Theorem lvecindp2 21056

Description: Sums of independent vectors must have equal coefficients. (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecindp2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lvecindp2.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lvecindp2.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lvecindp2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lvecindp2.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lvecindp2.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lvecindp2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lvecindp2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lvecindp2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lvecindp2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lvecindp2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
lvecindp2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
lvecindp2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
lvecindp2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐾)
lvecindp2.q	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
lvecindp2.e	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐶 · 𝑋) + (𝐷 · 𝑌)))

Assertion

Ref	Expression
lvecindp2	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))

Proof of Theorem lvecindp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecindp2.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐶 · 𝑋) + (𝐷 · 𝑌)))
2		lvecindp2.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
3		lvecindp2.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
4		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Cntz‘𝑊) = (Cntz‘𝑊)
5		lvecindp2.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
6		lveclmod 21020	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
8		lvecindp2.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
9	8	eldifad 3929	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
10		lvecindp2.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
11		lvecindp2.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
12	10, 11	lspsnsubg 20893	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
13	7, 9, 12	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
14		lvecindp2.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
15	14	eldifad 3929	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
16	10, 11	lspsnsubg 20893	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
17	7, 15, 16	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
18		lvecindp2.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
19	10, 3, 11, 5, 9, 15, 18	lspdisj2 21044	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })
20		lmodabl 20822	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
21	7, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
22	4, 21, 13, 17	ablcntzd 19794	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑌})))
23		lvecindp2.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
24		lvecindp2.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
25		lvecindp2.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
26		lvecindp2.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
27	10, 23, 24, 25, 11, 7, 26, 9	ellspsni 20914	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
28		lvecindp2.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
29	10, 23, 24, 25, 11, 7, 28, 9	ellspsni 20914	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
30		lvecindp2.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
31	10, 23, 24, 25, 11, 7, 30, 15	ellspsni 20914	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑌}))
32		lvecindp2.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐾)
33	10, 23, 24, 25, 11, 7, 32, 15	ellspsni 20914	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑌}))
34	2, 3, 4, 13, 17, 19, 22, 27, 29, 31, 33	subgdisjb 19630	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐶 · 𝑋) + (𝐷 · 𝑌)) ↔ ((𝐴 · 𝑋) = (𝐶 · 𝑋) ∧ (𝐵 · 𝑌) = (𝐷 · 𝑌))))
35	1, 34	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝐶 · 𝑋) ∧ (𝐵 · 𝑌) = (𝐷 · 𝑌)))
36		eldifsni 4757	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
37	8, 36	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
38	10, 23, 24, 25, 3, 5, 26, 28, 9, 37	lvecvscan2 21029	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝐶 · 𝑋) ↔ 𝐴 = 𝐶))
39		eldifsni 4757	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑌 ≠ 0 )
40	14, 39	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
41	10, 23, 24, 25, 3, 5, 30, 32, 15, 40	lvecvscan2 21029	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝑌) = (𝐷 · 𝑌) ↔ 𝐵 = 𝐷))
42	38, 41	anbi12d 632	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝑋) = (𝐶 · 𝑋) ∧ (𝐵 · 𝑌) = (𝐷 · 𝑌)) ↔ (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
43	35, 42	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ∖ cdif 3914  {csn 4592  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  Scalarcsca 17230   ·_𝑠 cvsca 17231  0_gc0g 17409  SubGrpcsubg 19059  Cntzccntz 19254  Abelcabl 19718  LModclmod 20773  LSpanclspn 20884  LVecclvec 21016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-subg 19062  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-drng 20647  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-lsp 20885  df-lvec 21017

This theorem is referenced by:  mapdpglem30  41703  baerlem3lem1  41708  baerlem5alem1  41709  hdmap14lem9  41877