Theorem lmodsubeq0 20808

Description: If the difference between two vectors is zero, they are equal. (hvsubeq0 30922 analog.) (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodsubeq0.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodsubeq0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lmodsubeq0.m	⊢ − = (-g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmodsubeq0	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem lmodsubeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodgrp 20754	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2		lmodsubeq0.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lmodsubeq0.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
4		lmodsubeq0.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑊)
5	2, 3, 4	grpsubeq0 18986	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
6	1, 5	syl3an1 1160	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  0_gc0g 17420  Grpcgrp 18894  -_gcsg 18896  LModclmod 20747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-lmod 20749

This theorem is referenced by:  lvecvscan  21003  lvecvscan2  21004  lspsnsubn0  21032  ttgbtwnid  28738  lclkrlem2p  41051  lcfrlem31  41102  hdmaprnlem9N  41386