Theorem lspsnsubn0 21165

Description: Unequal singleton spans imply nonzero vector subtraction. (Contributed by NM, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnsubn0.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnsubn0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspsnsubn0.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
lspsnsubn0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspsnsubn0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspsnsubn0.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lspsnsubn0.e	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
lspsnsubn0	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ≠ 0 )

Proof of Theorem lspsnsubn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnsubn0.e	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
2		lspsnsubn0.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3		lspsnsubn0.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
4		lspsnsubn0.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
5		lspsnsubn0.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		lspsnsubn0.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
7		lspsnsubn0.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑊)
8	5, 6, 7	lmodsubeq0 20941	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑋 − 𝑌) = 0 ↔ 𝑋 = 𝑌))
9	2, 3, 4, 8	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) = 0 ↔ 𝑋 = 𝑌))
10		sneq 4658	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → {𝑋} = {𝑌})
11	10	fveq2d 6924	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
12	9, 11	biimtrdi 253	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) = 0 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
13	12	necon3d 2967	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) → (𝑋 − 𝑌) ≠ 0 ))
14	1, 13	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  {csn 4648  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  0_gc0g 17499  -_gcsg 18975  LModclmod 20880

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-lmod 20882

This theorem is referenced by:  mapdpglem4N  41633