Theorem sn-0ne2 42394

Description: 0ne2 12388 without ax-mulcom 11132. (Contributed by SN, 23-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-0ne2	⊢ 0 ≠ 2

Proof of Theorem sn-0ne2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11174	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		readdlid 42391	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 + 1) = 1)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (0 + 1) = 1
4		sn-1ne2 42253	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 2
5		2re 12260	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
6	1, 5	lttri2i 11288	. . . . . 6 ⊢ (1 ≠ 2 ↔ (1 < 2 ∨ 2 < 1))
7	4, 6	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ (1 < 2 ∨ 2 < 1)
8		1red 11175	. . . . . . 7 ⊢ (1 < 2 → 1 ∈ ℝ)
9	1, 5, 1	ltadd2i 11305	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 < 2 ↔ (1 + 1) < (1 + 2))
10	9	biimpi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 < 2 → (1 + 1) < (1 + 2))
11		1p1e2 12306	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 1) = 2
12		1p2e3 12324	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 2) = 3
13	10, 11, 12	3brtr3g 5140	. . . . . . . 8 ⊢ (1 < 2 → 2 < 3)
14		3re 12266	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℝ
15	1, 5, 14	lttri 11300	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 < 2 ∧ 2 < 3) → 1 < 3)
16	13, 15	mpdan 687	. . . . . . 7 ⊢ (1 < 2 → 1 < 3)
17	8, 16	ltned 11310	. . . . . 6 ⊢ (1 < 2 → 1 ≠ 3)
18	14	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (2 < 1 → 3 ∈ ℝ)
19	5, 1, 1	ltadd2i 11305	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 < 1 ↔ (1 + 2) < (1 + 1))
20	19	biimpi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 < 1 → (1 + 2) < (1 + 1))
21	20, 12, 11	3brtr3g 5140	. . . . . . . 8 ⊢ (2 < 1 → 3 < 2)
22	14, 5, 1	lttri 11300	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 < 2 ∧ 2 < 1) → 3 < 1)
23	21, 22	mpancom 688	. . . . . . 7 ⊢ (2 < 1 → 3 < 1)
24	18, 23	gtned 11309	. . . . . 6 ⊢ (2 < 1 → 1 ≠ 3)
25	17, 24	jaoi 857	. . . . 5 ⊢ ((1 < 2 ∨ 2 < 1) → 1 ≠ 3)
26	7, 25	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 3
27		df-3 12250	. . . 4 ⊢ 3 = (2 + 1)
28	26, 27	neeqtri 2997	. . 3 ⊢ 1 ≠ (2 + 1)
29	3, 28	eqnetri 2995	. 2 ⊢ (0 + 1) ≠ (2 + 1)
30		oveq1 7394	. . 3 ⊢ (0 = 2 → (0 + 1) = (2 + 1))
31	30	necon3i 2957	. 2 ⊢ ((0 + 1) ≠ (2 + 1) → 0 ≠ 2)
32	29, 31	ax-mp 5	1 ⊢ 0 ≠ 2

Syntax hints:   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   < clt 11208  2c2 12241  3c3 12242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-2 12249  df-3 12250  df-resub 42354

This theorem is referenced by:  remul01  42395  sn-0tie0  42439