Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflvsass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lflvsass 37593
Description: Associative law for (right vector space) scalar product of functionals. (Contributed by NM, 19-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflass.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lflass.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lflass.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
lflass.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
lflass.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
lflass.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lflass.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐾)
lflass.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐾)
lflass.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
Assertion
Ref Expression
lflvsass (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {(𝑋 Β· π‘Œ)})) = ((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑋})) ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘Œ})))

Proof of Theorem lflvsass
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lflass.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
21fvexi 6860 . . . 4 𝑉 ∈ V
32a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ V)
4 lflass.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
5 lflass.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
6 lflass.r . . . . 5 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
7 lflass.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
8 lflass.f . . . . 5 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
96, 7, 1, 8lflf 37575 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ 𝐺:π‘‰βŸΆπΎ)
104, 5, 9syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‰βŸΆπΎ)
11 lflass.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐾)
12 fconst6g 6735 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝐾 β†’ (𝑉 Γ— {𝑋}):π‘‰βŸΆπΎ)
1311, 12syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑉 Γ— {𝑋}):π‘‰βŸΆπΎ)
14 lflass.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐾)
15 fconst6g 6735 . . . 4 (π‘Œ ∈ 𝐾 β†’ (𝑉 Γ— {π‘Œ}):π‘‰βŸΆπΎ)
1614, 15syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑉 Γ— {π‘Œ}):π‘‰βŸΆπΎ)
176lmodring 20373 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ Ring)
184, 17syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
19 lflass.t . . . . 5 Β· = (.rβ€˜π‘…)
207, 19ringass 19992 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦) Β· 𝑧) = (π‘₯ Β· (𝑦 Β· 𝑧)))
2118, 20sylan 581 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦) Β· 𝑧) = (π‘₯ Β· (𝑦 Β· 𝑧)))
223, 10, 13, 16, 21caofass 7658 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑋})) ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘Œ})) = (𝐺 ∘f Β· ((𝑉 Γ— {𝑋}) ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘Œ}))))
233, 11, 14ofc12 7649 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑉 Γ— {𝑋}) ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘Œ})) = (𝑉 Γ— {(𝑋 Β· π‘Œ)}))
2423oveq2d 7377 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· ((𝑉 Γ— {𝑋}) ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘Œ}))) = (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {(𝑋 Β· π‘Œ)})))
2522, 24eqtr2d 2774 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {(𝑋 Β· π‘Œ)})) = ((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑋})) ∘f Β· (𝑉 Γ— {π‘Œ})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447  {csn 4590   Γ— cxp 5635  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∘f cof 7619  Basecbs 17091  .rcmulr 17142  Scalarcsca 17144  Ringcrg 19972  LModclmod 20365  LFnlclfn 37569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mgp 19905  df-ring 19974  df-lmod 20367  df-lfl 37570
This theorem is referenced by:  ldualvsass  37653
  Copyright terms: Public domain W3C validator