Theorem ltord1 11690

Description: Infer an ordering relation from a proof in only one direction. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltord.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐴 = 𝐵)
ltord.2	⊢ (𝑥 = 𝐶 → 𝐴 = 𝑀)
ltord.3	⊢ (𝑥 = 𝐷 → 𝐴 = 𝑁)
ltord.4	⊢ 𝑆 ⊆ ℝ
ltord.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
ltord.6	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 < 𝑦 → 𝐴 < 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
ltord1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝐶 < 𝐷 ↔ 𝑀 < 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem ltord1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltord.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐴 = 𝐵)
2		ltord.2	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → 𝐴 = 𝑀)
3		ltord.3	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → 𝐴 = 𝑁)
4		ltord.4	. . 3 ⊢ 𝑆 ⊆ ℝ
5		ltord.5	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		ltord.6	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 < 𝑦 → 𝐴 < 𝐵))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ltordlem 11689	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝐶 < 𝐷 → 𝑀 < 𝑁))
8		eqeq1 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 = 𝐷 ↔ 𝐶 = 𝐷))
9	2	eqeq1d 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 = 𝑁 ↔ 𝑀 = 𝑁))
10	8, 9	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝑥 = 𝐷 → 𝐴 = 𝑁) ↔ (𝐶 = 𝐷 → 𝑀 = 𝑁)))
11	10, 3	vtoclg 3526	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑆 → (𝐶 = 𝐷 → 𝑀 = 𝑁))
12	11	ad2antrl 726	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝐶 = 𝐷 → 𝑀 = 𝑁))
13	1, 3, 2, 4, 5, 6	ltordlem 11689	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆)) → (𝐷 < 𝐶 → 𝑁 < 𝑀))
14	13	ancom2s 648	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝐷 < 𝐶 → 𝑁 < 𝑀))
15	12, 14	orim12d 963	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → ((𝐶 = 𝐷 ∨ 𝐷 < 𝐶) → (𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀)))
16	15	con3d 152	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (¬ (𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀) → ¬ (𝐶 = 𝐷 ∨ 𝐷 < 𝐶)))
17	5	ralrimiva 3139	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ∈ ℝ)
18	2	eleq1d 2817	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑀 ∈ ℝ))
19	18	rspccva 3581	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
20	17, 19	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
21	3	eleq1d 2817	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑁 ∈ ℝ))
22	21	rspccva 3581	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
23	17, 22	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
24	20, 23	anim12dan 619	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
25		axlttri 11235	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ ¬ (𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀)))
26	24, 25	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝑀 < 𝑁 ↔ ¬ (𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀)))
27	4	sseli 3943	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑆 → 𝐶 ∈ ℝ)
28	4	sseli 3943	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑆 → 𝐷 ∈ ℝ)
29		axlttri 11235	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐷 ↔ ¬ (𝐶 = 𝐷 ∨ 𝐷 < 𝐶)))
30	27, 28, 29	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆) → (𝐶 < 𝐷 ↔ ¬ (𝐶 = 𝐷 ∨ 𝐷 < 𝐶)))
31	30	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝐶 < 𝐷 ↔ ¬ (𝐶 = 𝐷 ∨ 𝐷 < 𝐶)))
32	16, 26, 31	3imtr4d 293	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝑀 < 𝑁 → 𝐶 < 𝐷))
33	7, 32	impbid 211	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝐶 < 𝐷 ↔ 𝑀 < 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3060   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5110  ℝcr 11059   < clt 11198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11117  ax-pre-lttri 11134

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-ltxr 11203

This theorem is referenced by:  leord1  11691  ltord2  11693  rpexpmord  14083  ltexp2  14085  eflt  16010  tanord1  25930  tanord  25931  monotuz  41323  monotoddzzfi  41324