Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqord1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqord1 11162
 Description: A strictly increasing real function on a subset of ℝ is one-to-one. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ltord.1 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝐵)
ltord.2 (𝑥 = 𝐶𝐴 = 𝑀)
ltord.3 (𝑥 = 𝐷𝐴 = 𝑁)
ltord.4 𝑆 ⊆ ℝ
ltord.5 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
ltord.6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 < 𝑦𝐴 < 𝐵))
Assertion
Ref Expression
eqord1 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐶 = 𝐷𝑀 = 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem eqord1
StepHypRef Expression
1 ltord.1 . . . 4 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝐵)
2 ltord.2 . . . 4 (𝑥 = 𝐶𝐴 = 𝑀)
3 ltord.3 . . . 4 (𝑥 = 𝐷𝐴 = 𝑁)
4 ltord.4 . . . 4 𝑆 ⊆ ℝ
5 ltord.5 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 ltord.6 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 < 𝑦𝐴 < 𝐵))
71, 2, 3, 4, 5, 6leord1 11161 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐶𝐷𝑀𝑁))
81, 3, 2, 4, 5, 6leord1 11161 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐷𝑆𝐶𝑆)) → (𝐷𝐶𝑁𝑀))
98ancom2s 648 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐷𝐶𝑁𝑀))
107, 9anbi12d 632 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → ((𝐶𝐷𝐷𝐶) ↔ (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
114sseli 3963 . . . 4 (𝐶𝑆𝐶 ∈ ℝ)
124sseli 3963 . . . 4 (𝐷𝑆𝐷 ∈ ℝ)
13 letri3 10720 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶 = 𝐷 ↔ (𝐶𝐷𝐷𝐶)))
1411, 12, 13syl2an 597 . . 3 ((𝐶𝑆𝐷𝑆) → (𝐶 = 𝐷 ↔ (𝐶𝐷𝐷𝐶)))
1514adantl 484 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐶 = 𝐷 ↔ (𝐶𝐷𝐷𝐶)))
165ralrimiva 3182 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ)
172eleq1d 2897 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑀 ∈ ℝ))
1817rspccva 3622 . . . . 5 ((∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
1916, 18sylan 582 . . . 4 ((𝜑𝐶𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
2019adantrr 715 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → 𝑀 ∈ ℝ)
213eleq1d 2897 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐷 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑁 ∈ ℝ))
2221rspccva 3622 . . . . 5 ((∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
2316, 22sylan 582 . . . 4 ((𝜑𝐷𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
2423adantrl 714 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → 𝑁 ∈ ℝ)
2520, 24letri3d 10776 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
2610, 15, 253bitr4d 313 1 ((𝜑 ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (𝐶 = 𝐷𝑀 = 𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138   ⊆ wss 3936   class class class wbr 5059  ℝcr 10530   < clt 10669   ≤ cle 10670 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-po 5469  df-so 5470  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675 This theorem is referenced by:  eqord2  11165  expcan  13527  ovolicc2lem3  24114  rmyeq0  39543  rmyeq  39544
 Copyright terms: Public domain W3C validator