Theorem lspsnsubn0 20383

Description: Unequal singleton spans imply nonzero vector subtraction. (Contributed by NM, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnsubn0.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnsubn0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspsnsubn0.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
lspsnsubn0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspsnsubn0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspsnsubn0.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lspsnsubn0.e	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
lspsnsubn0	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ≠ 0 )

Proof of Theorem lspsnsubn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnsubn0.e	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
2		lspsnsubn0.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3		lspsnsubn0.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
4		lspsnsubn0.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
5		lspsnsubn0.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		lspsnsubn0.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
7		lspsnsubn0.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑊)
8	5, 6, 7	lmodsubeq0 20163	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑋 − 𝑌) = 0 ↔ 𝑋 = 𝑌))
9	2, 3, 4, 8	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) = 0 ↔ 𝑋 = 𝑌))
10		sneq 4576	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → {𝑋} = {𝑌})
11	10	fveq2d 6772	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
12	9, 11	syl6bi 252	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) = 0 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
13	12	necon3d 2965	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) → (𝑋 − 𝑌) ≠ 0 ))
14	1, 13	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2944  {csn 4566  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  Basecbs 16893  0_gc0g 17131  -_gcsg 18560  LModclmod 20104

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-0g 17133  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-grp 18561  df-minusg 18562  df-sbg 18563  df-lmod 20106

This theorem is referenced by:  mapdpglem4N  39669