Theorem sn-0ne2 41992

Description: 0ne2 12457 without ax-mulcom 11210. (Contributed by SN, 23-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-0ne2	⊢ 0 ≠ 2

Proof of Theorem sn-0ne2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11252	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		readdlid 41989	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 + 1) = 1)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (0 + 1) = 1
4		sn-1ne2 41871	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 2
5		2re 12324	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
6	1, 5	lttri2i 11366	. . . . . 6 ⊢ (1 ≠ 2 ↔ (1 < 2 ∨ 2 < 1))
7	4, 6	mpbi 229	. . . . 5 ⊢ (1 < 2 ∨ 2 < 1)
8		1red 11253	. . . . . . 7 ⊢ (1 < 2 → 1 ∈ ℝ)
9	1, 5, 1	ltadd2i 11383	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 < 2 ↔ (1 + 1) < (1 + 2))
10	9	biimpi 215	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 < 2 → (1 + 1) < (1 + 2))
11		1p1e2 12375	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 1) = 2
12		1p2e3 12393	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 2) = 3
13	10, 11, 12	3brtr3g 5185	. . . . . . . 8 ⊢ (1 < 2 → 2 < 3)
14		3re 12330	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℝ
15	1, 5, 14	lttri 11378	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 < 2 ∧ 2 < 3) → 1 < 3)
16	13, 15	mpdan 685	. . . . . . 7 ⊢ (1 < 2 → 1 < 3)
17	8, 16	ltned 11388	. . . . . 6 ⊢ (1 < 2 → 1 ≠ 3)
18	14	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (2 < 1 → 3 ∈ ℝ)
19	5, 1, 1	ltadd2i 11383	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 < 1 ↔ (1 + 2) < (1 + 1))
20	19	biimpi 215	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 < 1 → (1 + 2) < (1 + 1))
21	20, 12, 11	3brtr3g 5185	. . . . . . . 8 ⊢ (2 < 1 → 3 < 2)
22	14, 5, 1	lttri 11378	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 < 2 ∧ 2 < 1) → 3 < 1)
23	21, 22	mpancom 686	. . . . . . 7 ⊢ (2 < 1 → 3 < 1)
24	18, 23	gtned 11387	. . . . . 6 ⊢ (2 < 1 → 1 ≠ 3)
25	17, 24	jaoi 855	. . . . 5 ⊢ ((1 < 2 ∨ 2 < 1) → 1 ≠ 3)
26	7, 25	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 3
27		df-3 12314	. . . 4 ⊢ 3 = (2 + 1)
28	26, 27	neeqtri 3010	. . 3 ⊢ 1 ≠ (2 + 1)
29	3, 28	eqnetri 3008	. 2 ⊢ (0 + 1) ≠ (2 + 1)
30		oveq1 7433	. . 3 ⊢ (0 = 2 → (0 + 1) = (2 + 1))
31	30	necon3i 2970	. 2 ⊢ ((0 + 1) ≠ (2 + 1) → 0 ≠ 2)
32	29, 31	ax-mp 5	1 ⊢ 0 ≠ 2

Syntax hints:   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  ℝcr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   < clt 11286  2c2 12305  3c3 12306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-ltxr 11291  df-2 12313  df-3 12314  df-resub 41952

This theorem is referenced by:  remul01  41993  sn-0tie0  42025