠ† 𝑧) ↔ (𝑀 ∈ (◑𝐹 β€œ 𝑛) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑛)) βŠ† 𝑧)))
5958rspcev 3612 . . . . 5 (((◑𝐹 β€œ 𝑛) ∈ 𝐽 ∧ (𝑀 ∈ (◑𝐹 β€œ 𝑛) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑛)) βŠ† 𝑧)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝐽 (𝑀 ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘š) βŠ† 𝑧))
6023, 29, 54, 59syl12anc 835 . . . 4 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑛 ∈ (KQβ€˜π½) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑛 ∧ ((clsβ€˜(KQβ€˜π½))β€˜π‘›) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑧)))) β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝐽 (𝑀 ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘š) βŠ† 𝑧))
6117, 60rexlimddv 3161 . . 3 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑧)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝐽 (𝑀 ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘š) βŠ† 𝑧))
6261ralrimivva 3200 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐽 βˆ€π‘€ ∈ 𝑧 βˆƒπ‘š ∈ 𝐽 (𝑀 ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘š) βŠ† 𝑧))
63 isreg 22843 . 2 (𝐽 ∈ Reg ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐽 βˆ€π‘€ ∈ 𝑧 βˆƒπ‘š ∈ 𝐽 (𝑀 ∈ π‘š ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘š) βŠ† 𝑧)))
642, 62, 63sylanbrc 583 1 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Reg) β†’ 𝐽 ∈ Reg)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432   βŠ† wss 3948  βˆͺ cuni 4908   ↦ cmpt 5231  β—‘ccnv 5675  ran crn 5677   β€œ cima 5679   Fn wfn 6538  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Topctop 22402  TopOnctopon 22419  Clsdccld 22527  clsccl 22529   Cn ccn 22735  Regcreg 22820  KQckq 23204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-map 8824  df-qtop 17455  df-top 22403  df-topon 22420  df-cld 22530  df-cls 22532  df-cn 22738  df-reg 22827  df-kq 23205
This theorem is referenced by:  kqreg  23262
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