MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecindp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvecindp2 21159
Description: Sums of independent vectors must have equal coefficients. (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecindp2.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lvecindp2.p + = (+g𝑊)
lvecindp2.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lvecindp2.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lvecindp2.t · = ( ·𝑠𝑊)
lvecindp2.o 0 = (0g𝑊)
lvecindp2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lvecindp2.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lvecindp2.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lvecindp2.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lvecindp2.a (𝜑𝐴𝐾)
lvecindp2.b (𝜑𝐵𝐾)
lvecindp2.c (𝜑𝐶𝐾)
lvecindp2.d (𝜑𝐷𝐾)
lvecindp2.q (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
lvecindp2.e (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐶 · 𝑋) + (𝐷 · 𝑌)))
Assertion
Ref Expression
lvecindp2 (𝜑 → (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷))

Proof of Theorem lvecindp2
StepHypRef Expression
1 lvecindp2.e . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐶 · 𝑋) + (𝐷 · 𝑌)))
2 lvecindp2.p . . . 4 + = (+g𝑊)
3 lvecindp2.o . . . 4 0 = (0g𝑊)
4 eqid 2735 . . . 4 (Cntz‘𝑊) = (Cntz‘𝑊)
5 lvecindp2.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
6 lveclmod 21123 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
8 lvecindp2.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
98eldifad 3975 . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
10 lvecindp2.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
11 lvecindp2.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
1210, 11lspsnsubg 20996 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
137, 9, 12syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
14 lvecindp2.y . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1514eldifad 3975 . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
1610, 11lspsnsubg 20996 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
177, 15, 16syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
18 lvecindp2.q . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
1910, 3, 11, 5, 9, 15, 18lspdisj2 21147 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })
20 lmodabl 20924 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
217, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
224, 21, 13, 17ablcntzd 19890 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑌})))
23 lvecindp2.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
24 lvecindp2.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
25 lvecindp2.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐹)
26 lvecindp2.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝐾)
2710, 23, 24, 25, 11, 7, 26, 9ellspsni 21017 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
28 lvecindp2.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝐾)
2910, 23, 24, 25, 11, 7, 28, 9ellspsni 21017 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
30 lvecindp2.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝐾)
3110, 23, 24, 25, 11, 7, 30, 15ellspsni 21017 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 · 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑌}))
32 lvecindp2.d . . . . 5 (𝜑𝐷𝐾)
3310, 23, 24, 25, 11, 7, 32, 15ellspsni 21017 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 · 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑌}))
342, 3, 4, 13, 17, 19, 22, 27, 29, 31, 33subgdisjb 19726 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐶 · 𝑋) + (𝐷 · 𝑌)) ↔ ((𝐴 · 𝑋) = (𝐶 · 𝑋) ∧ (𝐵 · 𝑌) = (𝐷 · 𝑌))))
351, 34mpbid 232 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝐶 · 𝑋) ∧ (𝐵 · 𝑌) = (𝐷 · 𝑌)))
36 eldifsni 4795 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑋0 )
378, 36syl 17 . . . 4 (𝜑𝑋0 )
3810, 23, 24, 25, 3, 5, 26, 28, 9, 37lvecvscan2 21132 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝐶 · 𝑋) ↔ 𝐴 = 𝐶))
39 eldifsni 4795 . . . . 5 (𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑌0 )
4014, 39syl 17 . . . 4 (𝜑𝑌0 )
4110, 23, 24, 25, 3, 5, 30, 32, 15, 40lvecvscan2 21132 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 · 𝑌) = (𝐷 · 𝑌) ↔ 𝐵 = 𝐷))
4238, 41anbi12d 632 . 2 (𝜑 → (((𝐴 · 𝑋) = (𝐶 · 𝑋) ∧ (𝐵 · 𝑌) = (𝐷 · 𝑌)) ↔ (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷)))
4335, 42mpbid 232 1 (𝜑 → (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  cdif 3960  {csn 4631  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  0gc0g 17486  SubGrpcsubg 19151  Cntzccntz 19346  Abelcabl 19814  LModclmod 20875  LSpanclspn 20987  LVecclvec 21119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lvec 21120
This theorem is referenced by:  mapdpglem30  41685  baerlem3lem1  41690  baerlem5alem1  41691  hdmap14lem9  41859
  Copyright terms: Public domain W3C validator