MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecindp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvecindp2 21141
Description: Sums of independent vectors must have equal coefficients. (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecindp2.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lvecindp2.p + = (+g𝑊)
lvecindp2.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lvecindp2.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lvecindp2.t · = ( ·𝑠𝑊)
lvecindp2.o 0 = (0g𝑊)
lvecindp2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lvecindp2.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lvecindp2.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lvecindp2.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lvecindp2.a (𝜑𝐴𝐾)
lvecindp2.b (𝜑𝐵𝐾)
lvecindp2.c (𝜑𝐶𝐾)
lvecindp2.d (𝜑𝐷𝐾)
lvecindp2.q (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
lvecindp2.e (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐶 · 𝑋) + (𝐷 · 𝑌)))
Assertion
Ref Expression
lvecindp2 (𝜑 → (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷))

Proof of Theorem lvecindp2
StepHypRef Expression
1 lvecindp2.e . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐶 · 𝑋) + (𝐷 · 𝑌)))
2 lvecindp2.p . . . 4 + = (+g𝑊)
3 lvecindp2.o . . . 4 0 = (0g𝑊)
4 eqid 2737 . . . 4 (Cntz‘𝑊) = (Cntz‘𝑊)
5 lvecindp2.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
6 lveclmod 21105 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
8 lvecindp2.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
98eldifad 3963 . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
10 lvecindp2.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
11 lvecindp2.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
1210, 11lspsnsubg 20978 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
137, 9, 12syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
14 lvecindp2.y . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1514eldifad 3963 . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
1610, 11lspsnsubg 20978 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
177, 15, 16syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
18 lvecindp2.q . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
1910, 3, 11, 5, 9, 15, 18lspdisj2 21129 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })
20 lmodabl 20907 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
217, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
224, 21, 13, 17ablcntzd 19875 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑌})))
23 lvecindp2.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
24 lvecindp2.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
25 lvecindp2.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐹)
26 lvecindp2.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝐾)
2710, 23, 24, 25, 11, 7, 26, 9ellspsni 20999 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
28 lvecindp2.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝐾)
2910, 23, 24, 25, 11, 7, 28, 9ellspsni 20999 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
30 lvecindp2.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝐾)
3110, 23, 24, 25, 11, 7, 30, 15ellspsni 20999 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 · 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑌}))
32 lvecindp2.d . . . . 5 (𝜑𝐷𝐾)
3310, 23, 24, 25, 11, 7, 32, 15ellspsni 20999 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 · 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑌}))
342, 3, 4, 13, 17, 19, 22, 27, 29, 31, 33subgdisjb 19711 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐶 · 𝑋) + (𝐷 · 𝑌)) ↔ ((𝐴 · 𝑋) = (𝐶 · 𝑋) ∧ (𝐵 · 𝑌) = (𝐷 · 𝑌))))
351, 34mpbid 232 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝐶 · 𝑋) ∧ (𝐵 · 𝑌) = (𝐷 · 𝑌)))
36 eldifsni 4790 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑋0 )
378, 36syl 17 . . . 4 (𝜑𝑋0 )
3810, 23, 24, 25, 3, 5, 26, 28, 9, 37lvecvscan2 21114 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝐶 · 𝑋) ↔ 𝐴 = 𝐶))
39 eldifsni 4790 . . . . 5 (𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑌0 )
4014, 39syl 17 . . . 4 (𝜑𝑌0 )
4110, 23, 24, 25, 3, 5, 30, 32, 15, 40lvecvscan2 21114 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 · 𝑌) = (𝐷 · 𝑌) ↔ 𝐵 = 𝐷))
4238, 41anbi12d 632 . 2 (𝜑 → (((𝐴 · 𝑋) = (𝐶 · 𝑋) ∧ (𝐵 · 𝑌) = (𝐷 · 𝑌)) ↔ (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷)))
4335, 42mpbid 232 1 (𝜑 → (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  cdif 3948  {csn 4626  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  0gc0g 17484  SubGrpcsubg 19138  Cntzccntz 19333  Abelcabl 19799  LModclmod 20858  LSpanclspn 20969  LVecclvec 21101
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lvec 21102
This theorem is referenced by:  mapdpglem30  41704  baerlem3lem1  41709  baerlem5alem1  41710  hdmap14lem9  41878
  Copyright terms: Public domain W3C validator