Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sn-0ne2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sn-0ne2 39986
Description: 0ne2 11923 without ax-mulcom 10679. (Contributed by SN, 23-Jan-2024.)
Assertion
Ref Expression
sn-0ne2 0 ≠ 2

Proof of Theorem sn-0ne2
StepHypRef Expression
1 1re 10719 . . . 4 1 ∈ ℝ
2 readdid2 39983 . . . 4 (1 ∈ ℝ → (0 + 1) = 1)
31, 2ax-mp 5 . . 3 (0 + 1) = 1
4 sn-1ne2 39891 . . . . . 6 1 ≠ 2
5 2re 11790 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
61, 5lttri2i 10832 . . . . . 6 (1 ≠ 2 ↔ (1 < 2 ∨ 2 < 1))
74, 6mpbi 233 . . . . 5 (1 < 2 ∨ 2 < 1)
8 1red 10720 . . . . . . 7 (1 < 2 → 1 ∈ ℝ)
91, 5, 1ltadd2i 10849 . . . . . . . . . 10 (1 < 2 ↔ (1 + 1) < (1 + 2))
109biimpi 219 . . . . . . . . 9 (1 < 2 → (1 + 1) < (1 + 2))
11 1p1e2 11841 . . . . . . . . 9 (1 + 1) = 2
12 1p2e3 11859 . . . . . . . . 9 (1 + 2) = 3
1310, 11, 123brtr3g 5063 . . . . . . . 8 (1 < 2 → 2 < 3)
14 3re 11796 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℝ
151, 5, 14lttri 10844 . . . . . . . 8 ((1 < 2 ∧ 2 < 3) → 1 < 3)
1613, 15mpdan 687 . . . . . . 7 (1 < 2 → 1 < 3)
178, 16ltned 10854 . . . . . 6 (1 < 2 → 1 ≠ 3)
1814a1i 11 . . . . . . 7 (2 < 1 → 3 ∈ ℝ)
195, 1, 1ltadd2i 10849 . . . . . . . . . 10 (2 < 1 ↔ (1 + 2) < (1 + 1))
2019biimpi 219 . . . . . . . . 9 (2 < 1 → (1 + 2) < (1 + 1))
2120, 12, 113brtr3g 5063 . . . . . . . 8 (2 < 1 → 3 < 2)
2214, 5, 1lttri 10844 . . . . . . . 8 ((3 < 2 ∧ 2 < 1) → 3 < 1)
2321, 22mpancom 688 . . . . . . 7 (2 < 1 → 3 < 1)
2418, 23gtned 10853 . . . . . 6 (2 < 1 → 1 ≠ 3)
2517, 24jaoi 856 . . . . 5 ((1 < 2 ∨ 2 < 1) → 1 ≠ 3)
267, 25ax-mp 5 . . . 4 1 ≠ 3
27 df-3 11780 . . . 4 3 = (2 + 1)
2826, 27neeqtri 3006 . . 3 1 ≠ (2 + 1)
293, 28eqnetri 3004 . 2 (0 + 1) ≠ (2 + 1)
30 oveq1 7177 . . 3 (0 = 2 → (0 + 1) = (2 + 1))
3130necon3i 2966 . 2 ((0 + 1) ≠ (2 + 1) → 0 ≠ 2)
3229, 31ax-mp 5 1 0 ≠ 2
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wo 846   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2934   class class class wbr 5030  (class class class)co 7170  cr 10614  0cc0 10615  1c1 10616   + caddc 10618   < clt 10753  2c2 11771  3c3 11772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5429  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-ltxr 10758  df-2 11779  df-3 11780  df-resub 39946
This theorem is referenced by:  remul01  39987  sn-0tie0  40018
  Copyright terms: Public domain W3C validator