Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflvsass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lflvsass 38454
Description: Associative law for (right vector space) scalar product of functionals. (Contributed by NM, 19-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflass.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lflass.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lflass.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
lflass.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
lflass.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
lflass.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lflass.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐾)
lflass.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐾)
lflass.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
Assertion
Ref Expression
lflvsass (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {(𝑋 Β· π‘Œ)})) = ((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑋})) ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘Œ})))

Proof of Theorem lflvsass
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lflass.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
21fvexi 6896 . . . 4 𝑉 ∈ V
32a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ V)
4 lflass.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
5 lflass.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
6 lflass.r . . . . 5 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
7 lflass.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
8 lflass.f . . . . 5 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
96, 7, 1, 8lflf 38436 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ 𝐺:π‘‰βŸΆπΎ)
104, 5, 9syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‰βŸΆπΎ)
11 lflass.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐾)
12 fconst6g 6771 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝐾 β†’ (𝑉 Γ— {𝑋}):π‘‰βŸΆπΎ)
1311, 12syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑉 Γ— {𝑋}):π‘‰βŸΆπΎ)
14 lflass.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐾)
15 fconst6g 6771 . . . 4 (π‘Œ ∈ 𝐾 β†’ (𝑉 Γ— {π‘Œ}):π‘‰βŸΆπΎ)
1614, 15syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑉 Γ— {π‘Œ}):π‘‰βŸΆπΎ)
176lmodring 20710 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ Ring)
184, 17syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
19 lflass.t . . . . 5 Β· = (.rβ€˜π‘…)
207, 19ringass 20154 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦) Β· 𝑧) = (π‘₯ Β· (𝑦 Β· 𝑧)))
2118, 20sylan 579 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦) Β· 𝑧) = (π‘₯ Β· (𝑦 Β· 𝑧)))
223, 10, 13, 16, 21caofass 7701 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑋})) ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘Œ})) = (𝐺 ∘f Β· ((𝑉 Γ— {𝑋}) ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘Œ}))))
233, 11, 14ofc12 7692 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑉 Γ— {𝑋}) ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘Œ})) = (𝑉 Γ— {(𝑋 Β· π‘Œ)}))
2423oveq2d 7418 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· ((𝑉 Γ— {𝑋}) ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘Œ}))) = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {(𝑋 Β· π‘Œ)})))
2522, 24eqtr2d 2765 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {(𝑋 Β· π‘Œ)})) = ((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑋})) ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘Œ})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466  {csn 4621   Γ— cxp 5665  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402   ∘f cof 7662  Basecbs 17149  .rcmulr 17203  Scalarcsca 17205  Ringcrg 20134  LModclmod 20702  LFnlclfn 38430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mgp 20036  df-ring 20136  df-lmod 20704  df-lfl 38431
This theorem is referenced by:  ldualvsass  38514
  Copyright terms: Public domain W3C validator