Theorem lenltd 11351

Description: 'Less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
lenltd	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem lenltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		lenlt 11283	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  ℝcr 11094   < clt 11238   ≤ cle 11239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5110  df-opab 5174  df-xp 5667  df-cnv 5669  df-xr 11242  df-le 11244

This theorem is referenced by:  ltnsymd  11354  nltled  11355  lensymd  11356  leadd1  11677  leord1  11736  lediv1  12075  lemuldiv  12090  lerec  12093  le2msq  12110  suprleub  12176  infregelb  12194  suprfinzcl  12705  uzinfi  12947  rpnnen1lem5  13000  nn0disj  13668  fleqceilz  13883  modsumfzodifsn  13976  addmodlteq  13978  leexp2  14203  expnngt1  14273  hashf1  14490  swrdccatin2  14762  isercoll  15715  ruclem3  16284  sadcaddlem  16510  pcfac  16954  sylow1lem1  19663  fvmptnn04if  23006  chfacfisf  23011  chfacfisfcpmat  23012  ivthlem2  25611  ioorcl2  25731  itg1ge0a  25870  mbfi1fseqlem4  25877  itg2monolem1  25909  itg2cnlem1  25920  mdegmullem  26235  quotcan  26470  logdivle  26787  cxple  26860  gausslemma2dlem1a  27529  padicabv  27794  upgrewlkle2  29956  pthdlem1  30115  ssnnssfz  33132  smattr  34189  smatbl  34190  smatbr  34191  esumpcvgval  34468  eulerpartlems  34750  dstfrvunirn  34865  ballotlemodife  34888  erdszelem7  35689  erdszelem8  35690  unbdqndv2lem1  37118  poimirlem2  38293  poimirlem7  38298  poimirlem10  38301  poimirlem11  38302  areacirc  38384  aks4d1p1p7  42861  aks4d1p3  42865  aks4d1p5  42867  hashscontpow1  42908  sticksstones22  42955  aks6d1c6lem4  42960  aks5lem8  42988  readvrec  43143  frlmvscadiccat  43300  rencldnfilem  43567  irrapxlem1  43569  monotoddzzfi  43689  sqrtcvallem1  44377  reabsifneg  44378  reabsifpos  44380  radcnvrat  45044  reclt0d  46122  reclt0  46126  sqrlearg  46289  dvnxpaek  46676  volico  46717  sublevolico  46718  fourierdlem12  46853  fourierdlem42  46883  elaa2lem  46967  iundjiun  47194  hoidmvval0  47321  hoidmv1lelem2  47326  hoidmv1lelem3  47327  hoidmvlelem4  47332  hspdifhsp  47350  volico2  47375  ovolval2lem  47377  vonioo  47416  smfconst  47483  fzopredsuc  48081  stgoldbwt  48561  nnsum3primesle9  48579  bgoldbtbndlem1  48590  ssnn0ssfz  49149