Theorem clsss3 23383

Description: The closure of a subset of a topological space is included in the space. (Contributed by NM, 26-Feb-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
clsss3	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem clsss3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	clscld 23371	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))
3	1	cldss 23353	. 2 ⊢ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)
4	2, 3	syl 18	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895  ∪ cuni 4866  ‘cfv 6539  Topctop 23217  Clsdccld 23340  clsccl 23342

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-top 23218  df-cld 23343  df-cls 23345

This theorem is used by:  clsidm  23391  elcls2  23398  clsndisj  23399  ntrcls0  23400  neindisj  23441  lpval  23463  lpss  23466  clslp  23472  cnclsi  23596  cncls  23598  isnrm2  23682  lpcls  23688  perfcls  23689  regsep2  23700  clsconn  23754  conncompcld  23758  2ndcsep  23784  1stcelcls  23786  hausllycmp  23819  txcls  23929  ptclsg  23940  imasncls  24017  kqnrmlem1  24068  reghmph  24118  nrmhmph  24119  flimclslem  24309  flimsncls  24311  hauspwpwf1  24312  fclsopn  24339  fclscmpi  24354  cnextfun  24389  clssubg  24434  clsnsg  24435  snclseqg  24441  utop3cls  24576  qdensere  25094  clsocv  25577  relcmpcmet  25645  cncmet  25649  kur14lem3  36060  topbnd  37205  clsun  37209  opnregcld  37211  cldregopn  37212  heibor1lem  38837  qndenserrn  47403  iscnrm3rlem2  50149