Theorem clsss3 23068

Description: The closure of a subset of a topological space is included in the space. (Contributed by NM, 26-Feb-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
clsss3	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem clsss3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	clscld 23056	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))
3	1	cldss 23038	. 2 ⊢ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)
4	2, 3	syl 17	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3950  ∪ cuni 4906  ‘cfv 6560  Topctop 22900  Clsdccld 23025  clsccl 23027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-top 22901  df-cld 23028  df-cls 23030

This theorem is referenced by:  clsidm  23076  elcls2  23083  clsndisj  23084  ntrcls0  23085  neindisj  23126  lpval  23148  lpss  23151  clslp  23157  cnclsi  23281  cncls  23283  isnrm2  23367  lpcls  23373  perfcls  23374  regsep2  23385  clsconn  23439  conncompcld  23443  2ndcsep  23468  1stcelcls  23470  hausllycmp  23503  txcls  23613  ptclsg  23624  imasncls  23701  kqnrmlem1  23752  reghmph  23802  nrmhmph  23803  flimclslem  23993  flimsncls  23995  hauspwpwf1  23996  fclsopn  24023  fclscmpi  24038  cnextfun  24073  clssubg  24118  clsnsg  24119  snclseqg  24125  utop3cls  24261  qdensere  24791  clsocv  25285  relcmpcmet  25353  cncmet  25357  kur14lem3  35214  topbnd  36326  clsun  36330  opnregcld  36332  cldregopn  36333  heibor1lem  37817  qndenserrn  46319  iscnrm3rlem2  48845