Theorem kur14lem3 35168

Description: Lemma for kur14 35176. A closure is a subset of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
kur14lem.j	⊢ 𝐽 ∈ Top
kur14lem.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
kur14lem.k	⊢ 𝐾 = (cls‘𝐽)
kur14lem.i	⊢ 𝐼 = (int‘𝐽)
kur14lem.a	⊢ 𝐴 ⊆ 𝑋

Assertion

Ref	Expression
kur14lem3	⊢ (𝐾‘𝐴) ⊆ 𝑋

Proof of Theorem kur14lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kur14lem.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (cls‘𝐽)
2	1	fveq1i 6920	. 2 ⊢ (𝐾‘𝐴) = ((cls‘𝐽)‘𝐴)
3		kur14lem.j	. . 3 ⊢ 𝐽 ∈ Top
4		kur14lem.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝑋
5		kur14lem.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
6	5	clsss3 23081	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ⊆ 𝑋)
7	3, 4, 6	mp2an 691	. 2 ⊢ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ⊆ 𝑋
8	2, 7	eqsstri 4037	1 ⊢ (𝐾‘𝐴) ⊆ 𝑋

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2103   ⊆ wss 3970  ∪ cuni 4931  ‘cfv 6572  Topctop 22913  intcnt 23039  clsccl 23040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4973  df-iun 5021  df-iin 5022  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-id 5597  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-top 22914  df-cld 23041  df-cls 23043

This theorem is referenced by:  kur14lem6  35171  kur14lem7  35172