Theorem lmodsubeq0 20883

Description: If the difference between two vectors is zero, they are equal. (hvsubeq0 31054 analog.) (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodsubeq0.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodsubeq0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lmodsubeq0.m	⊢ − = (-g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmodsubeq0	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem lmodsubeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodgrp 20829	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2		lmodsubeq0.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lmodsubeq0.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
4		lmodsubeq0.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑊)
5	2, 3, 4	grpsubeq0 19014	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
6	1, 5	syl3an1 1163	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17233  0_gc0g 17458  Grpcgrp 18921  -_gcsg 18923  LModclmod 20822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-lmod 20824

This theorem is referenced by:  lvecvscan  21077  lvecvscan2  21078  lspsnsubn0  21106  ttgbtwnid  28868  lclkrlem2p  41546  lcfrlem31  41597  hdmaprnlem9N  41881