Theorem dp2ltsuc 32873

Description: Comparing a decimal fraction with the next integer. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dp2lt.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dp2lt.b	⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
dp2ltsuc.1	⊢ 𝐵 < ;10
dp2ltsuc.2	⊢ (𝐴 + 1) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
dp2ltsuc	⊢ _𝐴𝐵 < 𝐶

Proof of Theorem dp2ltsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dp2ltsuc.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 < ;10
2		dp2lt.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
3		rpre 12901	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
5		10re 12613	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℝ
6		10pos 12611	. . . . . 6 ⊢ 0 < ;10
7	4, 5, 5, 6	ltdiv1ii 12058	. . . . 5 ⊢ (𝐵 < ;10 ↔ (𝐵 / ;10) < (;10 / ;10))
8	1, 7	mpbi 230	. . . 4 ⊢ (𝐵 / ;10) < (;10 / ;10)
9	5	recni 11133	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℂ
10		10nn 12610	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℕ
11	10	nnne0i 12172	. . . . 5 ⊢ ;10 ≠ 0
12	9, 11	dividi 11861	. . . 4 ⊢ (;10 / ;10) = 1
13	8, 12	breqtri 5118	. . 3 ⊢ (𝐵 / ;10) < 1
14	4, 5, 11	redivcli 11895	. . . 4 ⊢ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ
15		1re 11119	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
16		dp2lt.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
17	16	nn0rei 12399	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
18	14, 15, 17	ltadd2i 11251	. . 3 ⊢ ((𝐵 / ;10) < 1 ↔ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐴 + 1))
19	13, 18	mpbi 230	. 2 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐴 + 1)
20		df-dp2 32859	. 2 ⊢ _𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / ;10))
21		dp2ltsuc.2	. . 3 ⊢ (𝐴 + 1) = 𝐶
22	21	eqcomi 2742	. 2 ⊢ 𝐶 = (𝐴 + 1)
23	19, 20, 22	3brtr4i 5123	1 ⊢ _𝐴𝐵 < 𝐶

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5093  (class class class)co 7352  ℝcr 11012  0cc0 11013  1c1 11014   + caddc 11016   < clt 11153   / cdiv 11781  ℕ₀cn0 12388  ;cdc 12594  ℝ⁺crp 12892  _cdp2 32858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-dec 12595  df-rp 12893  df-dp2 32859

This theorem is referenced by:  hgt750lem2  34686