Theorem dp2ltsuc 33498

Description: Comparing a decimal fraction with the next integer. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dp2lt.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dp2lt.b	⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
dp2ltsuc.1	⊢ 𝐵 < ;10
dp2ltsuc.2	⊢ (𝐴 + 1) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
dp2ltsuc	⊢ _𝐴𝐵 < 𝐶

Proof of Theorem dp2ltsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dp2ltsuc.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 < ;10
2		dp2lt.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
3		rpre 13132	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
5		10re 12840	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℝ
6		10pos 12838	. . . . . 6 ⊢ 0 < ;10
7	4, 5, 5, 6	ltdiv1ii 12249	. . . . 5 ⊢ (𝐵 < ;10 ↔ (𝐵 / ;10) < (;10 / ;10))
8	1, 7	mpbi 233	. . . 4 ⊢ (𝐵 / ;10) < (;10 / ;10)
9	5	recni 11326	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℂ
10		10nn 12837	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℕ
11	10	nnne0i 12381	. . . . 5 ⊢ ;10 ≠ 0
12	9, 11	dividi 12053	. . . 4 ⊢ (;10 / ;10) = 1
13	8, 12	breqtri 5129	. . 3 ⊢ (𝐵 / ;10) < 1
14	4, 5, 11	redivcli 12087	. . . 4 ⊢ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ
15		1re 11311	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
16		dp2lt.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
17	16	nn0rei 12620	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
18	14, 15, 17	ltadd2i 11444	. . 3 ⊢ ((𝐵 / ;10) < 1 ↔ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐴 + 1))
19	13, 18	mpbi 233	. 2 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐴 + 1)
20		df-dp2 33484	. 2 ⊢ _𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / ;10))
21		dp2ltsuc.2	. . 3 ⊢ (𝐴 + 1) = 𝐶
22	21	eqcomi 2769	. 2 ⊢ 𝐶 = (𝐴 + 1)
23	19, 20, 22	3brtr4i 5134	1 ⊢ _𝐴𝐵 < 𝐶

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  ℝcr 11202  0cc0 11203  1c1 11204   + caddc 11206   < clt 11346   / cdiv 11976  ℕ₀cn0 12609  ;cdc 12817  ℝ⁺crp 13123  _cdp2 33483

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-dec 12818  df-rp 13124  df-dp2 33484

This theorem is used by:  hgt750lem2  35327