Theorem clsss3 23106

Description: The closure of a subset of a topological space is included in the space. (Contributed by NM, 26-Feb-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
clsss3	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem clsss3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	clscld 23094	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))
3	1	cldss 23076	. 2 ⊢ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)
4	2, 3	syl 17	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3902  ∪ cuni 4862  ‘cfv 6515  Topctop 22940  Clsdccld 23063  clsccl 23065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-top 22941  df-cld 23066  df-cls 23068

This theorem is referenced by:  clsidm  23114  elcls2  23121  clsndisj  23122  ntrcls0  23123  neindisj  23164  lpval  23186  lpss  23189  clslp  23195  cnclsi  23319  cncls  23321  isnrm2  23405  lpcls  23411  perfcls  23412  regsep2  23423  clsconn  23477  conncompcld  23481  2ndcsep  23506  1stcelcls  23508  hausllycmp  23541  txcls  23651  ptclsg  23662  imasncls  23739  kqnrmlem1  23790  reghmph  23840  nrmhmph  23841  flimclslem  24031  flimsncls  24033  hauspwpwf1  24034  fclsopn  24061  fclscmpi  24076  cnextfun  24111  clssubg  24156  clsnsg  24157  snclseqg  24163  utop3cls  24298  qdensere  24816  clsocv  25299  relcmpcmet  25367  cncmet  25371  kur14lem3  35518  topbnd  36644  clsun  36648  opnregcld  36650  cldregopn  36651  heibor1lem  38268  qndenserrn  46833  iscnrm3rlem2  49522