Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflvsass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lflvsass 36257
 Description: Associative law for (right vector space) scalar product of functionals. (Contributed by NM, 19-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflass.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflass.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
lflass.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
lflass.t · = (.r𝑅)
lflass.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lflass.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lflass.x (𝜑𝑋𝐾)
lflass.y (𝜑𝑌𝐾)
lflass.g (𝜑𝐺𝐹)
Assertion
Ref Expression
lflvsass (𝜑 → (𝐺f · (𝑉 × {(𝑋 · 𝑌)})) = ((𝐺f · (𝑉 × {𝑋})) ∘f · (𝑉 × {𝑌})))

Proof of Theorem lflvsass
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lflass.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
21fvexi 6657 . . . 4 𝑉 ∈ V
32a1i 11 . . 3 (𝜑𝑉 ∈ V)
4 lflass.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
5 lflass.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐹)
6 lflass.r . . . . 5 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
7 lflass.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝑅)
8 lflass.f . . . . 5 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
96, 7, 1, 8lflf 36239 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺:𝑉𝐾)
104, 5, 9syl2anc 587 . . 3 (𝜑𝐺:𝑉𝐾)
11 lflass.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐾)
12 fconst6g 6541 . . . 4 (𝑋𝐾 → (𝑉 × {𝑋}):𝑉𝐾)
1311, 12syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑉 × {𝑋}):𝑉𝐾)
14 lflass.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐾)
15 fconst6g 6541 . . . 4 (𝑌𝐾 → (𝑉 × {𝑌}):𝑉𝐾)
1614, 15syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑉 × {𝑌}):𝑉𝐾)
176lmodring 19617 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
184, 17syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
19 lflass.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
207, 19ringass 19292 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐾𝑧𝐾)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
2118, 20sylan 583 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐾𝑧𝐾)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
223, 10, 13, 16, 21caofass 7418 . 2 (𝜑 → ((𝐺f · (𝑉 × {𝑋})) ∘f · (𝑉 × {𝑌})) = (𝐺f · ((𝑉 × {𝑋}) ∘f · (𝑉 × {𝑌}))))
233, 11, 14ofc12 7409 . . 3 (𝜑 → ((𝑉 × {𝑋}) ∘f · (𝑉 × {𝑌})) = (𝑉 × {(𝑋 · 𝑌)}))
2423oveq2d 7146 . 2 (𝜑 → (𝐺f · ((𝑉 × {𝑋}) ∘f · (𝑉 × {𝑌}))) = (𝐺f · (𝑉 × {(𝑋 · 𝑌)})))
2522, 24eqtr2d 2857 1 (𝜑 → (𝐺f · (𝑉 × {(𝑋 · 𝑌)})) = ((𝐺f · (𝑉 × {𝑋})) ∘f · (𝑉 × {𝑌})))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3471  {csn 4540   × cxp 5526  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130   ∘f cof 7382  Basecbs 16461  .rcmulr 16544  Scalarcsca 16546  Ringcrg 19275  LModclmod 19609  LFnlclfn 36233 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-of 7384  df-om 7556  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-map 8383  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-ndx 16464  df-slot 16465  df-base 16467  df-sets 16468  df-plusg 16556  df-sgrp 17879  df-mnd 17890  df-mgp 19218  df-ring 19277  df-lmod 19611  df-lfl 36234 This theorem is referenced by:  ldualvsass  36317
 Copyright terms: Public domain W3C validator