Theorem mapdpglem4N 39384

Description: Lemma for mapdpg 39414. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdpglem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdpglem.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdpglem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
mapdpglem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
mapdpglem1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f	⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te	⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a	⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
mapdpglem3.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdpglem3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpglem3.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpglem4.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑈)
mapdpglem.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
mapdpglem4N	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ≠ 𝑄)

Distinct variable groups:   𝑡, −   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐴(𝑡)   𝐵(𝑡)   ⊕ (𝑡)   𝑄(𝑡)   𝑅(𝑡)   · (𝑡)   𝑈(𝑡)   𝐹(𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑡)   𝐾(𝑡)   𝑉(𝑡)   𝑊(𝑡)

Proof of Theorem mapdpglem4N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdpglem.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
2		mapdpglem4.q	. 2 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝑈)
3		mapdpglem.s	. 2 ⊢ − = (-g‘𝑈)
4		mapdpglem.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		mapdpglem.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		mapdpglem.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7	4, 5, 6	dvhlmod 38818	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
8		mapdpglem.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
9		mapdpglem.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
10		mapdpglem.ne	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
11	1, 2, 3, 7, 8, 9, 10	lspsnsubn0 20149	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ≠ 𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2935  {csn 4531  ‘cfv 6369  (class class class)co 7202  Basecbs 16684  Scalarcsca 16770   ·_𝑠 cvsca 16771  0_gc0g 16916  -_gcsg 18339  LSSumclsm 18995  LSpanclspn 19980  HLchlt 37058  LHypclh 37692  DVecHcdvh 38786  LCDualclcd 39294  mapdcmpd 39332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5168  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-cnex 10768  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789  ax-riotaBAD 36661

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-om 7634  df-1st 7750  df-2nd 7751  df-tpos 7957  df-undef 8004  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-1o 8191  df-er 8380  df-map 8499  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-fin 8619  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-nn 11814  df-2 11876  df-3 11877  df-4 11878  df-5 11879  df-6 11880  df-n0 12074  df-z 12160  df-uz 12422  df-fz 13079  df-struct 16686  df-ndx 16687  df-slot 16688  df-base 16690  df-sets 16691  df-ress 16692  df-plusg 16780  df-mulr 16781  df-sca 16783  df-vsca 16784  df-0g 16918  df-proset 17774  df-poset 17792  df-plt 17808  df-lub 17824  df-glb 17825  df-join 17826  df-meet 17827  df-p0 17903  df-p1 17904  df-lat 17910  df-clat 17977  df-mgm 18086  df-sgrp 18135  df-mnd 18146  df-grp 18340  df-minusg 18341  df-sbg 18342  df-mgp 19477  df-ur 19489  df-ring 19536  df-oppr 19613  df-dvdsr 19631  df-unit 19632  df-invr 19662  df-dvr 19673  df-drng 19741  df-lmod 19873  df-lvec 20112  df-oposet 36884  df-ol 36886  df-oml 36887  df-covers 36974  df-ats 36975  df-atl 37006  df-cvlat 37030  df-hlat 37059  df-llines 37206  df-lplanes 37207  df-lvols 37208  df-lines 37209  df-psubsp 37211  df-pmap 37212  df-padd 37504  df-lhyp 37696  df-laut 37697  df-ldil 37812  df-ltrn 37813  df-trl 37867  df-tendo 38463  df-edring 38465  df-dvech 38787

This theorem is referenced by:  mapdpglem5N  39385