Theorem sn-0ne2 41839

Description: 0ne2 12420 without ax-mulcom 11173. (Contributed by SN, 23-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-0ne2	⊢ 0 ≠ 2

Proof of Theorem sn-0ne2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11215	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		readdlid 41836	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 + 1) = 1)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (0 + 1) = 1
4		sn-1ne2 41718	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 2
5		2re 12287	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
6	1, 5	lttri2i 11329	. . . . . 6 ⊢ (1 ≠ 2 ↔ (1 < 2 ∨ 2 < 1))
7	4, 6	mpbi 229	. . . . 5 ⊢ (1 < 2 ∨ 2 < 1)
8		1red 11216	. . . . . . 7 ⊢ (1 < 2 → 1 ∈ ℝ)
9	1, 5, 1	ltadd2i 11346	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 < 2 ↔ (1 + 1) < (1 + 2))
10	9	biimpi 215	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 < 2 → (1 + 1) < (1 + 2))
11		1p1e2 12338	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 1) = 2
12		1p2e3 12356	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 2) = 3
13	10, 11, 12	3brtr3g 5174	. . . . . . . 8 ⊢ (1 < 2 → 2 < 3)
14		3re 12293	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℝ
15	1, 5, 14	lttri 11341	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 < 2 ∧ 2 < 3) → 1 < 3)
16	13, 15	mpdan 684	. . . . . . 7 ⊢ (1 < 2 → 1 < 3)
17	8, 16	ltned 11351	. . . . . 6 ⊢ (1 < 2 → 1 ≠ 3)
18	14	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (2 < 1 → 3 ∈ ℝ)
19	5, 1, 1	ltadd2i 11346	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 < 1 ↔ (1 + 2) < (1 + 1))
20	19	biimpi 215	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 < 1 → (1 + 2) < (1 + 1))
21	20, 12, 11	3brtr3g 5174	. . . . . . . 8 ⊢ (2 < 1 → 3 < 2)
22	14, 5, 1	lttri 11341	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 < 2 ∧ 2 < 1) → 3 < 1)
23	21, 22	mpancom 685	. . . . . . 7 ⊢ (2 < 1 → 3 < 1)
24	18, 23	gtned 11350	. . . . . 6 ⊢ (2 < 1 → 1 ≠ 3)
25	17, 24	jaoi 854	. . . . 5 ⊢ ((1 < 2 ∨ 2 < 1) → 1 ≠ 3)
26	7, 25	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 3
27		df-3 12277	. . . 4 ⊢ 3 = (2 + 1)
28	26, 27	neeqtri 3007	. . 3 ⊢ 1 ≠ (2 + 1)
29	3, 28	eqnetri 3005	. 2 ⊢ (0 + 1) ≠ (2 + 1)
30		oveq1 7411	. . 3 ⊢ (0 = 2 → (0 + 1) = (2 + 1))
31	30	necon3i 2967	. 2 ⊢ ((0 + 1) ≠ (2 + 1) → 0 ≠ 2)
32	29, 31	ax-mp 5	1 ⊢ 0 ≠ 2

Syntax hints:   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934   class class class wbr 5141  (class class class)co 7404  ℝcr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   < clt 11249  2c2 12268  3c3 12269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-2 12276  df-3 12277  df-resub 41799

This theorem is referenced by:  remul01  41840  sn-0tie0  41872