Theorem kur14lem3 35973

Description: Lemma for kur14 35981. A closure is a subset of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
kur14lem.j	⊢ 𝐽 ∈ Top
kur14lem.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
kur14lem.k	⊢ 𝐾 = (cls‘𝐽)
kur14lem.i	⊢ 𝐼 = (int‘𝐽)
kur14lem.a	⊢ 𝐴 ⊆ 𝑋

Assertion

Ref	Expression
kur14lem3	⊢ (𝐾‘𝐴) ⊆ 𝑋

Proof of Theorem kur14lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kur14lem.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (cls‘𝐽)
2	1	fveq1i 6886	. 2 ⊢ (𝐾‘𝐴) = ((cls‘𝐽)‘𝐴)
3		kur14lem.j	. . 3 ⊢ 𝐽 ∈ Top
4		kur14lem.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝑋
5		kur14lem.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
6	5	clsss3 23377	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ⊆ 𝑋)
7	3, 4, 6	mp2an 705	. 2 ⊢ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ⊆ 𝑋
8	2, 7	eqsstri 3954	1 ⊢ (𝐾‘𝐴) ⊆ 𝑋

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895  ∪ cuni 4866  ‘cfv 6538  Topctop 23211  intcnt 23335  clsccl 23336

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-top 23212  df-cld 23337  df-cls 23339

This theorem is used by:  kur14lem6  35976  kur14lem7  35977