Theorem clsss3 22555

Description: The closure of a subset of a topological space is included in the space. (Contributed by NM, 26-Feb-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
clsss3	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem clsss3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	clscld 22543	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))
3	1	cldss 22525	. 2 ⊢ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)
4	2, 3	syl 17	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3948  ∪ cuni 4908  ‘cfv 6541  Topctop 22387  Clsdccld 22512  clsccl 22514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-top 22388  df-cld 22515  df-cls 22517

This theorem is referenced by:  clsidm  22563  elcls2  22570  clsndisj  22571  ntrcls0  22572  neindisj  22613  lpval  22635  lpss  22638  clslp  22644  cnclsi  22768  cncls  22770  isnrm2  22854  lpcls  22860  perfcls  22861  regsep2  22872  clsconn  22926  conncompcld  22930  2ndcsep  22955  1stcelcls  22957  hausllycmp  22990  txcls  23100  ptclsg  23111  imasncls  23188  kqnrmlem1  23239  reghmph  23289  nrmhmph  23290  flimclslem  23480  flimsncls  23482  hauspwpwf1  23483  fclsopn  23510  fclscmpi  23525  cnextfun  23560  clssubg  23605  clsnsg  23606  snclseqg  23612  utop3cls  23748  qdensere  24278  clsocv  24759  relcmpcmet  24827  cncmet  24831  kur14lem3  34188  topbnd  35198  clsun  35202  opnregcld  35204  cldregopn  35205  heibor1lem  36666  qndenserrn  45002  iscnrm3rlem2  47528