Theorem lindslininds 45805

Description: Equivalence of definitions df-linds 21014 and df-lininds 45783 for (linear) independence for (left) modules. (Contributed by AV, 26-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
lindslininds	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑆 linIndS 𝑀 ↔ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑀)))

Proof of Theorem lindslininds

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
3		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑀)) = (0g‘(Scalar‘𝑀))
4		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
5	1, 2, 3, 4	lindslinindsimp1 45798	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) → ((𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ∧ ∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)𝑆) = (0g‘𝑀)) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑀)))) → (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 ∀𝑔 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))}) ¬ (𝑔( ·𝑠 ‘𝑀)𝑠) ∈ ((LSpan‘𝑀)‘(𝑆 ∖ {𝑠})))))
6	1, 2, 3, 4	lindslinindsimp2 45804	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) → ((𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 ∀𝑔 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))}) ¬ (𝑔( ·𝑠 ‘𝑀)𝑠) ∈ ((LSpan‘𝑀)‘(𝑆 ∖ {𝑠}))) → (𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ∧ ∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)𝑆) = (0g‘𝑀)) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑀))))))
7	5, 6	impbid 211	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) → ((𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ∧ ∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)𝑆) = (0g‘𝑀)) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑀)))) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 ∀𝑔 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))}) ¬ (𝑔( ·𝑠 ‘𝑀)𝑠) ∈ ((LSpan‘𝑀)‘(𝑆 ∖ {𝑠})))))
8		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
9	8, 4, 1, 2, 3	islininds 45787	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑆 linIndS 𝑀 ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ∧ ∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)𝑆) = (0g‘𝑀)) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑀))))))
10		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
11		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (LSpan‘𝑀) = (LSpan‘𝑀)
12	8, 10, 11, 1, 2, 3	islinds2 21020	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (𝑆 ∈ (LIndS‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 ∀𝑔 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))}) ¬ (𝑔( ·𝑠 ‘𝑀)𝑠) ∈ ((LSpan‘𝑀)‘(𝑆 ∖ {𝑠})))))
13	12	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑆 ∈ (LIndS‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 ∀𝑔 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))}) ¬ (𝑔( ·𝑠 ‘𝑀)𝑠) ∈ ((LSpan‘𝑀)‘(𝑆 ∖ {𝑠})))))
14	7, 9, 13	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑆 linIndS 𝑀 ↔ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑀)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   ∖ cdif 3884   ⊆ wss 3887  𝒫 cpw 4533  {csn 4561   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ↑_m cmap 8615   finSupp cfsupp 9128  Basecbs 16912  Scalarcsca 16965   ·_𝑠 cvsca 16966  0_gc0g 17150  LModclmod 20123  LSpanclspn 20233  LIndSclinds 21012   linC clinc 45745   linIndS clininds 45781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-lindf 21013  df-linds 21014  df-linc 45747  df-lco 45748  df-lininds 45783

This theorem is referenced by: (None)