Theorem ltord1 11714

Description: Infer an ordering relation from a proof in only one direction. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltord.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐴 = 𝐵)
ltord.2	⊢ (𝑥 = 𝐶 → 𝐴 = 𝑀)
ltord.3	⊢ (𝑥 = 𝐷 → 𝐴 = 𝑁)
ltord.4	⊢ 𝑆 ⊆ ℝ
ltord.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
ltord.6	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 < 𝑦 → 𝐴 < 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
ltord1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝐶 < 𝐷 ↔ 𝑀 < 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem ltord1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltord.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐴 = 𝐵)
2		ltord.2	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → 𝐴 = 𝑀)
3		ltord.3	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → 𝐴 = 𝑁)
4		ltord.4	. . 3 ⊢ 𝑆 ⊆ ℝ
5		ltord.5	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		ltord.6	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 < 𝑦 → 𝐴 < 𝐵))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ltordlem 11713	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝐶 < 𝐷 → 𝑀 < 𝑁))
8		eqeq1 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 = 𝐷 ↔ 𝐶 = 𝐷))
9	2	eqeq1d 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 = 𝑁 ↔ 𝑀 = 𝑁))
10	8, 9	imbi12d 346	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝑥 = 𝐷 → 𝐴 = 𝑁) ↔ (𝐶 = 𝐷 → 𝑀 = 𝑁)))
11	10, 3	vtoclg 3523	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑆 → (𝐶 = 𝐷 → 𝑀 = 𝑁))
12	11	ad2antrl 738	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝐶 = 𝐷 → 𝑀 = 𝑁))
13	1, 3, 2, 4, 5, 6	ltordlem 11713	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆)) → (𝐷 < 𝐶 → 𝑁 < 𝑀))
14	13	ancom2s 660	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝐷 < 𝐶 → 𝑁 < 𝑀))
15	12, 14	orim12d 977	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → ((𝐶 = 𝐷 ∨ 𝐷 < 𝐶) → (𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀)))
16	15	con3d 152	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (¬ (𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀) → ¬ (𝐶 = 𝐷 ∨ 𝐷 < 𝐶)))
17	5	ralrimiva 3155	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ∈ ℝ)
18	2	eleq1d 2848	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑀 ∈ ℝ))
19	18	rspccva 3581	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
20	17, 19	sylan 589	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
21	3	eleq1d 2848	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑁 ∈ ℝ))
22	21	rspccva 3581	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
23	17, 22	sylan 589	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
24	20, 23	anim12dan 628	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
25		axlttri 11255	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ ¬ (𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀)))
26	24, 25	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝑀 < 𝑁 ↔ ¬ (𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀)))
27	4	sseli 3933	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑆 → 𝐶 ∈ ℝ)
28	4	sseli 3933	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑆 → 𝐷 ∈ ℝ)
29		axlttri 11255	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐷 ↔ ¬ (𝐶 = 𝐷 ∨ 𝐷 < 𝐶)))
30	27, 28, 29	syl2an 605	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆) → (𝐶 < 𝐷 ↔ ¬ (𝐶 = 𝐷 ∨ 𝐷 < 𝐶)))
31	30	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝐶 < 𝐷 ↔ ¬ (𝐶 = 𝐷 ∨ 𝐷 < 𝐶)))
32	16, 26, 31	3imtr4d 296	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝑀 < 𝑁 → 𝐶 < 𝐷))
33	7, 32	impbid 214	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝐶 < 𝐷 ↔ 𝑀 < 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ∀wral 3077   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5101  ℝcr 11073   < clt 11217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-resscn 11131  ax-pre-lttri 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-er 8679  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-ltxr 11222

This theorem is referenced by:  leord1  11715  ltord2  11717  rpexpmord  14182  ltexp2  14184  eflt  16150  tanord1  26603  tanord  26604  monotuz  43519  monotoddzzfi  43520