Theorem eqord1 11741

Description: A strictly increasing real function on a subset of ℝ is one-to-one. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltord.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐴 = 𝐵)
ltord.2	⊢ (𝑥 = 𝐶 → 𝐴 = 𝑀)
ltord.3	⊢ (𝑥 = 𝐷 → 𝐴 = 𝑁)
ltord.4	⊢ 𝑆 ⊆ ℝ
ltord.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
ltord.6	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 < 𝑦 → 𝐴 < 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
eqord1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝐶 = 𝐷 ↔ 𝑀 = 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem eqord1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltord.1	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐴 = 𝐵)
2		ltord.2	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → 𝐴 = 𝑀)
3		ltord.3	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → 𝐴 = 𝑁)
4		ltord.4	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ ℝ
5		ltord.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		ltord.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 < 𝑦 → 𝐴 < 𝐵))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	leord1 11740	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝐶 ≤ 𝐷 ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
8	1, 3, 2, 4, 5, 6	leord1 11740	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆)) → (𝐷 ≤ 𝐶 ↔ 𝑁 ≤ 𝑀))
9	8	ancom2s 662	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝐷 ≤ 𝐶 ↔ 𝑁 ≤ 𝑀))
10	7, 9	anbi12d 643	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → ((𝐶 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐶) ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)))
11	4	sseli 3932	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑆 → 𝐶 ∈ ℝ)
12	4	sseli 3932	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑆 → 𝐷 ∈ ℝ)
13		letri3 11294	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶 = 𝐷 ↔ (𝐶 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐶)))
14	11, 12, 13	syl2an 607	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆) → (𝐶 = 𝐷 ↔ (𝐶 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐶)))
15	14	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝐶 = 𝐷 ↔ (𝐶 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐶)))
16	5	ralrimiva 3155	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ∈ ℝ)
17	2	eleq1d 2846	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑀 ∈ ℝ))
18	17	rspccva 3579	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
19	16, 18	sylan 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
20	19	adantrr 729	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → 𝑀 ∈ ℝ)
21	3	eleq1d 2846	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑁 ∈ ℝ))
22	21	rspccva 3579	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
23	16, 22	sylan 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
24	23	adantrl 728	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → 𝑁 ∈ ℝ)
25	20, 24	letri3d 11351	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)))
26	10, 15, 25	3bitr4d 314	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝐶 = 𝐷 ↔ 𝑀 = 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ∀wral 3077   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5108  ℝcr 11098   < clt 11242   ≤ cle 11243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11156  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248

This theorem is referenced by:  eqord2  11744  expcan  14204  ovolicc2lem3  25657  rmyeq0  43628  rmyeq  43629