Theorem lnfnaddmuli 32434

Description: Sum/product property of a linear Hilbert space functional. (Contributed by NM, 13-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
lnfnl.1	⊢ 𝑇 ∈ LinFn

Assertion

Ref	Expression
lnfnaddmuli	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐵 +ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶))) = ((𝑇‘𝐵) + (𝐴 · (𝑇‘𝐶))))

Proof of Theorem lnfnaddmuli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvmulcl 31402	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
2		lnfnl.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ∈ LinFn
3	2	lnfnaddi 32432	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐵 +ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶))) = ((𝑇‘𝐵) + (𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐶))))
4	1, 3	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ)) → (𝑇‘(𝐵 +ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶))) = ((𝑇‘𝐵) + (𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐶))))
5	4	3impb 1132	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐵 +ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶))) = ((𝑇‘𝐵) + (𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐶))))
6	5	3com12 1141	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐵 +ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶))) = ((𝑇‘𝐵) + (𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐶))))
7	2	lnfnmuli 32433	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐶)) = (𝐴 · (𝑇‘𝐶)))
8	7	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐶)) = (𝐴 · (𝑇‘𝐶)))
9	8	oveq2d 7439	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝐵) + (𝑇‘(𝐴 ·ℎ 𝐶))) = ((𝑇‘𝐵) + (𝐴 · (𝑇‘𝐶))))
10	6, 9	eqtrd 2801	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐵 +ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶))) = ((𝑇‘𝐵) + (𝐴 · (𝑇‘𝐶))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116   + caddc 11121   · cmul 11123   ℋchba 31308   +_ℎ cva 31309   ·_ℎ csm 31310  LinFnclf 31343

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-hilex 31388  ax-hv0cl 31392  ax-hvaddid 31393  ax-hfvmul 31394  ax-hvmulid 31395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-ltxr 11266  df-sub 11461  df-lnfn 32237

This theorem is used by:  lnfnsubi  32435