MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltord1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltord1 11159
Description: Infer an ordering relation from a proof in only one direction. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ltord.1 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝐵)
ltord.2 (𝑥 = 𝐶𝐴 = 𝑀)
ltord.3 (𝑥 = 𝐷𝐴 = 𝑁)
ltord.4 𝑆 ⊆ ℝ
ltord.5 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
ltord.6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 < 𝑦𝐴 < 𝐵))
Assertion
Ref Expression
ltord1 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐶 < 𝐷𝑀 < 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem ltord1
StepHypRef Expression
1 ltord.1 . . 3 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝐵)
2 ltord.2 . . 3 (𝑥 = 𝐶𝐴 = 𝑀)
3 ltord.3 . . 3 (𝑥 = 𝐷𝐴 = 𝑁)
4 ltord.4 . . 3 𝑆 ⊆ ℝ
5 ltord.5 . . 3 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 ltord.6 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 < 𝑦𝐴 < 𝐵))
71, 2, 3, 4, 5, 6ltordlem 11158 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐶 < 𝐷𝑀 < 𝑁))
8 eqeq1 2805 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 = 𝐷𝐶 = 𝐷))
92eqeq1d 2803 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 = 𝑁𝑀 = 𝑁))
108, 9imbi12d 348 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐶 → ((𝑥 = 𝐷𝐴 = 𝑁) ↔ (𝐶 = 𝐷𝑀 = 𝑁)))
1110, 3vtoclg 3518 . . . . . 6 (𝐶𝑆 → (𝐶 = 𝐷𝑀 = 𝑁))
1211ad2antrl 727 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐶 = 𝐷𝑀 = 𝑁))
131, 3, 2, 4, 5, 6ltordlem 11158 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐷𝑆𝐶𝑆)) → (𝐷 < 𝐶𝑁 < 𝑀))
1413ancom2s 649 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐷 < 𝐶𝑁 < 𝑀))
1512, 14orim12d 962 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → ((𝐶 = 𝐷𝐷 < 𝐶) → (𝑀 = 𝑁𝑁 < 𝑀)))
1615con3d 155 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (¬ (𝑀 = 𝑁𝑁 < 𝑀) → ¬ (𝐶 = 𝐷𝐷 < 𝐶)))
175ralrimiva 3152 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ)
182eleq1d 2877 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑀 ∈ ℝ))
1918rspccva 3573 . . . . . 6 ((∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
2017, 19sylan 583 . . . . 5 ((𝜑𝐶𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
213eleq1d 2877 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐷 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑁 ∈ ℝ))
2221rspccva 3573 . . . . . 6 ((∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
2317, 22sylan 583 . . . . 5 ((𝜑𝐷𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
2420, 23anim12dan 621 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
25 axlttri 10705 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ ¬ (𝑀 = 𝑁𝑁 < 𝑀)))
2624, 25syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝑀 < 𝑁 ↔ ¬ (𝑀 = 𝑁𝑁 < 𝑀)))
274sseli 3914 . . . . 5 (𝐶𝑆𝐶 ∈ ℝ)
284sseli 3914 . . . . 5 (𝐷𝑆𝐷 ∈ ℝ)
29 axlttri 10705 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐷 ↔ ¬ (𝐶 = 𝐷𝐷 < 𝐶)))
3027, 28, 29syl2an 598 . . . 4 ((𝐶𝑆𝐷𝑆) → (𝐶 < 𝐷 ↔ ¬ (𝐶 = 𝐷𝐷 < 𝐶)))
3130adantl 485 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐶 < 𝐷 ↔ ¬ (𝐶 = 𝐷𝐷 < 𝐶)))
3216, 26, 313imtr4d 297 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝑀 < 𝑁𝐶 < 𝐷))
337, 32impbid 215 1 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐶 < 𝐷𝑀 < 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2112  wral 3109  wss 3884   class class class wbr 5033  cr 10529   < clt 10668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-resscn 10587  ax-pre-lttri 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-ltxr 10673
This theorem is referenced by:  leord1  11160  ltord2  11162  rpexpmord  13532  ltexp2  13534  eflt  15466  tanord1  25133  tanord  25134  monotuz  39879  monotoddzzfi  39880
  Copyright terms: Public domain W3C validator