Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sn-0ne2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sn-0ne2 40904
Description: 0ne2 12367 without ax-mulcom 11122. (Contributed by SN, 23-Jan-2024.)
Assertion
Ref Expression
sn-0ne2 0 ≠ 2

Proof of Theorem sn-0ne2
StepHypRef Expression
1 1re 11162 . . . 4 1 ∈ ℝ
2 readdid2 40901 . . . 4 (1 ∈ ℝ → (0 + 1) = 1)
31, 2ax-mp 5 . . 3 (0 + 1) = 1
4 sn-1ne2 40810 . . . . . 6 1 ≠ 2
5 2re 12234 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
61, 5lttri2i 11276 . . . . . 6 (1 ≠ 2 ↔ (1 < 2 ∨ 2 < 1))
74, 6mpbi 229 . . . . 5 (1 < 2 ∨ 2 < 1)
8 1red 11163 . . . . . . 7 (1 < 2 → 1 ∈ ℝ)
91, 5, 1ltadd2i 11293 . . . . . . . . . 10 (1 < 2 ↔ (1 + 1) < (1 + 2))
109biimpi 215 . . . . . . . . 9 (1 < 2 → (1 + 1) < (1 + 2))
11 1p1e2 12285 . . . . . . . . 9 (1 + 1) = 2
12 1p2e3 12303 . . . . . . . . 9 (1 + 2) = 3
1310, 11, 123brtr3g 5143 . . . . . . . 8 (1 < 2 → 2 < 3)
14 3re 12240 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℝ
151, 5, 14lttri 11288 . . . . . . . 8 ((1 < 2 ∧ 2 < 3) → 1 < 3)
1613, 15mpdan 686 . . . . . . 7 (1 < 2 → 1 < 3)
178, 16ltned 11298 . . . . . 6 (1 < 2 → 1 ≠ 3)
1814a1i 11 . . . . . . 7 (2 < 1 → 3 ∈ ℝ)
195, 1, 1ltadd2i 11293 . . . . . . . . . 10 (2 < 1 ↔ (1 + 2) < (1 + 1))
2019biimpi 215 . . . . . . . . 9 (2 < 1 → (1 + 2) < (1 + 1))
2120, 12, 113brtr3g 5143 . . . . . . . 8 (2 < 1 → 3 < 2)
2214, 5, 1lttri 11288 . . . . . . . 8 ((3 < 2 ∧ 2 < 1) → 3 < 1)
2321, 22mpancom 687 . . . . . . 7 (2 < 1 → 3 < 1)
2418, 23gtned 11297 . . . . . 6 (2 < 1 → 1 ≠ 3)
2517, 24jaoi 856 . . . . 5 ((1 < 2 ∨ 2 < 1) → 1 ≠ 3)
267, 25ax-mp 5 . . . 4 1 ≠ 3
27 df-3 12224 . . . 4 3 = (2 + 1)
2826, 27neeqtri 3017 . . 3 1 ≠ (2 + 1)
293, 28eqnetri 3015 . 2 (0 + 1) ≠ (2 + 1)
30 oveq1 7369 . . 3 (0 = 2 → (0 + 1) = (2 + 1))
3130necon3i 2977 . 2 ((0 + 1) ≠ (2 + 1) → 0 ≠ 2)
3229, 31ax-mp 5 1 0 ≠ 2
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   < clt 11196  2c2 12215  3c3 12216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-ltxr 11201  df-2 12223  df-3 12224  df-resub 40864
This theorem is referenced by:  remul01  40905  sn-0tie0  40937
  Copyright terms: Public domain W3C validator