Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflvsass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lflvsass 35244
 Description: Associative law for (right vector space) scalar product of functionals. (Contributed by NM, 19-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflass.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflass.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
lflass.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
lflass.t · = (.r𝑅)
lflass.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lflass.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lflass.x (𝜑𝑋𝐾)
lflass.y (𝜑𝑌𝐾)
lflass.g (𝜑𝐺𝐹)
Assertion
Ref Expression
lflvsass (𝜑 → (𝐺𝑓 · (𝑉 × {(𝑋 · 𝑌)})) = ((𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑋})) ∘𝑓 · (𝑉 × {𝑌})))

Proof of Theorem lflvsass
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lflass.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
21fvexi 6462 . . . 4 𝑉 ∈ V
32a1i 11 . . 3 (𝜑𝑉 ∈ V)
4 lflass.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
5 lflass.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐹)
6 lflass.r . . . . 5 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
7 lflass.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝑅)
8 lflass.f . . . . 5 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
96, 7, 1, 8lflf 35226 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺:𝑉𝐾)
104, 5, 9syl2anc 579 . . 3 (𝜑𝐺:𝑉𝐾)
11 lflass.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐾)
12 fconst6g 6346 . . . 4 (𝑋𝐾 → (𝑉 × {𝑋}):𝑉𝐾)
1311, 12syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑉 × {𝑋}):𝑉𝐾)
14 lflass.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐾)
15 fconst6g 6346 . . . 4 (𝑌𝐾 → (𝑉 × {𝑌}):𝑉𝐾)
1614, 15syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑉 × {𝑌}):𝑉𝐾)
176lmodring 19274 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
184, 17syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
19 lflass.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
207, 19ringass 18962 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐾𝑧𝐾)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
2118, 20sylan 575 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐾𝑧𝐾)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
223, 10, 13, 16, 21caofass 7210 . 2 (𝜑 → ((𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑋})) ∘𝑓 · (𝑉 × {𝑌})) = (𝐺𝑓 · ((𝑉 × {𝑋}) ∘𝑓 · (𝑉 × {𝑌}))))
233, 11, 14ofc12 7201 . . 3 (𝜑 → ((𝑉 × {𝑋}) ∘𝑓 · (𝑉 × {𝑌})) = (𝑉 × {(𝑋 · 𝑌)}))
2423oveq2d 6940 . 2 (𝜑 → (𝐺𝑓 · ((𝑉 × {𝑋}) ∘𝑓 · (𝑉 × {𝑌}))) = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {(𝑋 · 𝑌)})))
2522, 24eqtr2d 2815 1 (𝜑 → (𝐺𝑓 · (𝑉 × {(𝑋 · 𝑌)})) = ((𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑋})) ∘𝑓 · (𝑉 × {𝑌})))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  Vcvv 3398  {csn 4398   × cxp 5355  ⟶wf 6133  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924   ∘𝑓 cof 7174  Basecbs 16266  .rcmulr 16350  Scalarcsca 16352  Ringcrg 18945  LModclmod 19266  LFnlclfn 35220 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-om 7346  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-2 11443  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-sets 16273  df-plusg 16362  df-sgrp 17681  df-mnd 17692  df-mgp 18888  df-ring 18947  df-lmod 19268  df-lfl 35221 This theorem is referenced by:  ldualvsass  35304
 Copyright terms: Public domain W3C validator