Theorem lflvsass 40247

Description: Associative law for (right vector space) scalar product of functionals. (Contributed by NM, 19-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lflass.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflass.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
lflass.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
lflass.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
lflass.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lflass.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lflass.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
lflass.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐾)
lflass.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lflvsass	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · (𝑉 × {(𝑋 · 𝑌)})) = ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑋})) ∘f · (𝑉 × {𝑌})))

Proof of Theorem lflvsass

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lflass.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2	1	fvexi 6904	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
4		lflass.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		lflass.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
6		lflass.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
7		lflass.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
8		lflass.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
9	6, 7, 1, 8	lflf 40229	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
10	4, 5, 9	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
11		lflass.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
12		fconst6g 6776	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐾 → (𝑉 × {𝑋}):𝑉⟶𝐾)
13	11, 12	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑉 × {𝑋}):𝑉⟶𝐾)
14		lflass.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐾)
15		fconst6g 6776	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐾 → (𝑉 × {𝑌}):𝑉⟶𝐾)
16	14, 15	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑉 × {𝑌}):𝑉⟶𝐾)
17	6	lmodring 21152	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
18	4, 17	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
19		lflass.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
20	7, 19	ringass 20489	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
21	18, 20	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
22	3, 10, 13, 16, 21	caofass 7737	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑋})) ∘f · (𝑉 × {𝑌})) = (𝐺 ∘f · ((𝑉 × {𝑋}) ∘f · (𝑉 × {𝑌}))))
23	3, 11, 14	ofc12 7727	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 × {𝑋}) ∘f · (𝑉 × {𝑌})) = (𝑉 × {(𝑋 · 𝑌)}))
24	23	oveq2d 7440	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · ((𝑉 × {𝑋}) ∘f · (𝑉 × {𝑌}))) = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {(𝑋 · 𝑌)})))
25	22, 24	eqtr2d 2796	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · (𝑉 × {(𝑋 · 𝑌)})) = ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑋})) ∘f · (𝑉 × {𝑌})))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  {csn 4584   × cxp 5649  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   ∘_f cof 7695  Basecbs 17396  ._rcmulr 17438  Scalarcsca 17440  Ringcrg 20468  LModclmod 21144  LFnlclfn 40223

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8724  df-map 8856  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-plusg 17450  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-mgp 20370  df-ring 20470  df-lmod 21146  df-lfl 40224

This theorem is used by:  ldualvsass  40307