Theorem lindslininds 47229

Description: Equivalence of definitions df-linds 21368 and df-lininds 47207 for (linear) independence for (left) modules. (Contributed by AV, 26-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
lindslininds	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑆 linIndS 𝑀 ↔ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑀)))

Proof of Theorem lindslininds

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
2		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
3		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑀)) = (0g‘(Scalar‘𝑀))
4		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
5	1, 2, 3, 4	lindslinindsimp1 47222	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) → ((𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ∧ ∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)𝑆) = (0g‘𝑀)) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑀)))) → (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 ∀𝑔 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))}) ¬ (𝑔( ·𝑠 ‘𝑀)𝑠) ∈ ((LSpan‘𝑀)‘(𝑆 ∖ {𝑠})))))
6	1, 2, 3, 4	lindslinindsimp2 47228	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) → ((𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 ∀𝑔 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))}) ¬ (𝑔( ·𝑠 ‘𝑀)𝑠) ∈ ((LSpan‘𝑀)‘(𝑆 ∖ {𝑠}))) → (𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ∧ ∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)𝑆) = (0g‘𝑀)) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑀))))))
7	5, 6	impbid 211	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) → ((𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ∧ ∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)𝑆) = (0g‘𝑀)) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑀)))) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 ∀𝑔 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))}) ¬ (𝑔( ·𝑠 ‘𝑀)𝑠) ∈ ((LSpan‘𝑀)‘(𝑆 ∖ {𝑠})))))
8		eqid 2732	. . 3 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
9	8, 4, 1, 2, 3	islininds 47211	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑆 linIndS 𝑀 ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ∧ ∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)𝑆) = (0g‘𝑀)) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑀))))))
10		eqid 2732	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
11		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (LSpan‘𝑀) = (LSpan‘𝑀)
12	8, 10, 11, 1, 2, 3	islinds2 21374	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (𝑆 ∈ (LIndS‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 ∀𝑔 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))}) ¬ (𝑔( ·𝑠 ‘𝑀)𝑠) ∈ ((LSpan‘𝑀)‘(𝑆 ∖ {𝑠})))))
13	12	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑆 ∈ (LIndS‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 ∀𝑔 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))}) ¬ (𝑔( ·𝑠 ‘𝑀)𝑠) ∈ ((LSpan‘𝑀)‘(𝑆 ∖ {𝑠})))))
14	7, 9, 13	3bitr4d 310	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑆 linIndS 𝑀 ↔ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑀)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061   ∖ cdif 3945   ⊆ wss 3948  𝒫 cpw 4602  {csn 4628   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411   ↑_m cmap 8822   finSupp cfsupp 9363  Basecbs 17146  Scalarcsca 17202   ·_𝑠 cvsca 17203  0_gc0g 17387  LModclmod 20475  LSpanclspn 20587  LIndSclinds 21366   linC clinc 47169   linIndS clininds 47205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-hash 14293  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18673  df-submnd 18674  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-mulg 18953  df-subg 19005  df-ghm 19092  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-abl 19653  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-lmod 20477  df-lss 20548  df-lsp 20588  df-lindf 21367  df-linds 21368  df-linc 47171  df-lco 47172  df-lininds 47207

This theorem is referenced by: (None)