Theorem dp2ltsuc 32630

Description: Comparing a decimal fraction with the next integer. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dp2lt.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dp2lt.b	⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
dp2ltsuc.1	⊢ 𝐵 < ;10
dp2ltsuc.2	⊢ (𝐴 + 1) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
dp2ltsuc	⊢ _𝐴𝐵 < 𝐶

Proof of Theorem dp2ltsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dp2ltsuc.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 < ;10
2		dp2lt.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
3		rpre 13022	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
5		10re 12734	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℝ
6		10pos 12732	. . . . . 6 ⊢ 0 < ;10
7	4, 5, 5, 6	ltdiv1ii 12181	. . . . 5 ⊢ (𝐵 < ;10 ↔ (𝐵 / ;10) < (;10 / ;10))
8	1, 7	mpbi 229	. . . 4 ⊢ (𝐵 / ;10) < (;10 / ;10)
9	5	recni 11266	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℂ
10		10nn 12731	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℕ
11	10	nnne0i 12290	. . . . 5 ⊢ ;10 ≠ 0
12	9, 11	dividi 11985	. . . 4 ⊢ (;10 / ;10) = 1
13	8, 12	breqtri 5177	. . 3 ⊢ (𝐵 / ;10) < 1
14	4, 5, 11	redivcli 12019	. . . 4 ⊢ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ
15		1re 11252	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
16		dp2lt.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
17	16	nn0rei 12521	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
18	14, 15, 17	ltadd2i 11383	. . 3 ⊢ ((𝐵 / ;10) < 1 ↔ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐴 + 1))
19	13, 18	mpbi 229	. 2 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐴 + 1)
20		df-dp2 32616	. 2 ⊢ _𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / ;10))
21		dp2ltsuc.2	. . 3 ⊢ (𝐴 + 1) = 𝐶
22	21	eqcomi 2737	. 2 ⊢ 𝐶 = (𝐴 + 1)
23	19, 20, 22	3brtr4i 5182	1 ⊢ _𝐴𝐵 < 𝐶

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  ℝcr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   < clt 11286   / cdiv 11909  ℕ₀cn0 12510  ;cdc 12715  ℝ⁺crp 13014  _cdp2 32615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-dec 12716  df-rp 13015  df-dp2 32616

This theorem is referenced by:  hgt750lem2  34317