Theorem lspsnsubn0 19911

Description: Unequal singleton spans imply nonzero vector subtraction. (Contributed by NM, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnsubn0.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnsubn0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspsnsubn0.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
lspsnsubn0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspsnsubn0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspsnsubn0.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lspsnsubn0.e	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
lspsnsubn0	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ≠ 0 )

Proof of Theorem lspsnsubn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnsubn0.e	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
2		lspsnsubn0.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3		lspsnsubn0.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
4		lspsnsubn0.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
5		lspsnsubn0.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		lspsnsubn0.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
7		lspsnsubn0.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑊)
8	5, 6, 7	lmodsubeq0 19692	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑋 − 𝑌) = 0 ↔ 𝑋 = 𝑌))
9	2, 3, 4, 8	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) = 0 ↔ 𝑋 = 𝑌))
10		sneq 4576	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → {𝑋} = {𝑌})
11	10	fveq2d 6673	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
12	9, 11	syl6bi 255	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) = 0 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
13	12	necon3d 3037	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) → (𝑋 − 𝑌) ≠ 0 ))
14	1, 13	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  {csn 4566  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  Basecbs 16482  0_gc0g 16712  -_gcsg 18104  LModclmod 19633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-0g 16714  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-grp 18105  df-minusg 18106  df-sbg 18107  df-lmod 19635

This theorem is referenced by:  mapdpglem4N  38811