Theorem kur14lem3 35708

Description: Lemma for kur14 35716. A closure is a subset of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
kur14lem.j	⊢ 𝐽 ∈ Top
kur14lem.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
kur14lem.k	⊢ 𝐾 = (cls‘𝐽)
kur14lem.i	⊢ 𝐼 = (int‘𝐽)
kur14lem.a	⊢ 𝐴 ⊆ 𝑋

Assertion

Ref	Expression
kur14lem3	⊢ (𝐾‘𝐴) ⊆ 𝑋

Proof of Theorem kur14lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kur14lem.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (cls‘𝐽)
2	1	fveq1i 6882	. 2 ⊢ (𝐾‘𝐴) = ((cls‘𝐽)‘𝐴)
3		kur14lem.j	. . 3 ⊢ 𝐽 ∈ Top
4		kur14lem.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝑋
5		kur14lem.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
6	5	clsss3 23225	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ⊆ 𝑋)
7	3, 4, 6	mp2an 704	. 2 ⊢ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ⊆ 𝑋
8	2, 7	eqsstri 3983	1 ⊢ (𝐾‘𝐴) ⊆ 𝑋

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905  ∪ cuni 4872  ‘cfv 6536  Topctop 23059  intcnt 23183  clsccl 23184

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-top 23060  df-cld 23185  df-cls 23187

This theorem is used by:  kur14lem6  35711  kur14lem7  35712