Theorem lenltd 11292

Description: 'Less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
lenltd	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem lenltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		lenlt 11224	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  ℝcr 11037   < clt 11179   ≤ cle 11180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-br 5086  df-opab 5148  df-xp 5637  df-cnv 5639  df-xr 11183  df-le 11185

This theorem is referenced by:  ltnsymd  11295  nltled  11296  lensymd  11297  leadd1  11618  leord1  11677  lediv1  12021  lemuldiv  12036  lerec  12039  le2msq  12056  suprleub  12122  infregelb  12140  suprfinzcl  12643  uzinfi  12878  rpnnen1lem5  12931  nn0disj  13598  fleqceilz  13813  modsumfzodifsn  13906  addmodlteq  13908  leexp2  14133  expnngt1  14203  hashf1  14419  swrdccatin2  14691  isercoll  15630  ruclem3  16200  sadcaddlem  16426  pcfac  16870  sylow1lem1  19573  fvmptnn04if  22814  chfacfisf  22819  chfacfisfcpmat  22820  ivthlem2  25419  ioorcl2  25539  itg1ge0a  25678  mbfi1fseqlem4  25685  itg2monolem1  25717  itg2cnlem1  25728  mdegmullem  26043  quotcan  26275  logdivle  26586  cxple  26659  gausslemma2dlem1a  27328  padicabv  27593  upgrewlkle2  29675  pthdlem1  29834  ssnnssfz  32860  smattr  33943  smatbl  33944  smatbr  33945  esumpcvgval  34222  eulerpartlems  34504  dstfrvunirn  34619  ballotlemodife  34642  erdszelem7  35379  erdszelem8  35380  unbdqndv2lem1  36769  poimirlem2  37943  poimirlem7  37948  poimirlem10  37951  poimirlem11  37952  areacirc  38034  aks4d1p1p7  42513  aks4d1p3  42517  aks4d1p5  42519  hashscontpow1  42560  sticksstones22  42607  aks6d1c6lem4  42612  aks5lem8  42640  readvrec  42794  frlmvscadiccat  42951  rencldnfilem  43248  irrapxlem1  43250  monotoddzzfi  43370  sqrtcvallem1  44058  reabsifneg  44059  reabsifpos  44061  radcnvrat  44741  reclt0d  45816  reclt0  45820  sqrlearg  45983  dvnxpaek  46370  volico  46411  sublevolico  46412  fourierdlem12  46547  fourierdlem42  46577  elaa2lem  46661  iundjiun  46888  hoidmvval0  47015  hoidmv1lelem2  47020  hoidmv1lelem3  47021  hoidmvlelem4  47026  hspdifhsp  47044  volico2  47069  ovolval2lem  47071  vonioo  47110  smfconst  47177  fzopredsuc  47772  stgoldbwt  48252  nnsum3primesle9  48270  bgoldbtbndlem1  48281  ssnn0ssfz  48825