Theorem lenltd 11259

Description: 'Less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
lenltd	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem lenltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		lenlt 11191	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  ℝcr 11005   < clt 11146   ≤ cle 11147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-br 5090  df-opab 5152  df-xp 5620  df-cnv 5622  df-xr 11150  df-le 11152

This theorem is referenced by:  ltnsymd  11262  nltled  11263  lensymd  11264  leadd1  11585  leord1  11644  lediv1  11987  lemuldiv  12002  lerec  12005  le2msq  12022  suprleub  12088  infregelb  12106  suprfinzcl  12587  uzinfi  12826  rpnnen1lem5  12879  nn0disj  13544  fleqceilz  13758  modsumfzodifsn  13851  addmodlteq  13853  leexp2  14078  expnngt1  14148  hashf1  14364  swrdccatin2  14636  isercoll  15575  ruclem3  16142  sadcaddlem  16368  pcfac  16811  sylow1lem1  19510  fvmptnn04if  22764  chfacfisf  22769  chfacfisfcpmat  22770  ivthlem2  25380  ioorcl2  25500  itg1ge0a  25639  mbfi1fseqlem4  25646  itg2monolem1  25678  itg2cnlem1  25689  mdegmullem  26010  quotcan  26244  logdivle  26558  cxple  26631  gausslemma2dlem1a  27303  padicabv  27568  upgrewlkle2  29585  pthdlem1  29744  ssnnssfz  32770  smattr  33812  smatbl  33813  smatbr  33814  esumpcvgval  34091  eulerpartlems  34373  dstfrvunirn  34488  ballotlemodife  34511  erdszelem7  35241  erdszelem8  35242  unbdqndv2lem1  36553  poimirlem2  37672  poimirlem7  37677  poimirlem10  37680  poimirlem11  37681  areacirc  37763  aks4d1p1p7  42177  aks4d1p3  42181  aks4d1p5  42183  hashscontpow1  42224  sticksstones22  42271  aks6d1c6lem4  42276  aks5lem8  42304  readvrec  42465  frlmvscadiccat  42609  rencldnfilem  42923  irrapxlem1  42925  monotoddzzfi  43045  sqrtcvallem1  43734  reabsifneg  43735  reabsifpos  43737  radcnvrat  44417  reclt0d  45495  reclt0  45499  sqrlearg  45663  dvnxpaek  46050  volico  46091  sublevolico  46092  fourierdlem12  46227  fourierdlem42  46257  elaa2lem  46341  iundjiun  46568  hoidmvval0  46695  hoidmv1lelem2  46700  hoidmv1lelem3  46701  hoidmvlelem4  46706  hspdifhsp  46724  volico2  46749  ovolval2lem  46751  vonioo  46790  smfconst  46857  fzopredsuc  47433  stgoldbwt  47886  nnsum3primesle9  47904  bgoldbtbndlem1  47915  ssnn0ssfz  48459