Theorem lvecindp2 21423

Description: Sums of independent vectors must have equal coefficients. (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecindp2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lvecindp2.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lvecindp2.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lvecindp2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lvecindp2.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lvecindp2.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lvecindp2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lvecindp2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lvecindp2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lvecindp2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lvecindp2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
lvecindp2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
lvecindp2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
lvecindp2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐾)
lvecindp2.q	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
lvecindp2.e	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐶 · 𝑋) + (𝐷 · 𝑌)))

Assertion

Ref	Expression
lvecindp2	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))

Proof of Theorem lvecindp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecindp2.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐶 · 𝑋) + (𝐷 · 𝑌)))
2		lvecindp2.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
3		lvecindp2.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Cntz‘𝑊) = (Cntz‘𝑊)
5		lvecindp2.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
6		lveclmod 21387	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
7	5, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
8		lvecindp2.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
9	8	eldifad 4051	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
10		lvecindp2.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
11		lvecindp2.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
12	10, 11	lspsnsubg 21261	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
13	7, 9, 12	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
14		lvecindp2.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
15	14	eldifad 4051	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
16	10, 11	lspsnsubg 21261	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
17	7, 15, 16	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
18		lvecindp2.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
19	10, 3, 11, 5, 9, 15, 18	lspdisj2 21411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })
20		lmodabl 21190	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
21	7, 20	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
22	4, 21, 13, 17	ablcntzd 20077	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑌})))
23		lvecindp2.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
24		lvecindp2.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
25		lvecindp2.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
26		lvecindp2.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
27	10, 23, 24, 25, 11, 7, 26, 9	ellspsni 21282	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
28		lvecindp2.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
29	10, 23, 24, 25, 11, 7, 28, 9	ellspsni 21282	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
30		lvecindp2.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
31	10, 23, 24, 25, 11, 7, 30, 15	ellspsni 21282	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑌}))
32		lvecindp2.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐾)
33	10, 23, 24, 25, 11, 7, 32, 15	ellspsni 21282	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑌}))
34	2, 3, 4, 13, 17, 19, 22, 27, 29, 31, 33	subgdisjb 19913	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐶 · 𝑋) + (𝐷 · 𝑌)) ↔ ((𝐴 · 𝑋) = (𝐶 · 𝑋) ∧ (𝐵 · 𝑌) = (𝐷 · 𝑌))))
35	1, 34	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝐶 · 𝑋) ∧ (𝐵 · 𝑌) = (𝐷 · 𝑌)))
36		eldifsni 4749	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
37	8, 36	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
38	10, 23, 24, 25, 3, 5, 26, 28, 9, 37	lvecvscan2 21396	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝐶 · 𝑋) ↔ 𝐴 = 𝐶))
39		eldifsni 4749	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑌 ≠ 0 )
40	14, 39	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
41	10, 23, 24, 25, 3, 5, 30, 32, 15, 40	lvecvscan2 21396	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝑌) = (𝐷 · 𝑌) ↔ 𝐵 = 𝐷))
42	38, 41	anbi12d 644	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝑋) = (𝐶 · 𝑋) ∧ (𝐵 · 𝑌) = (𝐷 · 𝑌)) ↔ (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
43	35, 42	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ∖ cdif 4045  {csn 4584  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17393  +_gcplusg 17434  Scalarcsca 17437   ·_𝑠 cvsca 17438  0_gc0g 17616  SubGrpcsubg 19336  Cntzccntz 19535  Abelcabl 20001  LModclmod 21141  LSpanclspn 21252  LVecclvec 21383

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-tpos 8247  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-0g 17618  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-sbg 19155  df-subg 19339  df-cntz 19537  df-cmn 20002  df-abl 20003  df-mgp 20367  df-rng 20381  df-ur 20414  df-ring 20467  df-oppr 20573  df-dvdsr 20593  df-unit 20594  df-invr 20624  df-drng 20988  df-lmod 21143  df-lss 21213  df-lsp 21253  df-lvec 21384

This theorem is used by:  mapdpglem30  42853  baerlem3lem1  42858  baerlem5alem1  42859  hdmap14lem9  43027