Theorem lmodsubeq0 20911

Description: If the difference between two vectors is zero, they are equal. (hvsubeq0 31158 analog.) (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodsubeq0.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodsubeq0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lmodsubeq0.m	⊢ − = (-g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmodsubeq0	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem lmodsubeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodgrp 20857	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2		lmodsubeq0.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lmodsubeq0.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
4		lmodsubeq0.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑊)
5	2, 3, 4	grpsubeq0 18997	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
6	1, 5	syl3an1 1164	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  Basecbs 17174  0_gc0g 17397  Grpcgrp 18904  -_gcsg 18906  LModclmod 20850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5521  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-lmod 20852

This theorem is referenced by:  lvecvscan  21105  lvecvscan2  21106  lspsnsubn0  21134  ttgbtwnid  28970  lclkrlem2p  41986  lcfrlem31  42037  hdmaprnlem9N  42321