Theorem lvecindp2 21332

Description: Sums of independent vectors must have equal coefficients. (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecindp2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lvecindp2.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lvecindp2.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lvecindp2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lvecindp2.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lvecindp2.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lvecindp2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lvecindp2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lvecindp2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lvecindp2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lvecindp2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
lvecindp2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
lvecindp2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
lvecindp2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐾)
lvecindp2.q	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
lvecindp2.e	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐶 · 𝑋) + (𝐷 · 𝑌)))

Assertion

Ref	Expression
lvecindp2	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))

Proof of Theorem lvecindp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecindp2.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐶 · 𝑋) + (𝐷 · 𝑌)))
2		lvecindp2.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
3		lvecindp2.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
4		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Cntz‘𝑊) = (Cntz‘𝑊)
5		lvecindp2.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
6		lveclmod 21296	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
7	5, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
8		lvecindp2.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
9	8	eldifad 3914	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
10		lvecindp2.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
11		lvecindp2.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
12	10, 11	lspsnsubg 21170	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
13	7, 9, 12	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
14		lvecindp2.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
15	14	eldifad 3914	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
16	10, 11	lspsnsubg 21170	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
17	7, 15, 16	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
18		lvecindp2.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
19	10, 3, 11, 5, 9, 15, 18	lspdisj2 21320	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })
20		lmodabl 21099	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
21	7, 20	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
22	4, 21, 13, 17	ablcntzd 19990	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑌})))
23		lvecindp2.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
24		lvecindp2.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
25		lvecindp2.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
26		lvecindp2.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
27	10, 23, 24, 25, 11, 7, 26, 9	ellspsni 21191	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
28		lvecindp2.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
29	10, 23, 24, 25, 11, 7, 28, 9	ellspsni 21191	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
30		lvecindp2.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
31	10, 23, 24, 25, 11, 7, 30, 15	ellspsni 21191	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑌}))
32		lvecindp2.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐾)
33	10, 23, 24, 25, 11, 7, 32, 15	ellspsni 21191	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑌}))
34	2, 3, 4, 13, 17, 19, 22, 27, 29, 31, 33	subgdisjb 19826	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐶 · 𝑋) + (𝐷 · 𝑌)) ↔ ((𝐴 · 𝑋) = (𝐶 · 𝑋) ∧ (𝐵 · 𝑌) = (𝐷 · 𝑌))))
35	1, 34	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝐶 · 𝑋) ∧ (𝐵 · 𝑌) = (𝐷 · 𝑌)))
36		eldifsni 4756	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
37	8, 36	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
38	10, 23, 24, 25, 3, 5, 26, 28, 9, 37	lvecvscan2 21305	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝐶 · 𝑋) ↔ 𝐴 = 𝐶))
39		eldifsni 4756	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑌 ≠ 0 )
40	14, 39	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
41	10, 23, 24, 25, 3, 5, 30, 32, 15, 40	lvecvscan2 21305	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝑌) = (𝐷 · 𝑌) ↔ 𝐵 = 𝐷))
42	38, 41	anbi12d 644	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝑋) = (𝐶 · 𝑋) ∧ (𝐵 · 𝑌) = (𝐷 · 𝑌)) ↔ (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
43	35, 42	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   ∖ cdif 3899  {csn 4587  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  +_gcplusg 17348  Scalarcsca 17351   ·_𝑠 cvsca 17352  0_gc0g 17530  SubGrpcsubg 19249  Cntzccntz 19448  Abelcabl 19914  LModclmod 21050  LSpanclspn 21161  LVecclvec 21292

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-0g 17532  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-sbg 19068  df-subg 19252  df-cntz 19450  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-ur 20327  df-ring 20380  df-oppr 20484  df-dvdsr 20504  df-unit 20505  df-invr 20535  df-drng 20898  df-lmod 21052  df-lss 21122  df-lsp 21162  df-lvec 21293

This theorem is used by:  mapdpglem30  42583  baerlem3lem1  42588  baerlem5alem1  42589  hdmap14lem9  42757