Theorem lmodsubeq0 20915

Description: If the difference between two vectors is zero, they are equal. (hvsubeq0 31161 analog.) (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodsubeq0.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodsubeq0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lmodsubeq0.m	⊢ − = (-g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmodsubeq0	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem lmodsubeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodgrp 20861	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2		lmodsubeq0.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lmodsubeq0.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
4		lmodsubeq0.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑊)
5	2, 3, 4	grpsubeq0 18997	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
6	1, 5	syl3an1 1170	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  Basecbs 17174  0_gc0g 17397  Grpcgrp 18904  -_gcsg 18906  LModclmod 20854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-lmod 20856

This theorem is referenced by:  lvecvscan  21108  lvecvscan2  21109  lspsnsubn0  21137  ttgbtwnid  28974  lclkrlem2p  42029  lcfrlem31  42080  hdmaprnlem9N  42364