MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltord1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltord1 10846
Description: Infer an ordering relation from a proof in only one direction. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ltord.1 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝐵)
ltord.2 (𝑥 = 𝐶𝐴 = 𝑀)
ltord.3 (𝑥 = 𝐷𝐴 = 𝑁)
ltord.4 𝑆 ⊆ ℝ
ltord.5 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
ltord.6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 < 𝑦𝐴 < 𝐵))
Assertion
Ref Expression
ltord1 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐶 < 𝐷𝑀 < 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem ltord1
StepHypRef Expression
1 ltord.1 . . 3 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝐵)
2 ltord.2 . . 3 (𝑥 = 𝐶𝐴 = 𝑀)
3 ltord.3 . . 3 (𝑥 = 𝐷𝐴 = 𝑁)
4 ltord.4 . . 3 𝑆 ⊆ ℝ
5 ltord.5 . . 3 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 ltord.6 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 < 𝑦𝐴 < 𝐵))
71, 2, 3, 4, 5, 6ltordlem 10845 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐶 < 𝐷𝑀 < 𝑁))
8 eqeq1 2803 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 = 𝐷𝐶 = 𝐷))
92eqeq1d 2801 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 = 𝑁𝑀 = 𝑁))
108, 9imbi12d 336 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐶 → ((𝑥 = 𝐷𝐴 = 𝑁) ↔ (𝐶 = 𝐷𝑀 = 𝑁)))
1110, 3vtoclg 3453 . . . . . 6 (𝐶𝑆 → (𝐶 = 𝐷𝑀 = 𝑁))
1211ad2antrl 720 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐶 = 𝐷𝑀 = 𝑁))
131, 3, 2, 4, 5, 6ltordlem 10845 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐷𝑆𝐶𝑆)) → (𝐷 < 𝐶𝑁 < 𝑀))
1413ancom2s 641 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐷 < 𝐶𝑁 < 𝑀))
1512, 14orim12d 988 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → ((𝐶 = 𝐷𝐷 < 𝐶) → (𝑀 = 𝑁𝑁 < 𝑀)))
1615con3d 150 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (¬ (𝑀 = 𝑁𝑁 < 𝑀) → ¬ (𝐶 = 𝐷𝐷 < 𝐶)))
175ralrimiva 3147 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ)
182eleq1d 2863 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑀 ∈ ℝ))
1918rspccva 3496 . . . . . 6 ((∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
2017, 19sylan 576 . . . . 5 ((𝜑𝐶𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
213eleq1d 2863 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐷 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑁 ∈ ℝ))
2221rspccva 3496 . . . . . 6 ((∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
2317, 22sylan 576 . . . . 5 ((𝜑𝐷𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
2420, 23anim12dan 613 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
25 axlttri 10399 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ ¬ (𝑀 = 𝑁𝑁 < 𝑀)))
2624, 25syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝑀 < 𝑁 ↔ ¬ (𝑀 = 𝑁𝑁 < 𝑀)))
274sseli 3794 . . . . 5 (𝐶𝑆𝐶 ∈ ℝ)
284sseli 3794 . . . . 5 (𝐷𝑆𝐷 ∈ ℝ)
29 axlttri 10399 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐷 ↔ ¬ (𝐶 = 𝐷𝐷 < 𝐶)))
3027, 28, 29syl2an 590 . . . 4 ((𝐶𝑆𝐷𝑆) → (𝐶 < 𝐷 ↔ ¬ (𝐶 = 𝐷𝐷 < 𝐶)))
3130adantl 474 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐶 < 𝐷 ↔ ¬ (𝐶 = 𝐷𝐷 < 𝐶)))
3216, 26, 313imtr4d 286 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝑀 < 𝑁𝐶 < 𝐷))
337, 32impbid 204 1 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐶 < 𝐷𝑀 < 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 385  wo 874   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3089  wss 3769   class class class wbr 4843  cr 10223   < clt 10363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-resscn 10281  ax-pre-lttri 10298
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-ltxr 10368
This theorem is referenced by:  leord1  10847  ltord2  10849  ltexp2  13168  eflt  15183  tanord1  24625  tanord  24626  monotuz  38291  monotoddzzfi  38292  rpexpmord  38298
  Copyright terms: Public domain W3C validator