Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sn-0ne2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sn-0ne2 40389
Description: 0ne2 12180 without ax-mulcom 10935. (Contributed by SN, 23-Jan-2024.)
Assertion
Ref Expression
sn-0ne2 0 ≠ 2

Proof of Theorem sn-0ne2
StepHypRef Expression
1 1re 10975 . . . 4 1 ∈ ℝ
2 readdid2 40386 . . . 4 (1 ∈ ℝ → (0 + 1) = 1)
31, 2ax-mp 5 . . 3 (0 + 1) = 1
4 sn-1ne2 40295 . . . . . 6 1 ≠ 2
5 2re 12047 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
61, 5lttri2i 11089 . . . . . 6 (1 ≠ 2 ↔ (1 < 2 ∨ 2 < 1))
74, 6mpbi 229 . . . . 5 (1 < 2 ∨ 2 < 1)
8 1red 10976 . . . . . . 7 (1 < 2 → 1 ∈ ℝ)
91, 5, 1ltadd2i 11106 . . . . . . . . . 10 (1 < 2 ↔ (1 + 1) < (1 + 2))
109biimpi 215 . . . . . . . . 9 (1 < 2 → (1 + 1) < (1 + 2))
11 1p1e2 12098 . . . . . . . . 9 (1 + 1) = 2
12 1p2e3 12116 . . . . . . . . 9 (1 + 2) = 3
1310, 11, 123brtr3g 5107 . . . . . . . 8 (1 < 2 → 2 < 3)
14 3re 12053 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℝ
151, 5, 14lttri 11101 . . . . . . . 8 ((1 < 2 ∧ 2 < 3) → 1 < 3)
1613, 15mpdan 684 . . . . . . 7 (1 < 2 → 1 < 3)
178, 16ltned 11111 . . . . . 6 (1 < 2 → 1 ≠ 3)
1814a1i 11 . . . . . . 7 (2 < 1 → 3 ∈ ℝ)
195, 1, 1ltadd2i 11106 . . . . . . . . . 10 (2 < 1 ↔ (1 + 2) < (1 + 1))
2019biimpi 215 . . . . . . . . 9 (2 < 1 → (1 + 2) < (1 + 1))
2120, 12, 113brtr3g 5107 . . . . . . . 8 (2 < 1 → 3 < 2)
2214, 5, 1lttri 11101 . . . . . . . 8 ((3 < 2 ∧ 2 < 1) → 3 < 1)
2321, 22mpancom 685 . . . . . . 7 (2 < 1 → 3 < 1)
2418, 23gtned 11110 . . . . . 6 (2 < 1 → 1 ≠ 3)
2517, 24jaoi 854 . . . . 5 ((1 < 2 ∨ 2 < 1) → 1 ≠ 3)
267, 25ax-mp 5 . . . 4 1 ≠ 3
27 df-3 12037 . . . 4 3 = (2 + 1)
2826, 27neeqtri 3016 . . 3 1 ≠ (2 + 1)
293, 28eqnetri 3014 . 2 (0 + 1) ≠ (2 + 1)
30 oveq1 7282 . . 3 (0 = 2 → (0 + 1) = (2 + 1))
3130necon3i 2976 . 2 ((0 + 1) ≠ (2 + 1) → 0 ≠ 2)
3229, 31ax-mp 5 1 0 ≠ 2
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wo 844   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  cr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   < clt 11009  2c2 12028  3c3 12029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-2 12036  df-3 12037  df-resub 40349
This theorem is referenced by:  remul01  40390  sn-0tie0  40421
  Copyright terms: Public domain W3C validator