MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltord1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltord1 11816
Description: Infer an ordering relation from a proof in only one direction. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ltord.1 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝐵)
ltord.2 (𝑥 = 𝐶𝐴 = 𝑀)
ltord.3 (𝑥 = 𝐷𝐴 = 𝑁)
ltord.4 𝑆 ⊆ ℝ
ltord.5 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
ltord.6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 < 𝑦𝐴 < 𝐵))
Assertion
Ref Expression
ltord1 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐶 < 𝐷𝑀 < 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem ltord1
StepHypRef Expression
1 ltord.1 . . 3 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝐵)
2 ltord.2 . . 3 (𝑥 = 𝐶𝐴 = 𝑀)
3 ltord.3 . . 3 (𝑥 = 𝐷𝐴 = 𝑁)
4 ltord.4 . . 3 𝑆 ⊆ ℝ
5 ltord.5 . . 3 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 ltord.6 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 < 𝑦𝐴 < 𝐵))
71, 2, 3, 4, 5, 6ltordlem 11815 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐶 < 𝐷𝑀 < 𝑁))
8 eqeq1 2744 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 = 𝐷𝐶 = 𝐷))
92eqeq1d 2742 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 = 𝑁𝑀 = 𝑁))
108, 9imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐶 → ((𝑥 = 𝐷𝐴 = 𝑁) ↔ (𝐶 = 𝐷𝑀 = 𝑁)))
1110, 3vtoclg 3566 . . . . . 6 (𝐶𝑆 → (𝐶 = 𝐷𝑀 = 𝑁))
1211ad2antrl 727 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐶 = 𝐷𝑀 = 𝑁))
131, 3, 2, 4, 5, 6ltordlem 11815 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐷𝑆𝐶𝑆)) → (𝐷 < 𝐶𝑁 < 𝑀))
1413ancom2s 649 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐷 < 𝐶𝑁 < 𝑀))
1512, 14orim12d 965 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → ((𝐶 = 𝐷𝐷 < 𝐶) → (𝑀 = 𝑁𝑁 < 𝑀)))
1615con3d 152 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (¬ (𝑀 = 𝑁𝑁 < 𝑀) → ¬ (𝐶 = 𝐷𝐷 < 𝐶)))
175ralrimiva 3152 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ)
182eleq1d 2829 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑀 ∈ ℝ))
1918rspccva 3634 . . . . . 6 ((∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
2017, 19sylan 579 . . . . 5 ((𝜑𝐶𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
213eleq1d 2829 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐷 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑁 ∈ ℝ))
2221rspccva 3634 . . . . . 6 ((∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
2317, 22sylan 579 . . . . 5 ((𝜑𝐷𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
2420, 23anim12dan 618 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
25 axlttri 11361 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ ¬ (𝑀 = 𝑁𝑁 < 𝑀)))
2624, 25syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝑀 < 𝑁 ↔ ¬ (𝑀 = 𝑁𝑁 < 𝑀)))
274sseli 4004 . . . . 5 (𝐶𝑆𝐶 ∈ ℝ)
284sseli 4004 . . . . 5 (𝐷𝑆𝐷 ∈ ℝ)
29 axlttri 11361 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐷 ↔ ¬ (𝐶 = 𝐷𝐷 < 𝐶)))
3027, 28, 29syl2an 595 . . . 4 ((𝐶𝑆𝐷𝑆) → (𝐶 < 𝐷 ↔ ¬ (𝐶 = 𝐷𝐷 < 𝐶)))
3130adantl 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐶 < 𝐷 ↔ ¬ (𝐶 = 𝐷𝐷 < 𝐶)))
3216, 26, 313imtr4d 294 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝑀 < 𝑁𝐶 < 𝐷))
337, 32impbid 212 1 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐶 < 𝐷𝑀 < 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 846   = wceq 1537  wcel 2108  wral 3067  wss 3976   class class class wbr 5166  cr 11183   < clt 11324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-pre-lttri 11258
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329
This theorem is referenced by:  leord1  11817  ltord2  11819  rpexpmord  14218  ltexp2  14220  eflt  16165  tanord1  26597  tanord  26598  monotuz  42898  monotoddzzfi  42899
  Copyright terms: Public domain W3C validator