Theorem lindslininds 47307

Description: Equivalence of definitions df-linds 21672 and df-lininds 47285 for (linear) independence for (left) modules. (Contributed by AV, 26-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
lindslininds	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑆 linIndS 𝑀 ↔ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑀)))

Proof of Theorem lindslininds

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
2		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
3		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑀)) = (0g‘(Scalar‘𝑀))
4		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
5	1, 2, 3, 4	lindslinindsimp1 47300	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) → ((𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ∧ ∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)𝑆) = (0g‘𝑀)) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑀)))) → (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 ∀𝑔 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))}) ¬ (𝑔( ·𝑠 ‘𝑀)𝑠) ∈ ((LSpan‘𝑀)‘(𝑆 ∖ {𝑠})))))
6	1, 2, 3, 4	lindslinindsimp2 47306	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) → ((𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 ∀𝑔 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))}) ¬ (𝑔( ·𝑠 ‘𝑀)𝑠) ∈ ((LSpan‘𝑀)‘(𝑆 ∖ {𝑠}))) → (𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ∧ ∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)𝑆) = (0g‘𝑀)) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑀))))))
7	5, 6	impbid 211	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) → ((𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ∧ ∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)𝑆) = (0g‘𝑀)) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑀)))) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 ∀𝑔 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))}) ¬ (𝑔( ·𝑠 ‘𝑀)𝑠) ∈ ((LSpan‘𝑀)‘(𝑆 ∖ {𝑠})))))
8		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
9	8, 4, 1, 2, 3	islininds 47289	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑆 linIndS 𝑀 ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ∧ ∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)𝑆) = (0g‘𝑀)) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑀))))))
10		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
11		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (LSpan‘𝑀) = (LSpan‘𝑀)
12	8, 10, 11, 1, 2, 3	islinds2 21678	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (𝑆 ∈ (LIndS‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 ∀𝑔 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))}) ¬ (𝑔( ·𝑠 ‘𝑀)𝑠) ∈ ((LSpan‘𝑀)‘(𝑆 ∖ {𝑠})))))
13	12	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑆 ∈ (LIndS‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 ∀𝑔 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))}) ¬ (𝑔( ·𝑠 ‘𝑀)𝑠) ∈ ((LSpan‘𝑀)‘(𝑆 ∖ {𝑠})))))
14	7, 9, 13	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑆 linIndS 𝑀 ↔ 𝑆 ∈ (LIndS‘𝑀)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060   ∖ cdif 3945   ⊆ wss 3948  𝒫 cpw 4602  {csn 4628   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8826   finSupp cfsupp 9367  Basecbs 17151  Scalarcsca 17207   ·_𝑠 cvsca 17208  0_gc0g 17392  LModclmod 20702  LSpanclspn 20814  LIndSclinds 21670   linC clinc 47247   linIndS clininds 47283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-hash 14298  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18994  df-subg 19046  df-ghm 19135  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lsp 20815  df-lindf 21671  df-linds 21672  df-linc 47249  df-lco 47250  df-lininds 47285

This theorem is referenced by: (None)