Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sn-0ne2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sn-0ne2 42413
Description: 0ne2 12471 without ax-mulcom 11217. (Contributed by SN, 23-Jan-2024.)
Assertion
Ref Expression
sn-0ne2 0 ≠ 2

Proof of Theorem sn-0ne2
StepHypRef Expression
1 1re 11259 . . . 4 1 ∈ ℝ
2 readdlid 42410 . . . 4 (1 ∈ ℝ → (0 + 1) = 1)
31, 2ax-mp 5 . . 3 (0 + 1) = 1
4 sn-1ne2 42279 . . . . . 6 1 ≠ 2
5 2re 12338 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
61, 5lttri2i 11373 . . . . . 6 (1 ≠ 2 ↔ (1 < 2 ∨ 2 < 1))
74, 6mpbi 230 . . . . 5 (1 < 2 ∨ 2 < 1)
8 1red 11260 . . . . . . 7 (1 < 2 → 1 ∈ ℝ)
91, 5, 1ltadd2i 11390 . . . . . . . . . 10 (1 < 2 ↔ (1 + 1) < (1 + 2))
109biimpi 216 . . . . . . . . 9 (1 < 2 → (1 + 1) < (1 + 2))
11 1p1e2 12389 . . . . . . . . 9 (1 + 1) = 2
12 1p2e3 12407 . . . . . . . . 9 (1 + 2) = 3
1310, 11, 123brtr3g 5181 . . . . . . . 8 (1 < 2 → 2 < 3)
14 3re 12344 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℝ
151, 5, 14lttri 11385 . . . . . . . 8 ((1 < 2 ∧ 2 < 3) → 1 < 3)
1613, 15mpdan 687 . . . . . . 7 (1 < 2 → 1 < 3)
178, 16ltned 11395 . . . . . 6 (1 < 2 → 1 ≠ 3)
1814a1i 11 . . . . . . 7 (2 < 1 → 3 ∈ ℝ)
195, 1, 1ltadd2i 11390 . . . . . . . . . 10 (2 < 1 ↔ (1 + 2) < (1 + 1))
2019biimpi 216 . . . . . . . . 9 (2 < 1 → (1 + 2) < (1 + 1))
2120, 12, 113brtr3g 5181 . . . . . . . 8 (2 < 1 → 3 < 2)
2214, 5, 1lttri 11385 . . . . . . . 8 ((3 < 2 ∧ 2 < 1) → 3 < 1)
2321, 22mpancom 688 . . . . . . 7 (2 < 1 → 3 < 1)
2418, 23gtned 11394 . . . . . 6 (2 < 1 → 1 ≠ 3)
2517, 24jaoi 857 . . . . 5 ((1 < 2 ∨ 2 < 1) → 1 ≠ 3)
267, 25ax-mp 5 . . . 4 1 ≠ 3
27 df-3 12328 . . . 4 3 = (2 + 1)
2826, 27neeqtri 3011 . . 3 1 ≠ (2 + 1)
293, 28eqnetri 3009 . 2 (0 + 1) ≠ (2 + 1)
30 oveq1 7438 . . 3 (0 = 2 → (0 + 1) = (2 + 1))
3130necon3i 2971 . 2 ((0 + 1) ≠ (2 + 1) → 0 ≠ 2)
3229, 31ax-mp 5 1 0 ≠ 2
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293  2c2 12319  3c3 12320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-2 12327  df-3 12328  df-resub 42373
This theorem is referenced by:  remul01  42414  sn-0tie0  42446
  Copyright terms: Public domain W3C validator