MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clsss3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clsss3 21602
Description: The closure of a subset of a topological space is included in the space. (Contributed by NM, 26-Feb-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
clsss3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem clsss3
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . 3 𝑋 = 𝐽
21clscld 21590 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))
31cldss 21572 . 2 (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)
42, 3syl 17 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wss 3940   cuni 4837  cfv 6354  Topctop 21436  Clsdccld 21559  clsccl 21561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-top 21437  df-cld 21562  df-cls 21564
This theorem is referenced by:  clsidm  21610  elcls2  21617  clsndisj  21618  ntrcls0  21619  neindisj  21660  lpval  21682  lpss  21685  clslp  21691  cnclsi  21815  cncls  21817  isnrm2  21901  lpcls  21907  perfcls  21908  regsep2  21919  clsconn  21973  conncompcld  21977  2ndcsep  22002  1stcelcls  22004  hausllycmp  22037  txcls  22147  ptclsg  22158  imasncls  22235  kqnrmlem1  22286  reghmph  22336  nrmhmph  22337  flimclslem  22527  flimsncls  22529  hauspwpwf1  22530  fclsopn  22557  fclscmpi  22572  cnextfun  22607  clssubg  22651  clsnsg  22652  snclseqg  22658  utop3cls  22794  qdensere  23312  clsocv  23787  relcmpcmet  23855  cncmet  23859  kur14lem3  32358  topbnd  33575  clsun  33579  opnregcld  33581  cldregopn  33582  heibor1lem  34974  qndenserrn  42469
  Copyright terms: Public domain W3C validator