Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflvsdi2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lflvsdi2a 37592
Description: Reverse distributive law for (right vector space) scalar product of functionals. (Contributed by NM, 21-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfldi.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lfldi.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lfldi.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
lfldi.p + = (+gβ€˜π‘…)
lfldi.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
lfldi.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
lfldi.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lfldi.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐾)
lfldi2.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐾)
lfldi2.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
Assertion
Ref Expression
lflvsdi2a (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {(𝑋 + π‘Œ)})) = ((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑋})) ∘f + (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘Œ}))))

Proof of Theorem lflvsdi2a
StepHypRef Expression
1 lfldi.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
21fvexi 6860 . . . . 5 𝑉 ∈ V
32a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ V)
4 lfldi.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐾)
5 lfldi2.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐾)
63, 4, 5ofc12 7649 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑉 Γ— {𝑋}) ∘f + (𝑉 Γ— {π‘Œ})) = (𝑉 Γ— {(𝑋 + π‘Œ)}))
76oveq2d 7377 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· ((𝑉 Γ— {𝑋}) ∘f + (𝑉 Γ— {π‘Œ}))) = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {(𝑋 + π‘Œ)})))
8 lfldi.r . . 3 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
9 lfldi.k . . 3 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
10 lfldi.p . . 3 + = (+gβ€˜π‘…)
11 lfldi.t . . 3 Β· = (.rβ€˜π‘…)
12 lfldi.f . . 3 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
13 lfldi.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
14 lfldi2.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
151, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 4, 5, 14lflvsdi2 37591 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· ((𝑉 Γ— {𝑋}) ∘f + (𝑉 Γ— {π‘Œ}))) = ((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑋})) ∘f + (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘Œ}))))
167, 15eqtr3d 2775 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {(𝑋 + π‘Œ)})) = ((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑋})) ∘f + (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘Œ}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447  {csn 4590   Γ— cxp 5635  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∘f cof 7619  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  .rcmulr 17142  Scalarcsca 17144  LModclmod 20365  LFnlclfn 37569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-map 8773  df-ring 19974  df-lmod 20367  df-lfl 37570
This theorem is referenced by:  ldualvsdi2  37656
  Copyright terms: Public domain W3C validator