Theorem ltadd2 11285

Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by NM, 12-Nov-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ltadd2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵)))

Proof of Theorem ltadd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axltadd 11254	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵)))
2		oveq2 7398	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 + 𝐴) = (𝐶 + 𝐵))
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 + 𝐴) = (𝐶 + 𝐵)))
4		axltadd 11254	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → (𝐶 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐴)))
5	4	3com12 1123	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → (𝐶 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐴)))
6	3, 5	orim12d 966	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐶 + 𝐴) = (𝐶 + 𝐵) ∨ (𝐶 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐴))))
7	6	con3d 152	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (¬ ((𝐶 + 𝐴) = (𝐶 + 𝐵) ∨ (𝐶 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐴)) → ¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
8		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
9		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
10	8, 9	readdcld 11210	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 + 𝐴) ∈ ℝ)
11		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
12	8, 11	readdcld 11210	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
13		axlttri 11252	. . . 4 ⊢ (((𝐶 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵) ↔ ¬ ((𝐶 + 𝐴) = (𝐶 + 𝐵) ∨ (𝐶 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐴))))
14	10, 12, 13	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵) ↔ ¬ ((𝐶 + 𝐴) = (𝐶 + 𝐵) ∨ (𝐶 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐴))))
15		axlttri 11252	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
16	9, 11, 15	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
17	7, 14, 16	3imtr4d 294	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
18	1, 17	impbid 212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  ℝcr 11074   + caddc 11078   < clt 11215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-addrcl 11136  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220

This theorem is referenced by:  ltadd2i  11312  ltadd2d  11337  readdcan  11355  ltaddneg  11397  ltadd1  11652  ltaddpos  11675  ltaddsublt  11812  avglt1  12427  flbi2  13786  dp2ltc  32814  sn-ltaddpos  42448  sn-ltaddneg  42449