Theorem clsss3 22977

Description: The closure of a subset of a topological space is included in the space. (Contributed by NM, 26-Feb-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
clsss3	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem clsss3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	clscld 22965	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))
3	1	cldss 22947	. 2 ⊢ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)
4	2, 3	syl 17	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3898  ∪ cuni 4860  ‘cfv 6488  Topctop 22811  Clsdccld 22934  clsccl 22936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-top 22812  df-cld 22937  df-cls 22939

This theorem is referenced by:  clsidm  22985  elcls2  22992  clsndisj  22993  ntrcls0  22994  neindisj  23035  lpval  23057  lpss  23060  clslp  23066  cnclsi  23190  cncls  23192  isnrm2  23276  lpcls  23282  perfcls  23283  regsep2  23294  clsconn  23348  conncompcld  23352  2ndcsep  23377  1stcelcls  23379  hausllycmp  23412  txcls  23522  ptclsg  23533  imasncls  23610  kqnrmlem1  23661  reghmph  23711  nrmhmph  23712  flimclslem  23902  flimsncls  23904  hauspwpwf1  23905  fclsopn  23932  fclscmpi  23947  cnextfun  23982  clssubg  24027  clsnsg  24028  snclseqg  24034  utop3cls  24169  qdensere  24687  clsocv  25180  relcmpcmet  25248  cncmet  25252  kur14lem3  35275  topbnd  36391  clsun  36395  opnregcld  36397  cldregopn  36398  heibor1lem  37872  qndenserrn  46424  iscnrm3rlem2  49068