Theorem lvecindp2 21129

Description: Sums of independent vectors must have equal coefficients. (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecindp2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lvecindp2.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lvecindp2.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lvecindp2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lvecindp2.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lvecindp2.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lvecindp2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lvecindp2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lvecindp2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lvecindp2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lvecindp2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
lvecindp2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
lvecindp2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
lvecindp2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐾)
lvecindp2.q	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
lvecindp2.e	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐶 · 𝑋) + (𝐷 · 𝑌)))

Assertion

Ref	Expression
lvecindp2	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))

Proof of Theorem lvecindp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecindp2.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐶 · 𝑋) + (𝐷 · 𝑌)))
2		lvecindp2.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
3		lvecindp2.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Cntz‘𝑊) = (Cntz‘𝑊)
5		lvecindp2.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
6		lveclmod 21093	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
8		lvecindp2.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
9	8	eldifad 3902	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
10		lvecindp2.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
11		lvecindp2.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
12	10, 11	lspsnsubg 20966	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
13	7, 9, 12	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
14		lvecindp2.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
15	14	eldifad 3902	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
16	10, 11	lspsnsubg 20966	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
17	7, 15, 16	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
18		lvecindp2.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
19	10, 3, 11, 5, 9, 15, 18	lspdisj2 21117	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })
20		lmodabl 20895	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
21	7, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
22	4, 21, 13, 17	ablcntzd 19823	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑌})))
23		lvecindp2.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
24		lvecindp2.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
25		lvecindp2.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
26		lvecindp2.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
27	10, 23, 24, 25, 11, 7, 26, 9	ellspsni 20987	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
28		lvecindp2.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
29	10, 23, 24, 25, 11, 7, 28, 9	ellspsni 20987	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
30		lvecindp2.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
31	10, 23, 24, 25, 11, 7, 30, 15	ellspsni 20987	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑌}))
32		lvecindp2.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐾)
33	10, 23, 24, 25, 11, 7, 32, 15	ellspsni 20987	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑌}))
34	2, 3, 4, 13, 17, 19, 22, 27, 29, 31, 33	subgdisjb 19659	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐶 · 𝑋) + (𝐷 · 𝑌)) ↔ ((𝐴 · 𝑋) = (𝐶 · 𝑋) ∧ (𝐵 · 𝑌) = (𝐷 · 𝑌))))
35	1, 34	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝐶 · 𝑋) ∧ (𝐵 · 𝑌) = (𝐷 · 𝑌)))
36		eldifsni 4734	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
37	8, 36	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
38	10, 23, 24, 25, 3, 5, 26, 28, 9, 37	lvecvscan2 21102	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝐶 · 𝑋) ↔ 𝐴 = 𝐶))
39		eldifsni 4734	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑌 ≠ 0 )
40	14, 39	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
41	10, 23, 24, 25, 3, 5, 30, 32, 15, 40	lvecvscan2 21102	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝑌) = (𝐷 · 𝑌) ↔ 𝐵 = 𝐷))
42	38, 41	anbi12d 633	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝑋) = (𝐶 · 𝑋) ∧ (𝐵 · 𝑌) = (𝐷 · 𝑌)) ↔ (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
43	35, 42	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3887  {csn 4568  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  Scalarcsca 17214   ·_𝑠 cvsca 17215  0_gc0g 17393  SubGrpcsubg 19087  Cntzccntz 19281  Abelcabl 19747  LModclmod 20846  LSpanclspn 20957  LVecclvec 21089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8169  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-subg 19090  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-drng 20699  df-lmod 20848  df-lss 20918  df-lsp 20958  df-lvec 21090

This theorem is referenced by:  mapdpglem30  42162  baerlem3lem1  42167  baerlem5alem1  42168  hdmap14lem9  42336