Theorem lspsnel3 19756

Description: A member of the span of the singleton of a vector is a member of a subspace containing the vector. (elspansn3 29355 analog.) (Contributed by NM, 4-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspsnss.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsnel3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspsnel3.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lspsnel3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
lspsnel3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}))

Assertion

Ref	Expression
lspsnel3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem lspsnel3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnel3.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lspsnel3.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
3		lspsnel3.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
4		lspsnss.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
5		lspsnss.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
6	4, 5	lspsnss 19755	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
8		lspsnel3.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
9	7, 8	sseldd 3916	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881  {csn 4525  ‘cfv 6324  LModclmod 19627  LSubSpclss 19696  LSpanclspn 19736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lsp 19737

This theorem is referenced by:  lspsnel4  19889