Theorem ltord1 11711

Description: Infer an ordering relation from a proof in only one direction. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltord.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐴 = 𝐵)
ltord.2	⊢ (𝑥 = 𝐶 → 𝐴 = 𝑀)
ltord.3	⊢ (𝑥 = 𝐷 → 𝐴 = 𝑁)
ltord.4	⊢ 𝑆 ⊆ ℝ
ltord.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
ltord.6	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 < 𝑦 → 𝐴 < 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
ltord1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝐶 < 𝐷 ↔ 𝑀 < 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem ltord1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltord.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐴 = 𝐵)
2		ltord.2	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → 𝐴 = 𝑀)
3		ltord.3	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → 𝐴 = 𝑁)
4		ltord.4	. . 3 ⊢ 𝑆 ⊆ ℝ
5		ltord.5	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		ltord.6	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 < 𝑦 → 𝐴 < 𝐵))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ltordlem 11710	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝐶 < 𝐷 → 𝑀 < 𝑁))
8		eqeq1 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 = 𝐷 ↔ 𝐶 = 𝐷))
9	2	eqeq1d 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 = 𝑁 ↔ 𝑀 = 𝑁))
10	8, 9	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝑥 = 𝐷 → 𝐴 = 𝑁) ↔ (𝐶 = 𝐷 → 𝑀 = 𝑁)))
11	10, 3	vtoclg 3523	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑆 → (𝐶 = 𝐷 → 𝑀 = 𝑁))
12	11	ad2antrl 728	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝐶 = 𝐷 → 𝑀 = 𝑁))
13	1, 3, 2, 4, 5, 6	ltordlem 11710	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆)) → (𝐷 < 𝐶 → 𝑁 < 𝑀))
14	13	ancom2s 650	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝐷 < 𝐶 → 𝑁 < 𝑀))
15	12, 14	orim12d 966	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → ((𝐶 = 𝐷 ∨ 𝐷 < 𝐶) → (𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀)))
16	15	con3d 152	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (¬ (𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀) → ¬ (𝐶 = 𝐷 ∨ 𝐷 < 𝐶)))
17	5	ralrimiva 3126	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ∈ ℝ)
18	2	eleq1d 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑀 ∈ ℝ))
19	18	rspccva 3590	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
20	17, 19	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
21	3	eleq1d 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑁 ∈ ℝ))
22	21	rspccva 3590	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
23	17, 22	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
24	20, 23	anim12dan 619	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
25		axlttri 11252	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ ¬ (𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀)))
26	24, 25	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝑀 < 𝑁 ↔ ¬ (𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀)))
27	4	sseli 3945	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑆 → 𝐶 ∈ ℝ)
28	4	sseli 3945	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑆 → 𝐷 ∈ ℝ)
29		axlttri 11252	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐷 ↔ ¬ (𝐶 = 𝐷 ∨ 𝐷 < 𝐶)))
30	27, 28, 29	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆) → (𝐶 < 𝐷 ↔ ¬ (𝐶 = 𝐷 ∨ 𝐷 < 𝐶)))
31	30	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝐶 < 𝐷 ↔ ¬ (𝐶 = 𝐷 ∨ 𝐷 < 𝐶)))
32	16, 26, 31	3imtr4d 294	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝑀 < 𝑁 → 𝐶 < 𝐷))
33	7, 32	impbid 212	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝐶 < 𝐷 ↔ 𝑀 < 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045   ⊆ wss 3917   class class class wbr 5110  ℝcr 11074   < clt 11215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-pre-lttri 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220

This theorem is referenced by:  leord1  11712  ltord2  11714  rpexpmord  14140  ltexp2  14142  eflt  16092  tanord1  26453  tanord  26454  monotuz  42937  monotoddzzfi  42938