Theorem clsss3 21956

Description: The closure of a subset of a topological space is included in the space. (Contributed by NM, 26-Feb-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
clsss3	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem clsss3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	clscld 21944	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))
3	1	cldss 21926	. 2 ⊢ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)
4	2, 3	syl 17	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3866  ∪ cuni 4819  ‘cfv 6380  Topctop 21790  Clsdccld 21913  clsccl 21915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-top 21791  df-cld 21916  df-cls 21918

This theorem is referenced by:  clsidm  21964  elcls2  21971  clsndisj  21972  ntrcls0  21973  neindisj  22014  lpval  22036  lpss  22039  clslp  22045  cnclsi  22169  cncls  22171  isnrm2  22255  lpcls  22261  perfcls  22262  regsep2  22273  clsconn  22327  conncompcld  22331  2ndcsep  22356  1stcelcls  22358  hausllycmp  22391  txcls  22501  ptclsg  22512  imasncls  22589  kqnrmlem1  22640  reghmph  22690  nrmhmph  22691  flimclslem  22881  flimsncls  22883  hauspwpwf1  22884  fclsopn  22911  fclscmpi  22926  cnextfun  22961  clssubg  23006  clsnsg  23007  snclseqg  23013  utop3cls  23149  qdensere  23667  clsocv  24147  relcmpcmet  24215  cncmet  24219  kur14lem3  32883  topbnd  34250  clsun  34254  opnregcld  34256  cldregopn  34257  heibor1lem  35704  qndenserrn  43515  iscnrm3rlem2  45908