Theorem ltord1 11431

Description: Infer an ordering relation from a proof in only one direction. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltord.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐴 = 𝐵)
ltord.2	⊢ (𝑥 = 𝐶 → 𝐴 = 𝑀)
ltord.3	⊢ (𝑥 = 𝐷 → 𝐴 = 𝑁)
ltord.4	⊢ 𝑆 ⊆ ℝ
ltord.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
ltord.6	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 < 𝑦 → 𝐴 < 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
ltord1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝐶 < 𝐷 ↔ 𝑀 < 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem ltord1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltord.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐴 = 𝐵)
2		ltord.2	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → 𝐴 = 𝑀)
3		ltord.3	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → 𝐴 = 𝑁)
4		ltord.4	. . 3 ⊢ 𝑆 ⊆ ℝ
5		ltord.5	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		ltord.6	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 < 𝑦 → 𝐴 < 𝐵))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ltordlem 11430	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝐶 < 𝐷 → 𝑀 < 𝑁))
8		eqeq1 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 = 𝐷 ↔ 𝐶 = 𝐷))
9	2	eqeq1d 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 = 𝑁 ↔ 𝑀 = 𝑁))
10	8, 9	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝑥 = 𝐷 → 𝐴 = 𝑁) ↔ (𝐶 = 𝐷 → 𝑀 = 𝑁)))
11	10, 3	vtoclg 3495	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑆 → (𝐶 = 𝐷 → 𝑀 = 𝑁))
12	11	ad2antrl 724	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝐶 = 𝐷 → 𝑀 = 𝑁))
13	1, 3, 2, 4, 5, 6	ltordlem 11430	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆)) → (𝐷 < 𝐶 → 𝑁 < 𝑀))
14	13	ancom2s 646	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝐷 < 𝐶 → 𝑁 < 𝑀))
15	12, 14	orim12d 961	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → ((𝐶 = 𝐷 ∨ 𝐷 < 𝐶) → (𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀)))
16	15	con3d 152	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (¬ (𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀) → ¬ (𝐶 = 𝐷 ∨ 𝐷 < 𝐶)))
17	5	ralrimiva 3107	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ∈ ℝ)
18	2	eleq1d 2823	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑀 ∈ ℝ))
19	18	rspccva 3551	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
20	17, 19	sylan 579	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
21	3	eleq1d 2823	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑁 ∈ ℝ))
22	21	rspccva 3551	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
23	17, 22	sylan 579	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
24	20, 23	anim12dan 618	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
25		axlttri 10977	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ ¬ (𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀)))
26	24, 25	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝑀 < 𝑁 ↔ ¬ (𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀)))
27	4	sseli 3913	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑆 → 𝐶 ∈ ℝ)
28	4	sseli 3913	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑆 → 𝐷 ∈ ℝ)
29		axlttri 10977	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐷 ↔ ¬ (𝐶 = 𝐷 ∨ 𝐷 < 𝐶)))
30	27, 28, 29	syl2an 595	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆) → (𝐶 < 𝐷 ↔ ¬ (𝐶 = 𝐷 ∨ 𝐷 < 𝐶)))
31	30	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝐶 < 𝐷 ↔ ¬ (𝐶 = 𝐷 ∨ 𝐷 < 𝐶)))
32	16, 26, 31	3imtr4d 293	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝑀 < 𝑁 → 𝐶 < 𝐷))
33	7, 32	impbid 211	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝐶 < 𝐷 ↔ 𝑀 < 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070  ℝcr 10801   < clt 10940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-pre-lttri 10876

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945

This theorem is referenced by:  leord1  11432  ltord2  11434  rpexpmord  13814  ltexp2  13816  eflt  15754  tanord1  25598  tanord  25599  monotuz  40679  monotoddzzfi  40680