Theorem sn-0ne2 41883

Description: 0ne2 12441 without ax-mulcom 11194. (Contributed by SN, 23-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-0ne2	⊢ 0 ≠ 2

Proof of Theorem sn-0ne2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11236	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		readdlid 41880	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 + 1) = 1)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (0 + 1) = 1
4		sn-1ne2 41762	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 2
5		2re 12308	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
6	1, 5	lttri2i 11350	. . . . . 6 ⊢ (1 ≠ 2 ↔ (1 < 2 ∨ 2 < 1))
7	4, 6	mpbi 229	. . . . 5 ⊢ (1 < 2 ∨ 2 < 1)
8		1red 11237	. . . . . . 7 ⊢ (1 < 2 → 1 ∈ ℝ)
9	1, 5, 1	ltadd2i 11367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 < 2 ↔ (1 + 1) < (1 + 2))
10	9	biimpi 215	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 < 2 → (1 + 1) < (1 + 2))
11		1p1e2 12359	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 1) = 2
12		1p2e3 12377	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 2) = 3
13	10, 11, 12	3brtr3g 5175	. . . . . . . 8 ⊢ (1 < 2 → 2 < 3)
14		3re 12314	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℝ
15	1, 5, 14	lttri 11362	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 < 2 ∧ 2 < 3) → 1 < 3)
16	13, 15	mpdan 686	. . . . . . 7 ⊢ (1 < 2 → 1 < 3)
17	8, 16	ltned 11372	. . . . . 6 ⊢ (1 < 2 → 1 ≠ 3)
18	14	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (2 < 1 → 3 ∈ ℝ)
19	5, 1, 1	ltadd2i 11367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 < 1 ↔ (1 + 2) < (1 + 1))
20	19	biimpi 215	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 < 1 → (1 + 2) < (1 + 1))
21	20, 12, 11	3brtr3g 5175	. . . . . . . 8 ⊢ (2 < 1 → 3 < 2)
22	14, 5, 1	lttri 11362	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 < 2 ∧ 2 < 1) → 3 < 1)
23	21, 22	mpancom 687	. . . . . . 7 ⊢ (2 < 1 → 3 < 1)
24	18, 23	gtned 11371	. . . . . 6 ⊢ (2 < 1 → 1 ≠ 3)
25	17, 24	jaoi 856	. . . . 5 ⊢ ((1 < 2 ∨ 2 < 1) → 1 ≠ 3)
26	7, 25	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 3
27		df-3 12298	. . . 4 ⊢ 3 = (2 + 1)
28	26, 27	neeqtri 3008	. . 3 ⊢ 1 ≠ (2 + 1)
29	3, 28	eqnetri 3006	. 2 ⊢ (0 + 1) ≠ (2 + 1)
30		oveq1 7421	. . 3 ⊢ (0 = 2 → (0 + 1) = (2 + 1))
31	30	necon3i 2968	. 2 ⊢ ((0 + 1) ≠ (2 + 1) → 0 ≠ 2)
32	29, 31	ax-mp 5	1 ⊢ 0 ≠ 2

Syntax hints:   ∨ wo 846   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  ℝcr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   < clt 11270  2c2 12289  3c3 12290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-ltxr 11275  df-2 12297  df-3 12298  df-resub 41843

This theorem is referenced by:  remul01  41884  sn-0tie0  41916