Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflvsass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lflvsass 38986
Description: Associative law for (right vector space) scalar product of functionals. (Contributed by NM, 19-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflass.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflass.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
lflass.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
lflass.t · = (.r𝑅)
lflass.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lflass.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lflass.x (𝜑𝑋𝐾)
lflass.y (𝜑𝑌𝐾)
lflass.g (𝜑𝐺𝐹)
Assertion
Ref Expression
lflvsass (𝜑 → (𝐺f · (𝑉 × {(𝑋 · 𝑌)})) = ((𝐺f · (𝑉 × {𝑋})) ∘f · (𝑉 × {𝑌})))

Proof of Theorem lflvsass
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lflass.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
21fvexi 6933 . . . 4 𝑉 ∈ V
32a1i 11 . . 3 (𝜑𝑉 ∈ V)
4 lflass.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
5 lflass.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐹)
6 lflass.r . . . . 5 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
7 lflass.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝑅)
8 lflass.f . . . . 5 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
96, 7, 1, 8lflf 38968 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺:𝑉𝐾)
104, 5, 9syl2anc 583 . . 3 (𝜑𝐺:𝑉𝐾)
11 lflass.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐾)
12 fconst6g 6809 . . . 4 (𝑋𝐾 → (𝑉 × {𝑋}):𝑉𝐾)
1311, 12syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑉 × {𝑋}):𝑉𝐾)
14 lflass.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐾)
15 fconst6g 6809 . . . 4 (𝑌𝐾 → (𝑉 × {𝑌}):𝑉𝐾)
1614, 15syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑉 × {𝑌}):𝑉𝐾)
176lmodring 20883 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
184, 17syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
19 lflass.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
207, 19ringass 20275 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐾𝑧𝐾)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
2118, 20sylan 579 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐾𝑧𝐾)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
223, 10, 13, 16, 21caofass 7748 . 2 (𝜑 → ((𝐺f · (𝑉 × {𝑋})) ∘f · (𝑉 × {𝑌})) = (𝐺f · ((𝑉 × {𝑋}) ∘f · (𝑉 × {𝑌}))))
233, 11, 14ofc12 7739 . . 3 (𝜑 → ((𝑉 × {𝑋}) ∘f · (𝑉 × {𝑌})) = (𝑉 × {(𝑋 · 𝑌)}))
2423oveq2d 7461 . 2 (𝜑 → (𝐺f · ((𝑉 × {𝑋}) ∘f · (𝑉 × {𝑌}))) = (𝐺f · (𝑉 × {(𝑋 · 𝑌)})))
2522, 24eqtr2d 2775 1 (𝜑 → (𝐺f · (𝑉 × {(𝑋 · 𝑌)})) = ((𝐺f · (𝑉 × {𝑋})) ∘f · (𝑉 × {𝑌})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2103  Vcvv 3482  {csn 4648   × cxp 5697  wf 6568  cfv 6572  (class class class)co 7445  f cof 7708  Basecbs 17253  .rcmulr 17307  Scalarcsca 17309  Ringcrg 20255  LModclmod 20875  LFnlclfn 38962
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-of 7710  df-om 7900  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-er 8759  df-map 8882  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-nn 12290  df-2 12352  df-sets 17206  df-slot 17224  df-ndx 17236  df-base 17254  df-plusg 17319  df-sgrp 18752  df-mnd 18768  df-mgp 20157  df-ring 20257  df-lmod 20877  df-lfl 38963
This theorem is referenced by:  ldualvsass  39046
  Copyright terms: Public domain W3C validator