Theorem lspsnsubn0 21107

Description: Unequal singleton spans imply nonzero vector subtraction. (Contributed by NM, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnsubn0.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnsubn0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspsnsubn0.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
lspsnsubn0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspsnsubn0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspsnsubn0.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lspsnsubn0.e	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
lspsnsubn0	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ≠ 0 )

Proof of Theorem lspsnsubn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnsubn0.e	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
2		lspsnsubn0.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3		lspsnsubn0.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
4		lspsnsubn0.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
5		lspsnsubn0.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		lspsnsubn0.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
7		lspsnsubn0.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑊)
8	5, 6, 7	lmodsubeq0 20884	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑋 − 𝑌) = 0 ↔ 𝑋 = 𝑌))
9	2, 3, 4, 8	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) = 0 ↔ 𝑋 = 𝑌))
10		sneq 4592	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → {𝑋} = {𝑌})
11	10	fveq2d 6846	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
12	9, 11	biimtrdi 253	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) = 0 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
13	12	necon3d 2954	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) → (𝑋 − 𝑌) ≠ 0 ))
14	1, 13	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {csn 4582  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  0_gc0g 17371  -_gcsg 18877  LModclmod 20823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-lmod 20825

This theorem is referenced by:  mapdpglem4N  42046