Theorem lflvsass 39047

Description: Associative law for (right vector space) scalar product of functionals. (Contributed by NM, 19-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lflass.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflass.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
lflass.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
lflass.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
lflass.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lflass.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lflass.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
lflass.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐾)
lflass.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lflvsass	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · (𝑉 × {(𝑋 · 𝑌)})) = ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑋})) ∘f · (𝑉 × {𝑌})))

Proof of Theorem lflvsass

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lflass.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2	1	fvexi 6854	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
4		lflass.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		lflass.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
6		lflass.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
7		lflass.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
8		lflass.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
9	6, 7, 1, 8	lflf 39029	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
10	4, 5, 9	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
11		lflass.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
12		fconst6g 6731	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐾 → (𝑉 × {𝑋}):𝑉⟶𝐾)
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑉 × {𝑋}):𝑉⟶𝐾)
14		lflass.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐾)
15		fconst6g 6731	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐾 → (𝑉 × {𝑌}):𝑉⟶𝐾)
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑉 × {𝑌}):𝑉⟶𝐾)
17	6	lmodring 20750	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
18	4, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
19		lflass.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
20	7, 19	ringass 20138	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
21	18, 20	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
22	3, 10, 13, 16, 21	caofass 7673	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑋})) ∘f · (𝑉 × {𝑌})) = (𝐺 ∘f · ((𝑉 × {𝑋}) ∘f · (𝑉 × {𝑌}))))
23	3, 11, 14	ofc12 7663	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 × {𝑋}) ∘f · (𝑉 × {𝑌})) = (𝑉 × {(𝑋 · 𝑌)}))
24	23	oveq2d 7385	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · ((𝑉 × {𝑋}) ∘f · (𝑉 × {𝑌}))) = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {(𝑋 · 𝑌)})))
25	22, 24	eqtr2d 2765	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · (𝑉 × {(𝑋 · 𝑌)})) = ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑋})) ∘f · (𝑉 × {𝑌})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444  {csn 4585   × cxp 5629  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ∘_f cof 7631  Basecbs 17155  ._rcmulr 17197  Scalarcsca 17199  Ringcrg 20118  LModclmod 20742  LFnlclfn 39023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-plusg 17209  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-mgp 20026  df-ring 20120  df-lmod 20744  df-lfl 39024

This theorem is referenced by:  ldualvsass  39107