Theorem lmodsubeq0 19958

Description: If the difference between two vectors is zero, they are equal. (hvsubeq0 29149 analog.) (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodsubeq0.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodsubeq0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lmodsubeq0.m	⊢ − = (-g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmodsubeq0	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem lmodsubeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodgrp 19906	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2		lmodsubeq0.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lmodsubeq0.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
4		lmodsubeq0.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑊)
5	2, 3, 4	grpsubeq0 18449	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
6	1, 5	syl3an1 1165	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  0_gc0g 16944  Grpcgrp 18365  -_gcsg 18367  LModclmod 19899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-0g 16946  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-sbg 18370  df-lmod 19901

This theorem is referenced by:  lvecvscan  20148  lvecvscan2  20149  lspsnsubn0  20177  ttgbtwnid  26975  lclkrlem2p  39273  lcfrlem31  39324  hdmaprnlem9N  39608