Theorem ltord1 11675

Description: Infer an ordering relation from a proof in only one direction. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltord.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐴 = 𝐵)
ltord.2	⊢ (𝑥 = 𝐶 → 𝐴 = 𝑀)
ltord.3	⊢ (𝑥 = 𝐷 → 𝐴 = 𝑁)
ltord.4	⊢ 𝑆 ⊆ ℝ
ltord.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
ltord.6	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 < 𝑦 → 𝐴 < 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
ltord1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝐶 < 𝐷 ↔ 𝑀 < 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem ltord1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltord.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐴 = 𝐵)
2		ltord.2	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → 𝐴 = 𝑀)
3		ltord.3	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → 𝐴 = 𝑁)
4		ltord.4	. . 3 ⊢ 𝑆 ⊆ ℝ
5		ltord.5	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		ltord.6	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 < 𝑦 → 𝐴 < 𝐵))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ltordlem 11674	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝐶 < 𝐷 → 𝑀 < 𝑁))
8		eqeq1 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 = 𝐷 ↔ 𝐶 = 𝐷))
9	2	eqeq1d 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 = 𝑁 ↔ 𝑀 = 𝑁))
10	8, 9	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝑥 = 𝐷 → 𝐴 = 𝑁) ↔ (𝐶 = 𝐷 → 𝑀 = 𝑁)))
11	10, 3	vtoclg 3513	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑆 → (𝐶 = 𝐷 → 𝑀 = 𝑁))
12	11	ad2antrl 729	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝐶 = 𝐷 → 𝑀 = 𝑁))
13	1, 3, 2, 4, 5, 6	ltordlem 11674	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆)) → (𝐷 < 𝐶 → 𝑁 < 𝑀))
14	13	ancom2s 651	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝐷 < 𝐶 → 𝑁 < 𝑀))
15	12, 14	orim12d 967	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → ((𝐶 = 𝐷 ∨ 𝐷 < 𝐶) → (𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀)))
16	15	con3d 152	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (¬ (𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀) → ¬ (𝐶 = 𝐷 ∨ 𝐷 < 𝐶)))
17	5	ralrimiva 3130	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ∈ ℝ)
18	2	eleq1d 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑀 ∈ ℝ))
19	18	rspccva 3577	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
20	17, 19	sylan 581	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
21	3	eleq1d 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑁 ∈ ℝ))
22	21	rspccva 3577	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
23	17, 22	sylan 581	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
24	20, 23	anim12dan 620	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
25		axlttri 11216	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ ¬ (𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀)))
26	24, 25	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝑀 < 𝑁 ↔ ¬ (𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀)))
27	4	sseli 3931	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑆 → 𝐶 ∈ ℝ)
28	4	sseli 3931	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑆 → 𝐷 ∈ ℝ)
29		axlttri 11216	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐷 ↔ ¬ (𝐶 = 𝐷 ∨ 𝐷 < 𝐶)))
30	27, 28, 29	syl2an 597	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆) → (𝐶 < 𝐷 ↔ ¬ (𝐶 = 𝐷 ∨ 𝐷 < 𝐶)))
31	30	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝐶 < 𝐷 ↔ ¬ (𝐶 = 𝐷 ∨ 𝐷 < 𝐶)))
32	16, 26, 31	3imtr4d 294	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝑀 < 𝑁 → 𝐶 < 𝐷))
33	7, 32	impbid 212	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝐶 < 𝐷 ↔ 𝑀 < 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100  ℝcr 11037   < clt 11178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183

This theorem is referenced by:  leord1  11676  ltord2  11678  rpexpmord  14103  ltexp2  14105  eflt  16054  tanord1  26517  tanord  26518  monotuz  43302  monotoddzzfi  43303