MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodsubeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodsubeq0 19314
Description: If the difference between two vectors is zero, they are equal. (hvsubeq0 28497 analog.) (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodsubeq0.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodsubeq0.o 0 = (0g𝑊)
lmodsubeq0.m = (-g𝑊)
Assertion
Ref Expression
lmodsubeq0 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝐴 𝐵) = 0𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem lmodsubeq0
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 19262 . 2 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2 lmodsubeq0.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 lmodsubeq0.o . . 3 0 = (0g𝑊)
4 lmodsubeq0.m . . 3 = (-g𝑊)
52, 3, 4grpsubeq0 17888 . 2 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝐴 𝐵) = 0𝐴 = 𝐵))
61, 5syl3an1 1163 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝐴 𝐵) = 0𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  0gc0g 16486  Grpcgrp 17809  -gcsg 17811  LModclmod 19255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-0g 16488  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-lmod 19257
This theorem is referenced by:  lvecvscan  19506  lvecvscan2  19507  lspsnsubn0  19536  ttgbtwnid  26233  lclkrlem2p  37676  lcfrlem31  37727  hdmaprnlem9N  38011
  Copyright terms: Public domain W3C validator