MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kqdisj Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem kqdisj 23587
Description: A version of imain 6626 for the topological indistinguishability map. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
kqval.2 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ π‘₯ ∈ 𝑦})
Assertion
Ref Expression
kqdisj ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽) β†’ ((𝐹 β€œ π‘ˆ) ∩ (𝐹 β€œ (𝐴 βˆ– π‘ˆ))) = βˆ…)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   π‘₯,𝐽,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(π‘₯,𝑦)   𝐹(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem kqdisj
Dummy variables 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imadmres 6226 . . . . 5 (𝐹 β€œ dom (𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆ– π‘ˆ))) = (𝐹 β€œ (𝐴 βˆ– π‘ˆ))
2 dmres 5996 . . . . . . 7 dom (𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆ– π‘ˆ)) = ((𝐴 βˆ– π‘ˆ) ∩ dom 𝐹)
3 kqval.2 . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ π‘₯ ∈ 𝑦})
43kqffn 23580 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
54adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽) β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
65fndmd 6647 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽) β†’ dom 𝐹 = 𝑋)
76ineq2d 4207 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽) β†’ ((𝐴 βˆ– π‘ˆ) ∩ dom 𝐹) = ((𝐴 βˆ– π‘ˆ) ∩ 𝑋))
82, 7eqtrid 2778 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽) β†’ dom (𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆ– π‘ˆ)) = ((𝐴 βˆ– π‘ˆ) ∩ 𝑋))
98imaeq2d 6052 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽) β†’ (𝐹 β€œ dom (𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆ– π‘ˆ))) = (𝐹 β€œ ((𝐴 βˆ– π‘ˆ) ∩ 𝑋)))
101, 9eqtr3id 2780 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽) β†’ (𝐹 β€œ (𝐴 βˆ– π‘ˆ)) = (𝐹 β€œ ((𝐴 βˆ– π‘ˆ) ∩ 𝑋)))
11 indif1 4266 . . . . . 6 ((𝐴 βˆ– π‘ˆ) ∩ 𝑋) = ((𝐴 ∩ 𝑋) βˆ– π‘ˆ)
12 inss2 4224 . . . . . . 7 (𝐴 ∩ 𝑋) βŠ† 𝑋
13 ssdif 4134 . . . . . . 7 ((𝐴 ∩ 𝑋) βŠ† 𝑋 β†’ ((𝐴 ∩ 𝑋) βˆ– π‘ˆ) βŠ† (𝑋 βˆ– π‘ˆ))
1412, 13ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝐴 ∩ 𝑋) βˆ– π‘ˆ) βŠ† (𝑋 βˆ– π‘ˆ)
1511, 14eqsstri 4011 . . . . 5 ((𝐴 βˆ– π‘ˆ) ∩ 𝑋) βŠ† (𝑋 βˆ– π‘ˆ)
16 imass2 6094 . . . . 5 (((𝐴 βˆ– π‘ˆ) ∩ 𝑋) βŠ† (𝑋 βˆ– π‘ˆ) β†’ (𝐹 β€œ ((𝐴 βˆ– π‘ˆ) ∩ 𝑋)) βŠ† (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– π‘ˆ)))
1715, 16mp1i 13 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽) β†’ (𝐹 β€œ ((𝐴 βˆ– π‘ˆ) ∩ 𝑋)) βŠ† (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– π‘ˆ)))
1810, 17eqsstrd 4015 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽) β†’ (𝐹 β€œ (𝐴 βˆ– π‘ˆ)) βŠ† (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– π‘ˆ)))
19 sslin 4229 . . 3 ((𝐹 β€œ (𝐴 βˆ– π‘ˆ)) βŠ† (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– π‘ˆ)) β†’ ((𝐹 β€œ π‘ˆ) ∩ (𝐹 β€œ (𝐴 βˆ– π‘ˆ))) βŠ† ((𝐹 β€œ π‘ˆ) ∩ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– π‘ˆ))))
2018, 19syl 17 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽) β†’ ((𝐹 β€œ π‘ˆ) ∩ (𝐹 β€œ (𝐴 βˆ– π‘ˆ))) βŠ† ((𝐹 β€œ π‘ˆ) ∩ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– π‘ˆ))))
21 eldifn 4122 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (𝑋 βˆ– π‘ˆ) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ π‘ˆ)
2221adantl 481 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽) ∧ 𝑀 ∈ (𝑋 βˆ– π‘ˆ)) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ π‘ˆ)
23 simpll 764 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽) ∧ 𝑀 ∈ (𝑋 βˆ– π‘ˆ)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
24 simplr 766 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽) ∧ 𝑀 ∈ (𝑋 βˆ– π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
25 eldifi 4121 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (𝑋 βˆ– π‘ˆ) β†’ 𝑀 ∈ 𝑋)
2625adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽) ∧ 𝑀 ∈ (𝑋 βˆ– π‘ˆ)) β†’ 𝑀 ∈ 𝑋)
273kqfvima 23585 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ (𝑀 ∈ π‘ˆ ↔ (πΉβ€˜π‘€) ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ)))
2823, 24, 26, 27syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽) ∧ 𝑀 ∈ (𝑋 βˆ– π‘ˆ)) β†’ (𝑀 ∈ π‘ˆ ↔ (πΉβ€˜π‘€) ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ)))
2922, 28mtbid 324 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽) ∧ 𝑀 ∈ (𝑋 βˆ– π‘ˆ)) β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘€) ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ))
3029ralrimiva 3140 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽) β†’ βˆ€π‘€ ∈ (𝑋 βˆ– π‘ˆ) Β¬ (πΉβ€˜π‘€) ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ))
31 difss 4126 . . . . 5 (𝑋 βˆ– π‘ˆ) βŠ† 𝑋
32 eleq1 2815 . . . . . . 7 (𝑧 = (πΉβ€˜π‘€) β†’ (𝑧 ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ) ↔ (πΉβ€˜π‘€) ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ)))
3332notbid 318 . . . . . 6 (𝑧 = (πΉβ€˜π‘€) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘€) ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ)))
3433ralima 7234 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝑋 ∧ (𝑋 βˆ– π‘ˆ) βŠ† 𝑋) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– π‘ˆ)) Β¬ 𝑧 ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ) ↔ βˆ€π‘€ ∈ (𝑋 βˆ– π‘ˆ) Β¬ (πΉβ€˜π‘€) ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ)))
355, 31, 34sylancl 585 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– π‘ˆ)) Β¬ 𝑧 ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ) ↔ βˆ€π‘€ ∈ (𝑋 βˆ– π‘ˆ) Β¬ (πΉβ€˜π‘€) ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ)))
3630, 35mpbird 257 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– π‘ˆ)) Β¬ 𝑧 ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ))
37 disjr 4444 . . 3 (((𝐹 β€œ π‘ˆ) ∩ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– π‘ˆ))) = βˆ… ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– π‘ˆ)) Β¬ 𝑧 ∈ (𝐹 β€œ π‘ˆ))
3836, 37sylibr 233 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽) β†’ ((𝐹 β€œ π‘ˆ) ∩ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– π‘ˆ))) = βˆ…)
39 sseq0 4394 . 2 ((((𝐹 β€œ π‘ˆ) ∩ (𝐹 β€œ (𝐴 βˆ– π‘ˆ))) βŠ† ((𝐹 β€œ π‘ˆ) ∩ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– π‘ˆ))) ∧ ((𝐹 β€œ π‘ˆ) ∩ (𝐹 β€œ (𝑋 βˆ– π‘ˆ))) = βˆ…) β†’ ((𝐹 β€œ π‘ˆ) ∩ (𝐹 β€œ (𝐴 βˆ– π‘ˆ))) = βˆ…)
4020, 38, 39syl2anc 583 1 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽) β†’ ((𝐹 β€œ π‘ˆ) ∩ (𝐹 β€œ (𝐴 βˆ– π‘ˆ))) = βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  {crab 3426   βˆ– cdif 3940   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669   β†Ύ cres 5671   β€œ cima 5672   Fn wfn 6531  β€˜cfv 6536  TopOnctopon 22763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-topon 22764
This theorem is referenced by:  kqcldsat  23588  regr1lem  23594
  Copyright terms: Public domain W3C validator