MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leord1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leord1 11790
Description: Infer an ordering relation from a proof in only one direction. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ltord.1 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝐵)
ltord.2 (𝑥 = 𝐶𝐴 = 𝑀)
ltord.3 (𝑥 = 𝐷𝐴 = 𝑁)
ltord.4 𝑆 ⊆ ℝ
ltord.5 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
ltord.6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 < 𝑦𝐴 < 𝐵))
Assertion
Ref Expression
leord1 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐶𝐷𝑀𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem leord1
StepHypRef Expression
1 ltord.1 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝐵)
2 ltord.3 . . . . 5 (𝑥 = 𝐷𝐴 = 𝑁)
3 ltord.2 . . . . 5 (𝑥 = 𝐶𝐴 = 𝑀)
4 ltord.4 . . . . 5 𝑆 ⊆ ℝ
5 ltord.5 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 ltord.6 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 < 𝑦𝐴 < 𝐵))
71, 2, 3, 4, 5, 6ltord1 11789 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐷𝑆𝐶𝑆)) → (𝐷 < 𝐶𝑁 < 𝑀))
87ancom2s 650 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐷 < 𝐶𝑁 < 𝑀))
98notbid 318 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (¬ 𝐷 < 𝐶 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
104sseli 3979 . . . 4 (𝐶𝑆𝐶 ∈ ℝ)
114sseli 3979 . . . 4 (𝐷𝑆𝐷 ∈ ℝ)
12 lenlt 11339 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶𝐷 ↔ ¬ 𝐷 < 𝐶))
1310, 11, 12syl2an 596 . . 3 ((𝐶𝑆𝐷𝑆) → (𝐶𝐷 ↔ ¬ 𝐷 < 𝐶))
1413adantl 481 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐶𝐷 ↔ ¬ 𝐷 < 𝐶))
155ralrimiva 3146 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ)
163eleq1d 2826 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑀 ∈ ℝ))
1716rspccva 3621 . . . . 5 ((∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
1815, 17sylan 580 . . . 4 ((𝜑𝐶𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
1918adantrr 717 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → 𝑀 ∈ ℝ)
202eleq1d 2826 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐷 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑁 ∈ ℝ))
2120rspccva 3621 . . . . 5 ((∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
2215, 21sylan 580 . . . 4 ((𝜑𝐷𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
2322adantrl 716 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → 𝑁 ∈ ℝ)
2419, 23lenltd 11407 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝑀𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
259, 14, 243bitr4d 311 1 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐶𝐷𝑀𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wss 3951   class class class wbr 5143  cr 11154   < clt 11295  cle 11296
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301
This theorem is referenced by:  eqord1  11791  leord2  11793  lermxnn0  42962  lermy  42967
  Copyright terms: Public domain W3C validator