MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leord1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leord1 10809
Description: Infer an ordering relation from a proof in only one direction. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ltord.1 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝐵)
ltord.2 (𝑥 = 𝐶𝐴 = 𝑀)
ltord.3 (𝑥 = 𝐷𝐴 = 𝑁)
ltord.4 𝑆 ⊆ ℝ
ltord.5 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
ltord.6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 < 𝑦𝐴 < 𝐵))
Assertion
Ref Expression
leord1 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐶𝐷𝑀𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem leord1
StepHypRef Expression
1 ltord.1 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝐵)
2 ltord.3 . . . . 5 (𝑥 = 𝐷𝐴 = 𝑁)
3 ltord.2 . . . . 5 (𝑥 = 𝐶𝐴 = 𝑀)
4 ltord.4 . . . . 5 𝑆 ⊆ ℝ
5 ltord.5 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 ltord.6 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 < 𝑦𝐴 < 𝐵))
71, 2, 3, 4, 5, 6ltord1 10808 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐷𝑆𝐶𝑆)) → (𝐷 < 𝐶𝑁 < 𝑀))
87ancom2s 640 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐷 < 𝐶𝑁 < 𝑀))
98notbid 309 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (¬ 𝐷 < 𝐶 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
104sseli 3757 . . . 4 (𝐶𝑆𝐶 ∈ ℝ)
114sseli 3757 . . . 4 (𝐷𝑆𝐷 ∈ ℝ)
12 lenlt 10370 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶𝐷 ↔ ¬ 𝐷 < 𝐶))
1310, 11, 12syl2an 589 . . 3 ((𝐶𝑆𝐷𝑆) → (𝐶𝐷 ↔ ¬ 𝐷 < 𝐶))
1413adantl 473 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐶𝐷 ↔ ¬ 𝐷 < 𝐶))
155ralrimiva 3113 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ)
163eleq1d 2829 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑀 ∈ ℝ))
1716rspccva 3460 . . . . 5 ((∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
1815, 17sylan 575 . . . 4 ((𝜑𝐶𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
1918adantrr 708 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → 𝑀 ∈ ℝ)
202eleq1d 2829 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐷 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑁 ∈ ℝ))
2120rspccva 3460 . . . . 5 ((∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
2215, 21sylan 575 . . . 4 ((𝜑𝐷𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
2322adantrl 707 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → 𝑁 ∈ ℝ)
2419, 23lenltd 10437 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝑀𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
259, 14, 243bitr4d 302 1 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐶𝐷𝑀𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  wss 3732   class class class wbr 4809  cr 10188   < clt 10328  cle 10329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-resscn 10246  ax-pre-lttri 10263
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334
This theorem is referenced by:  eqord1  10810  leord2  10812  lermxnn0  38194  lermy  38199
  Copyright terms: Public domain W3C validator