Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sn-0ne2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sn-0ne2 41883
Description: 0ne2 12441 without ax-mulcom 11194. (Contributed by SN, 23-Jan-2024.)
Assertion
Ref Expression
sn-0ne2 0 ≠ 2

Proof of Theorem sn-0ne2
StepHypRef Expression
1 1re 11236 . . . 4 1 ∈ ℝ
2 readdlid 41880 . . . 4 (1 ∈ ℝ → (0 + 1) = 1)
31, 2ax-mp 5 . . 3 (0 + 1) = 1
4 sn-1ne2 41762 . . . . . 6 1 ≠ 2
5 2re 12308 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
61, 5lttri2i 11350 . . . . . 6 (1 ≠ 2 ↔ (1 < 2 ∨ 2 < 1))
74, 6mpbi 229 . . . . 5 (1 < 2 ∨ 2 < 1)
8 1red 11237 . . . . . . 7 (1 < 2 → 1 ∈ ℝ)
91, 5, 1ltadd2i 11367 . . . . . . . . . 10 (1 < 2 ↔ (1 + 1) < (1 + 2))
109biimpi 215 . . . . . . . . 9 (1 < 2 → (1 + 1) < (1 + 2))
11 1p1e2 12359 . . . . . . . . 9 (1 + 1) = 2
12 1p2e3 12377 . . . . . . . . 9 (1 + 2) = 3
1310, 11, 123brtr3g 5175 . . . . . . . 8 (1 < 2 → 2 < 3)
14 3re 12314 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℝ
151, 5, 14lttri 11362 . . . . . . . 8 ((1 < 2 ∧ 2 < 3) → 1 < 3)
1613, 15mpdan 686 . . . . . . 7 (1 < 2 → 1 < 3)
178, 16ltned 11372 . . . . . 6 (1 < 2 → 1 ≠ 3)
1814a1i 11 . . . . . . 7 (2 < 1 → 3 ∈ ℝ)
195, 1, 1ltadd2i 11367 . . . . . . . . . 10 (2 < 1 ↔ (1 + 2) < (1 + 1))
2019biimpi 215 . . . . . . . . 9 (2 < 1 → (1 + 2) < (1 + 1))
2120, 12, 113brtr3g 5175 . . . . . . . 8 (2 < 1 → 3 < 2)
2214, 5, 1lttri 11362 . . . . . . . 8 ((3 < 2 ∧ 2 < 1) → 3 < 1)
2321, 22mpancom 687 . . . . . . 7 (2 < 1 → 3 < 1)
2418, 23gtned 11371 . . . . . 6 (2 < 1 → 1 ≠ 3)
2517, 24jaoi 856 . . . . 5 ((1 < 2 ∨ 2 < 1) → 1 ≠ 3)
267, 25ax-mp 5 . . . 4 1 ≠ 3
27 df-3 12298 . . . 4 3 = (2 + 1)
2826, 27neeqtri 3008 . . 3 1 ≠ (2 + 1)
293, 28eqnetri 3006 . 2 (0 + 1) ≠ (2 + 1)
30 oveq1 7421 . . 3 (0 = 2 → (0 + 1) = (2 + 1))
3130necon3i 2968 . 2 ((0 + 1) ≠ (2 + 1) → 0 ≠ 2)
3229, 31ax-mp 5 1 0 ≠ 2
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wo 846   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2935   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   < clt 11270  2c2 12289  3c3 12290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-ltxr 11275  df-2 12297  df-3 12298  df-resub 41843
This theorem is referenced by:  remul01  41884  sn-0tie0  41916
  Copyright terms: Public domain W3C validator