Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dp2ltsuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dp2ltsuc 30555
Description: Comparing a decimal fraction with the next integer. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dp2lt.a 𝐴 ∈ ℕ0
dp2lt.b 𝐵 ∈ ℝ+
dp2ltsuc.1 𝐵 < 10
dp2ltsuc.2 (𝐴 + 1) = 𝐶
Assertion
Ref Expression
dp2ltsuc 𝐴𝐵 < 𝐶

Proof of Theorem dp2ltsuc
StepHypRef Expression
1 dp2ltsuc.1 . . . . 5 𝐵 < 10
2 dp2lt.b . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℝ+
3 rpre 12389 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ)
42, 3ax-mp 5 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℝ
5 10re 12109 . . . . . 6 10 ∈ ℝ
6 10pos 12107 . . . . . 6 0 < 10
74, 5, 5, 6ltdiv1ii 11561 . . . . 5 (𝐵 < 10 ↔ (𝐵 / 10) < (10 / 10))
81, 7mpbi 232 . . . 4 (𝐵 / 10) < (10 / 10)
95recni 10647 . . . . 5 10 ∈ ℂ
10 10nn 12106 . . . . . 6 10 ∈ ℕ
1110nnne0i 11669 . . . . 5 10 ≠ 0
129, 11dividi 11365 . . . 4 (10 / 10) = 1
138, 12breqtri 5082 . . 3 (𝐵 / 10) < 1
144, 5, 11redivcli 11399 . . . 4 (𝐵 / 10) ∈ ℝ
15 1re 10633 . . . 4 1 ∈ ℝ
16 dp2lt.a . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
1716nn0rei 11900 . . . 4 𝐴 ∈ ℝ
1814, 15, 17ltadd2i 10763 . . 3 ((𝐵 / 10) < 1 ↔ (𝐴 + (𝐵 / 10)) < (𝐴 + 1))
1913, 18mpbi 232 . 2 (𝐴 + (𝐵 / 10)) < (𝐴 + 1)
20 df-dp2 30541 . 2 𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / 10))
21 dp2ltsuc.2 . . 3 (𝐴 + 1) = 𝐶
2221eqcomi 2828 . 2 𝐶 = (𝐴 + 1)
2319, 20, 223brtr4i 5087 1 𝐴𝐵 < 𝐶
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1530  wcel 2107   class class class wbr 5057  (class class class)co 7148  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   < clt 10667   / cdiv 11289  0cn0 11889  cdc 12090  +crp 12381  cdp2 30540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-dec 12091  df-rp 12382  df-dp2 30541
This theorem is referenced by:  hgt750lem2  31911
  Copyright terms: Public domain W3C validator