Theorem lflvsass 39099

Description: Associative law for (right vector space) scalar product of functionals. (Contributed by NM, 19-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lflass.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflass.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
lflass.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
lflass.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
lflass.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lflass.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lflass.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
lflass.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐾)
lflass.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lflvsass	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · (𝑉 × {(𝑋 · 𝑌)})) = ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑋})) ∘f · (𝑉 × {𝑌})))

Proof of Theorem lflvsass

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lflass.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2	1	fvexi 6831	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
4		lflass.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		lflass.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
6		lflass.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
7		lflass.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
8		lflass.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
9	6, 7, 1, 8	lflf 39081	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
10	4, 5, 9	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
11		lflass.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
12		fconst6g 6708	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐾 → (𝑉 × {𝑋}):𝑉⟶𝐾)
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑉 × {𝑋}):𝑉⟶𝐾)
14		lflass.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐾)
15		fconst6g 6708	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐾 → (𝑉 × {𝑌}):𝑉⟶𝐾)
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑉 × {𝑌}):𝑉⟶𝐾)
17	6	lmodring 20794	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
18	4, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
19		lflass.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
20	7, 19	ringass 20164	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
21	18, 20	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
22	3, 10, 13, 16, 21	caofass 7645	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑋})) ∘f · (𝑉 × {𝑌})) = (𝐺 ∘f · ((𝑉 × {𝑋}) ∘f · (𝑉 × {𝑌}))))
23	3, 11, 14	ofc12 7635	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 × {𝑋}) ∘f · (𝑉 × {𝑌})) = (𝑉 × {(𝑋 · 𝑌)}))
24	23	oveq2d 7357	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · ((𝑉 × {𝑋}) ∘f · (𝑉 × {𝑌}))) = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {(𝑋 · 𝑌)})))
25	22, 24	eqtr2d 2766	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · (𝑉 × {(𝑋 · 𝑌)})) = ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑋})) ∘f · (𝑉 × {𝑌})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  Vcvv 3434  {csn 4574   × cxp 5612  ⟶wf 6473  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341   ∘_f cof 7603  Basecbs 17112  ._rcmulr 17154  Scalarcsca 17156  Ringcrg 20144  LModclmod 20786  LFnlclfn 39075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-2 12180  df-sets 17067  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-plusg 17166  df-sgrp 18619  df-mnd 18635  df-mgp 20052  df-ring 20146  df-lmod 20788  df-lfl 39076

This theorem is referenced by:  ldualvsass  39159