Theorem lindslininds 49164

Description: Equivalence of definitions df-linds 21926 and df-lininds 49142 for (linear) independence for (left) modules. (Contributed by AV, 26-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
lindslininds	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑆 linIndS 𝑀 ↔ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑀)))

Proof of Theorem lindslininds

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
2		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
3		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑀)) = (0g‘(Scalar‘𝑀))
4		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
5	1, 2, 3, 4	lindslinindsimp1 49157	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) → ((𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ∧ ∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)𝑆) = (0g‘𝑀)) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑀)))) → (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 ∀𝑔 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))}) ¬ (𝑔( ·𝑠 ‘𝑀)𝑠) ∈ ((LSpan‘𝑀)‘(𝑆 ∖ {𝑠})))))
6	1, 2, 3, 4	lindslinindsimp2 49163	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) → ((𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 ∀𝑔 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))}) ¬ (𝑔( ·𝑠 ‘𝑀)𝑠) ∈ ((LSpan‘𝑀)‘(𝑆 ∖ {𝑠}))) → (𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ∧ ∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)𝑆) = (0g‘𝑀)) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑀))))))
7	5, 6	impbid 215	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) → ((𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ∧ ∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)𝑆) = (0g‘𝑀)) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑀)))) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 ∀𝑔 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))}) ¬ (𝑔( ·𝑠 ‘𝑀)𝑠) ∈ ((LSpan‘𝑀)‘(𝑆 ∖ {𝑠})))))
8		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
9	8, 4, 1, 2, 3	islininds 49146	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑆 linIndS 𝑀 ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ∧ ∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)𝑆) = (0g‘𝑀)) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑀))))))
10		eqid 2769	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
11		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (LSpan‘𝑀) = (LSpan‘𝑀)
12	8, 10, 11, 1, 2, 3	islinds2 21932	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (𝑆 ∈ (LIndS‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 ∀𝑔 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))}) ¬ (𝑔( ·𝑠 ‘𝑀)𝑠) ∈ ((LSpan‘𝑀)‘(𝑆 ∖ {𝑠})))))
13	12	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑆 ∈ (LIndS‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 ∀𝑔 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))}) ¬ (𝑔( ·𝑠 ‘𝑀)𝑠) ∈ ((LSpan‘𝑀)‘(𝑆 ∖ {𝑠})))))
14	7, 9, 13	3bitr4d 314	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑆 linIndS 𝑀 ↔ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑀)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085   ∖ cdif 3908   ⊆ wss 3911  𝒫 cpw 4565  {csn 4592   class class class wbr 5111  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ↑_m cmap 8824   finSupp cfsupp 9321  Basecbs 17269  Scalarcsca 17313   ·_𝑠 cvsca 17314  0_gc0g 17492  LModclmod 20959  LSpanclspn 21070  LIndSclinds 21924   linC clinc 49104   linIndS clininds 49140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-hash 14367  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-mhm 18841  df-submnd 18842  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-sbg 19005  df-mulg 19134  df-subg 19189  df-ghm 19284  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-lmod 20961  df-lss 21031  df-lsp 21071  df-lindf 21925  df-linds 21926  df-linc 49106  df-lco 49107  df-lininds 49142

This theorem is referenced by: (None)