Theorem lflvsass 39016

Description: Associative law for (right vector space) scalar product of functionals. (Contributed by NM, 19-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lflass.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflass.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
lflass.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
lflass.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
lflass.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lflass.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lflass.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
lflass.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐾)
lflass.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lflvsass	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · (𝑉 × {(𝑋 · 𝑌)})) = ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑋})) ∘f · (𝑉 × {𝑌})))

Proof of Theorem lflvsass

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lflass.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2	1	fvexi 6899	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
4		lflass.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		lflass.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
6		lflass.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
7		lflass.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
8		lflass.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
9	6, 7, 1, 8	lflf 38998	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
10	4, 5, 9	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
11		lflass.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
12		fconst6g 6776	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐾 → (𝑉 × {𝑋}):𝑉⟶𝐾)
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑉 × {𝑋}):𝑉⟶𝐾)
14		lflass.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐾)
15		fconst6g 6776	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐾 → (𝑉 × {𝑌}):𝑉⟶𝐾)
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑉 × {𝑌}):𝑉⟶𝐾)
17	6	lmodring 20833	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
18	4, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
19		lflass.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
20	7, 19	ringass 20217	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
21	18, 20	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
22	3, 10, 13, 16, 21	caofass 7718	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑋})) ∘f · (𝑉 × {𝑌})) = (𝐺 ∘f · ((𝑉 × {𝑋}) ∘f · (𝑉 × {𝑌}))))
23	3, 11, 14	ofc12 7708	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 × {𝑋}) ∘f · (𝑉 × {𝑌})) = (𝑉 × {(𝑋 · 𝑌)}))
24	23	oveq2d 7428	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · ((𝑉 × {𝑋}) ∘f · (𝑉 × {𝑌}))) = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {(𝑋 · 𝑌)})))
25	22, 24	eqtr2d 2770	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · (𝑉 × {(𝑋 · 𝑌)})) = ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑋})) ∘f · (𝑉 × {𝑌})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3463  {csn 4606   × cxp 5663  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7412   ∘_f cof 7676  Basecbs 17228  ._rcmulr 17273  Scalarcsca 17275  Ringcrg 20197  LModclmod 20825  LFnlclfn 38992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7678  df-om 7869  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8726  df-map 8849  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11475  df-neg 11476  df-nn 12248  df-2 12310  df-sets 17182  df-slot 17200  df-ndx 17212  df-base 17229  df-plusg 17285  df-sgrp 18700  df-mnd 18716  df-mgp 20105  df-ring 20199  df-lmod 20827  df-lfl 38993

This theorem is referenced by:  ldualvsass  39076