Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  linds0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem linds0 47146
Description: The empty set is always a linearly independent subset. (Contributed by AV, 13-Apr-2019.) (Revised by AV, 27-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
linds0 (𝑀 ∈ 𝑉 β†’ βˆ… linIndS 𝑀)

Proof of Theorem linds0
Dummy variables 𝑓 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ral0 4513 . . . . . 6 βˆ€π‘₯ ∈ βˆ… (βˆ…β€˜π‘₯) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
212a1i 12 . . . . 5 (𝑀 ∈ 𝑉 β†’ ((βˆ… finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ (βˆ…( linC β€˜π‘€)βˆ…) = (0gβ€˜π‘€)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ βˆ… (βˆ…β€˜π‘₯) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))))
3 0ex 5308 . . . . . 6 βˆ… ∈ V
4 breq1 5152 . . . . . . . . 9 (𝑓 = βˆ… β†’ (𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↔ βˆ… finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))))
5 oveq1 7416 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = βˆ… β†’ (𝑓( linC β€˜π‘€)βˆ…) = (βˆ…( linC β€˜π‘€)βˆ…))
65eqeq1d 2735 . . . . . . . . 9 (𝑓 = βˆ… β†’ ((𝑓( linC β€˜π‘€)βˆ…) = (0gβ€˜π‘€) ↔ (βˆ…( linC β€˜π‘€)βˆ…) = (0gβ€˜π‘€)))
74, 6anbi12d 632 . . . . . . . 8 (𝑓 = βˆ… β†’ ((𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)βˆ…) = (0gβ€˜π‘€)) ↔ (βˆ… finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ (βˆ…( linC β€˜π‘€)βˆ…) = (0gβ€˜π‘€))))
8 fveq1 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = βˆ… β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = (βˆ…β€˜π‘₯))
98eqeq1d 2735 . . . . . . . . 9 (𝑓 = βˆ… β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↔ (βˆ…β€˜π‘₯) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))))
109ralbidv 3178 . . . . . . . 8 (𝑓 = βˆ… β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ βˆ… (π‘“β€˜π‘₯) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ βˆ… (βˆ…β€˜π‘₯) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))))
117, 10imbi12d 345 . . . . . . 7 (𝑓 = βˆ… β†’ (((𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)βˆ…) = (0gβ€˜π‘€)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ βˆ… (π‘“β€˜π‘₯) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))) ↔ ((βˆ… finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ (βˆ…( linC β€˜π‘€)βˆ…) = (0gβ€˜π‘€)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ βˆ… (βˆ…β€˜π‘₯) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))))
1211ralsng 4678 . . . . . 6 (βˆ… ∈ V β†’ (βˆ€π‘“ ∈ {βˆ…} ((𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)βˆ…) = (0gβ€˜π‘€)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ βˆ… (π‘“β€˜π‘₯) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))) ↔ ((βˆ… finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ (βˆ…( linC β€˜π‘€)βˆ…) = (0gβ€˜π‘€)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ βˆ… (βˆ…β€˜π‘₯) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))))
133, 12mp1i 13 . . . . 5 (𝑀 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘“ ∈ {βˆ…} ((𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)βˆ…) = (0gβ€˜π‘€)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ βˆ… (π‘“β€˜π‘₯) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))) ↔ ((βˆ… finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ (βˆ…( linC β€˜π‘€)βˆ…) = (0gβ€˜π‘€)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ βˆ… (βˆ…β€˜π‘₯) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))))
142, 13mpbird 257 . . . 4 (𝑀 ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘“ ∈ {βˆ…} ((𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)βˆ…) = (0gβ€˜π‘€)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ βˆ… (π‘“β€˜π‘₯) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))))
15 fvex 6905 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∈ V
16 map0e 8876 . . . . . . 7 ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∈ V β†’ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m βˆ…) = 1o)
1715, 16mp1i 13 . . . . . 6 (𝑀 ∈ 𝑉 β†’ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m βˆ…) = 1o)
18 df1o2 8473 . . . . . 6 1o = {βˆ…}
1917, 18eqtrdi 2789 . . . . 5 (𝑀 ∈ 𝑉 β†’ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m βˆ…) = {βˆ…})
2019raleqdv 3326 . . . 4 (𝑀 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m βˆ…)((𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)βˆ…) = (0gβ€˜π‘€)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ βˆ… (π‘“β€˜π‘₯) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))) ↔ βˆ€π‘“ ∈ {βˆ…} ((𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)βˆ…) = (0gβ€˜π‘€)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ βˆ… (π‘“β€˜π‘₯) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))))
2114, 20mpbird 257 . . 3 (𝑀 ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m βˆ…)((𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)βˆ…) = (0gβ€˜π‘€)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ βˆ… (π‘“β€˜π‘₯) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))))
22 0elpw 5355 . . 3 βˆ… ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)
2321, 22jctil 521 . 2 (𝑀 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ… ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m βˆ…)((𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)βˆ…) = (0gβ€˜π‘€)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ βˆ… (π‘“β€˜π‘₯) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))))
24 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
25 eqid 2733 . . . 4 (0gβ€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘€)
26 eqid 2733 . . . 4 (Scalarβ€˜π‘€) = (Scalarβ€˜π‘€)
27 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
28 eqid 2733 . . . 4 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
2924, 25, 26, 27, 28islininds 47127 . . 3 ((βˆ… ∈ V ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) β†’ (βˆ… linIndS 𝑀 ↔ (βˆ… ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m βˆ…)((𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)βˆ…) = (0gβ€˜π‘€)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ βˆ… (π‘“β€˜π‘₯) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))))))
303, 29mpan 689 . 2 (𝑀 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ… linIndS 𝑀 ↔ (βˆ… ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m βˆ…)((𝑓 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)βˆ…) = (0gβ€˜π‘€)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ βˆ… (π‘“β€˜π‘₯) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))))))
3123, 30mpbird 257 1 (𝑀 ∈ 𝑉 β†’ βˆ… linIndS 𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  {csn 4629   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  1oc1o 8459   ↑m cmap 8820   finSupp cfsupp 9361  Basecbs 17144  Scalarcsca 17200  0gc0g 17385   linC clinc 47085   linIndS clininds 47121
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1o 8466  df-map 8822  df-lininds 47123
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator