MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecindp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvecindp2 21031
Description: Sums of independent vectors must have equal coefficients. (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecindp2.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lvecindp2.p + = (+gβ€˜π‘Š)
lvecindp2.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lvecindp2.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lvecindp2.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lvecindp2.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lvecindp2.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lvecindp2.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lvecindp2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
lvecindp2.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
lvecindp2.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
lvecindp2.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐾)
lvecindp2.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝐾)
lvecindp2.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝐾)
lvecindp2.q (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
lvecindp2.e (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) + (𝐡 Β· π‘Œ)) = ((𝐢 Β· 𝑋) + (𝐷 Β· π‘Œ)))
Assertion
Ref Expression
lvecindp2 (πœ‘ β†’ (𝐴 = 𝐢 ∧ 𝐡 = 𝐷))

Proof of Theorem lvecindp2
StepHypRef Expression
1 lvecindp2.e . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) + (𝐡 Β· π‘Œ)) = ((𝐢 Β· 𝑋) + (𝐷 Β· π‘Œ)))
2 lvecindp2.p . . . 4 + = (+gβ€˜π‘Š)
3 lvecindp2.o . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘Š)
4 eqid 2725 . . . 4 (Cntzβ€˜π‘Š) = (Cntzβ€˜π‘Š)
5 lvecindp2.w . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
6 lveclmod 20995 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
75, 6syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
8 lvecindp2.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
98eldifad 3951 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
10 lvecindp2.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
11 lvecindp2.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
1210, 11lspsnsubg 20868 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
137, 9, 12syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
14 lvecindp2.y . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
1514eldifad 3951 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
1610, 11lspsnsubg 20868 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
177, 15, 16syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
18 lvecindp2.q . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
1910, 3, 11, 5, 9, 15, 18lspdisj2 21019 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) ∩ (π‘β€˜{π‘Œ})) = { 0 })
20 lmodabl 20796 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Abel)
217, 20syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Abel)
224, 21, 13, 17ablcntzd 19816 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† ((Cntzβ€˜π‘Š)β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})))
23 lvecindp2.t . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
24 lvecindp2.f . . . . 5 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
25 lvecindp2.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
26 lvecindp2.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
2710, 23, 24, 25, 11, 7, 26, 9lspsneli 20889 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
28 lvecindp2.c . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝐾)
2910, 23, 24, 25, 11, 7, 28, 9lspsneli 20889 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐢 Β· 𝑋) ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
30 lvecindp2.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐾)
3110, 23, 24, 25, 11, 7, 30, 15lspsneli 20889 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 Β· π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
32 lvecindp2.d . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝐾)
3310, 23, 24, 25, 11, 7, 32, 15lspsneli 20889 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐷 Β· π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
342, 3, 4, 13, 17, 19, 22, 27, 29, 31, 33subgdisjb 19652 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐴 Β· 𝑋) + (𝐡 Β· π‘Œ)) = ((𝐢 Β· 𝑋) + (𝐷 Β· π‘Œ)) ↔ ((𝐴 Β· 𝑋) = (𝐢 Β· 𝑋) ∧ (𝐡 Β· π‘Œ) = (𝐷 Β· π‘Œ))))
351, 34mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) = (𝐢 Β· 𝑋) ∧ (𝐡 Β· π‘Œ) = (𝐷 Β· π‘Œ)))
36 eldifsni 4789 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) β†’ 𝑋 β‰  0 )
378, 36syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  0 )
3810, 23, 24, 25, 3, 5, 26, 28, 9, 37lvecvscan2 21004 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) = (𝐢 Β· 𝑋) ↔ 𝐴 = 𝐢))
39 eldifsni 4789 . . . . 5 (π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) β†’ π‘Œ β‰  0 )
4014, 39syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ β‰  0 )
4110, 23, 24, 25, 3, 5, 30, 32, 15, 40lvecvscan2 21004 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐡 Β· π‘Œ) = (𝐷 Β· π‘Œ) ↔ 𝐡 = 𝐷))
4238, 41anbi12d 630 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐴 Β· 𝑋) = (𝐢 Β· 𝑋) ∧ (𝐡 Β· π‘Œ) = (𝐷 Β· π‘Œ)) ↔ (𝐴 = 𝐢 ∧ 𝐡 = 𝐷)))
4335, 42mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ (𝐴 = 𝐢 ∧ 𝐡 = 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930   βˆ– cdif 3936  {csn 4624  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  Scalarcsca 17235   ·𝑠 cvsca 17236  0gc0g 17420  SubGrpcsubg 19079  Cntzccntz 19270  Abelcabl 19740  LModclmod 20747  LSpanclspn 20859  LVecclvec 20991
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-subg 19082  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-drng 20630  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lsp 20860  df-lvec 20992
This theorem is referenced by:  mapdpglem30  41231  baerlem3lem1  41236  baerlem5alem1  41237  hdmap14lem9  41405
  Copyright terms: Public domain W3C validator