Theorem lvecindp2 20030

Description: Sums of independent vectors must have equal coefficients. (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecindp2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lvecindp2.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lvecindp2.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lvecindp2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lvecindp2.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lvecindp2.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lvecindp2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lvecindp2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lvecindp2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lvecindp2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lvecindp2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
lvecindp2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
lvecindp2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
lvecindp2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐾)
lvecindp2.q	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
lvecindp2.e	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐶 · 𝑋) + (𝐷 · 𝑌)))

Assertion

Ref	Expression
lvecindp2	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))

Proof of Theorem lvecindp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecindp2.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐶 · 𝑋) + (𝐷 · 𝑌)))
2		lvecindp2.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
3		lvecindp2.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
4		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Cntz‘𝑊) = (Cntz‘𝑊)
5		lvecindp2.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
6		lveclmod 19997	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
8		lvecindp2.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
9	8	eldifad 3855	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
10		lvecindp2.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
11		lvecindp2.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
12	10, 11	lspsnsubg 19871	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
13	7, 9, 12	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
14		lvecindp2.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
15	14	eldifad 3855	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
16	10, 11	lspsnsubg 19871	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
17	7, 15, 16	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
18		lvecindp2.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
19	10, 3, 11, 5, 9, 15, 18	lspdisj2 20018	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })
20		lmodabl 19800	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
21	7, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
22	4, 21, 13, 17	ablcntzd 19096	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑌})))
23		lvecindp2.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
24		lvecindp2.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
25		lvecindp2.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
26		lvecindp2.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
27	10, 23, 24, 25, 11, 7, 26, 9	lspsneli 19892	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
28		lvecindp2.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
29	10, 23, 24, 25, 11, 7, 28, 9	lspsneli 19892	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
30		lvecindp2.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
31	10, 23, 24, 25, 11, 7, 30, 15	lspsneli 19892	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑌}))
32		lvecindp2.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐾)
33	10, 23, 24, 25, 11, 7, 32, 15	lspsneli 19892	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑌}))
34	2, 3, 4, 13, 17, 19, 22, 27, 29, 31, 33	subgdisjb 18937	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐶 · 𝑋) + (𝐷 · 𝑌)) ↔ ((𝐴 · 𝑋) = (𝐶 · 𝑋) ∧ (𝐵 · 𝑌) = (𝐷 · 𝑌))))
35	1, 34	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝐶 · 𝑋) ∧ (𝐵 · 𝑌) = (𝐷 · 𝑌)))
36		eldifsni 4678	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
37	8, 36	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
38	10, 23, 24, 25, 3, 5, 26, 28, 9, 37	lvecvscan2 20003	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝐶 · 𝑋) ↔ 𝐴 = 𝐶))
39		eldifsni 4678	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑌 ≠ 0 )
40	14, 39	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
41	10, 23, 24, 25, 3, 5, 30, 32, 15, 40	lvecvscan2 20003	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝑌) = (𝐷 · 𝑌) ↔ 𝐵 = 𝐷))
42	38, 41	anbi12d 634	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝑋) = (𝐶 · 𝑋) ∧ (𝐵 · 𝑌) = (𝐷 · 𝑌)) ↔ (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
43	35, 42	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2934   ∖ cdif 3840  {csn 4516  ‘cfv 6339  (class class class)co 7170  Basecbs 16586  +_gcplusg 16668  Scalarcsca 16671   ·_𝑠 cvsca 16672  0_gc0g 16816  SubGrpcsubg 18391  Cntzccntz 18563  Abelcabl 19025  LModclmod 19753  LSpanclspn 19862  LVecclvec 19993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-tpos 7921  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-0g 16818  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-sbg 18224  df-subg 18394  df-cntz 18565  df-cmn 19026  df-abl 19027  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-ring 19418  df-oppr 19495  df-dvdsr 19513  df-unit 19514  df-invr 19544  df-drng 19623  df-lmod 19755  df-lss 19823  df-lsp 19863  df-lvec 19994

This theorem is referenced by:  mapdpglem30  39339  baerlem3lem1  39344  baerlem5alem1  39345  hdmap14lem9  39513