MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clsss3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clsss3 21595
Description: The closure of a subset of a topological space is included in the space. (Contributed by NM, 26-Feb-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
clsss3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem clsss3
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . 3 𝑋 = 𝐽
21clscld 21583 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))
31cldss 21565 . 2 (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)
42, 3syl 17 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wss 3933   cuni 4830  cfv 6348  Topctop 21429  Clsdccld 21552  clsccl 21554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-top 21430  df-cld 21555  df-cls 21557
This theorem is referenced by:  clsidm  21603  elcls2  21610  clsndisj  21611  ntrcls0  21612  neindisj  21653  lpval  21675  lpss  21678  clslp  21684  cnclsi  21808  cncls  21810  isnrm2  21894  lpcls  21900  perfcls  21901  regsep2  21912  clsconn  21966  conncompcld  21970  2ndcsep  21995  1stcelcls  21997  hausllycmp  22030  txcls  22140  ptclsg  22151  imasncls  22228  kqnrmlem1  22279  reghmph  22329  nrmhmph  22330  flimclslem  22520  flimsncls  22522  hauspwpwf1  22523  fclsopn  22550  fclscmpi  22565  cnextfun  22600  clssubg  22644  clsnsg  22645  snclseqg  22651  utop3cls  22787  qdensere  23305  clsocv  23780  relcmpcmet  23848  cncmet  23852  kur14lem3  32352  topbnd  33569  clsun  33573  opnregcld  33575  cldregopn  33576  heibor1lem  34968  qndenserrn  42461
  Copyright terms: Public domain W3C validator