Theorem sn-0ne2 39285

Description: 0ne2 11845 without ax-mulcom 10601. (Contributed by SN, 23-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-0ne2	⊢ 0 ≠ 2

Proof of Theorem sn-0ne2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 10641	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		readdid2 39282	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 + 1) = 1)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (0 + 1) = 1
4		sn-1ne2 39207	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 2
5		2re 11712	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
6	1, 5	lttri2i 10754	. . . . . 6 ⊢ (1 ≠ 2 ↔ (1 < 2 ∨ 2 < 1))
7	4, 6	mpbi 232	. . . . 5 ⊢ (1 < 2 ∨ 2 < 1)
8		1red 10642	. . . . . . 7 ⊢ (1 < 2 → 1 ∈ ℝ)
9	1, 5, 1	ltadd2i 10771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 < 2 ↔ (1 + 1) < (1 + 2))
10	9	biimpi 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 < 2 → (1 + 1) < (1 + 2))
11		1p1e2 11763	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 1) = 2
12		1p2e3 11781	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 2) = 3
13	10, 11, 12	3brtr3g 5099	. . . . . . . 8 ⊢ (1 < 2 → 2 < 3)
14		3re 11718	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℝ
15	1, 5, 14	lttri 10766	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 < 2 ∧ 2 < 3) → 1 < 3)
16	13, 15	mpdan 685	. . . . . . 7 ⊢ (1 < 2 → 1 < 3)
17	8, 16	ltned 10776	. . . . . 6 ⊢ (1 < 2 → 1 ≠ 3)
18	14	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (2 < 1 → 3 ∈ ℝ)
19	5, 1, 1	ltadd2i 10771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 < 1 ↔ (1 + 2) < (1 + 1))
20	19	biimpi 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 < 1 → (1 + 2) < (1 + 1))
21	20, 12, 11	3brtr3g 5099	. . . . . . . 8 ⊢ (2 < 1 → 3 < 2)
22	14, 5, 1	lttri 10766	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 < 2 ∧ 2 < 1) → 3 < 1)
23	21, 22	mpancom 686	. . . . . . 7 ⊢ (2 < 1 → 3 < 1)
24	18, 23	gtned 10775	. . . . . 6 ⊢ (2 < 1 → 1 ≠ 3)
25	17, 24	jaoi 853	. . . . 5 ⊢ ((1 < 2 ∨ 2 < 1) → 1 ≠ 3)
26	7, 25	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 3
27		df-3 11702	. . . 4 ⊢ 3 = (2 + 1)
28	26, 27	neeqtri 3088	. . 3 ⊢ 1 ≠ (2 + 1)
29	3, 28	eqnetri 3086	. 2 ⊢ (0 + 1) ≠ (2 + 1)
30		oveq1 7163	. . 3 ⊢ (0 = 2 → (0 + 1) = (2 + 1))
31	30	necon3i 3048	. 2 ⊢ ((0 + 1) ≠ (2 + 1) → 0 ≠ 2)
32	29, 31	ax-mp 5	1 ⊢ 0 ≠ 2

Syntax hints:   ∨ wo 843   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016   class class class wbr 5066  (class class class)co 7156  ℝcr 10536  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   < clt 10675  2c2 11693  3c3 11694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-ltxr 10680  df-2 11701  df-3 11702  df-resub 39245

This theorem is referenced by:  remul01  39286