Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflvsass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lflvsass 38553
Description: Associative law for (right vector space) scalar product of functionals. (Contributed by NM, 19-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflass.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lflass.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lflass.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
lflass.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
lflass.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
lflass.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lflass.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐾)
lflass.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐾)
lflass.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
Assertion
Ref Expression
lflvsass (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {(𝑋 Β· π‘Œ)})) = ((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑋})) ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘Œ})))

Proof of Theorem lflvsass
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lflass.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
21fvexi 6911 . . . 4 𝑉 ∈ V
32a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ V)
4 lflass.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
5 lflass.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
6 lflass.r . . . . 5 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
7 lflass.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
8 lflass.f . . . . 5 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
96, 7, 1, 8lflf 38535 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ 𝐺:π‘‰βŸΆπΎ)
104, 5, 9syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‰βŸΆπΎ)
11 lflass.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐾)
12 fconst6g 6786 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝐾 β†’ (𝑉 Γ— {𝑋}):π‘‰βŸΆπΎ)
1311, 12syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑉 Γ— {𝑋}):π‘‰βŸΆπΎ)
14 lflass.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐾)
15 fconst6g 6786 . . . 4 (π‘Œ ∈ 𝐾 β†’ (𝑉 Γ— {π‘Œ}):π‘‰βŸΆπΎ)
1614, 15syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑉 Γ— {π‘Œ}):π‘‰βŸΆπΎ)
176lmodring 20750 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ Ring)
184, 17syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
19 lflass.t . . . . 5 Β· = (.rβ€˜π‘…)
207, 19ringass 20192 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦) Β· 𝑧) = (π‘₯ Β· (𝑦 Β· 𝑧)))
2118, 20sylan 579 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦) Β· 𝑧) = (π‘₯ Β· (𝑦 Β· 𝑧)))
223, 10, 13, 16, 21caofass 7722 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑋})) ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘Œ})) = (𝐺 ∘f Β· ((𝑉 Γ— {𝑋}) ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘Œ}))))
233, 11, 14ofc12 7713 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑉 Γ— {𝑋}) ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘Œ})) = (𝑉 Γ— {(𝑋 Β· π‘Œ)}))
2423oveq2d 7436 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· ((𝑉 Γ— {𝑋}) ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘Œ}))) = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {(𝑋 Β· π‘Œ)})))
2522, 24eqtr2d 2769 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {(𝑋 Β· π‘Œ)})) = ((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑋})) ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘Œ})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3471  {csn 4629   Γ— cxp 5676  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   ∘f cof 7683  Basecbs 17179  .rcmulr 17233  Scalarcsca 17235  Ringcrg 20172  LModclmod 20742  LFnlclfn 38529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mgp 20074  df-ring 20174  df-lmod 20744  df-lfl 38530
This theorem is referenced by:  ldualvsass  38613
  Copyright terms: Public domain W3C validator