Theorem clsss3 22975

Description: The closure of a subset of a topological space is included in the space. (Contributed by NM, 26-Feb-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
clsss3	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem clsss3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	clscld 22963	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))
3	1	cldss 22945	. 2 ⊢ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)
4	2, 3	syl 17	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3902  ∪ cuni 4859  ‘cfv 6481  Topctop 22809  Clsdccld 22932  clsccl 22934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-top 22810  df-cld 22935  df-cls 22937

This theorem is referenced by:  clsidm  22983  elcls2  22990  clsndisj  22991  ntrcls0  22992  neindisj  23033  lpval  23055  lpss  23058  clslp  23064  cnclsi  23188  cncls  23190  isnrm2  23274  lpcls  23280  perfcls  23281  regsep2  23292  clsconn  23346  conncompcld  23350  2ndcsep  23375  1stcelcls  23377  hausllycmp  23410  txcls  23520  ptclsg  23531  imasncls  23608  kqnrmlem1  23659  reghmph  23709  nrmhmph  23710  flimclslem  23900  flimsncls  23902  hauspwpwf1  23903  fclsopn  23930  fclscmpi  23945  cnextfun  23980  clssubg  24025  clsnsg  24026  snclseqg  24032  utop3cls  24167  qdensere  24685  clsocv  25178  relcmpcmet  25246  cncmet  25250  kur14lem3  35250  topbnd  36364  clsun  36368  opnregcld  36370  cldregopn  36371  heibor1lem  37855  qndenserrn  46343  iscnrm3rlem2  48978