Theorem lenltd 11495

Description: 'Less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
lenltd	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem lenltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		lenlt 11427	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  ℝcr 11238   < clt 11382   ≤ cle 11383

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-br 5109  df-opab 5174  df-xp 5664  df-cnv 5666  df-xr 11386  df-le 11388

This theorem is used by:  ltnsymd  11498  nltled  11499  lensymd  11500  leadd1  11824  leord1  11883  lediv1  12222  lemuldiv  12237  lerec  12240  le2msq  12257  suprleub  12323  infregelb  12341  suprfinzcl  12853  uzinfi  13095  rpnnen1lem5  13149  nn0disj  13818  fleqceilz  14034  modsumfzodifsn  14127  addmodlteq  14129  leexp2  14354  expnngt1  14426  hashf1  14643  swrdccatin2  14920  isercoll  15879  ruclem3  16445  sadcaddlem  16671  pcfac  17121  sylow1lem1  19863  fvmptnn04if  23222  chfacfisf  23227  chfacfisfcpmat  23228  ivthlem2  25828  ioorcl2  25948  itg1ge0a  26087  mbfi1fseqlem4  26094  itg2monolem1  26126  itg2cnlem1  26137  mdegmullem  26451  quotcan  26687  logdivle  27007  cxple  27080  gausslemma2dlem1a  27749  padicabv  28014  upgrewlkle2  30244  pthdlem1  30409  ssnnssfz  33475  smattr  34542  smatbl  34543  smatbr  34544  esumpcvgval  34821  eulerpartlems  35103  dstfrvunirn  35218  ballotlemodife  35241  erdszelem7  36170  erdszelem8  36171  unbdqndv2lem1  37590  poimirlem2  38808  poimirlem7  38813  poimirlem10  38816  poimirlem11  38817  areacirc  38899  aks4d1p1p7  43390  aks4d1p3  43394  aks4d1p5  43396  hashscontpow1  43437  sticksstones22  43484  aks6d1c6lem4  43489  aks5lem8  43517  readvrec  43679  frlmvscadiccat  43839  rencldnfilem  44093  irrapxlem1  44095  monotoddzzfi  44215  sqrtcvallem1  44892  reabsifneg  44893  reabsifpos  44895  radcnvrat  45559  reclt0d  46671  reclt0  46675  sqrlearg  46838  dvnxpaek  47225  volico  47266  sublevolico  47267  fourierdlem12  47402  fourierdlem42  47432  elaa2lem  47516  iundjiun  47743  hoidmvval0  47870  hoidmv1lelem2  47875  hoidmv1lelem3  47876  hoidmvlelem4  47881  hspdifhsp  47899  volico2  47924  ovolval2lem  47926  vonioo  47965  smfconst  48032  fzopredsuc  48667  stgoldbwt  49147  nnsum3primesle9  49165  bgoldbtbndlem1  49176  ssnn0ssfz  49792