Theorem ltadd2 10597

Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by NM, 12-Nov-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ltadd2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵)))

Proof of Theorem ltadd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axltadd 10567	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵)))
2		oveq2 7031	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 + 𝐴) = (𝐶 + 𝐵))
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 + 𝐴) = (𝐶 + 𝐵)))
4		axltadd 10567	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → (𝐶 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐴)))
5	4	3com12 1116	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → (𝐶 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐴)))
6	3, 5	orim12d 959	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐶 + 𝐴) = (𝐶 + 𝐵) ∨ (𝐶 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐴))))
7	6	con3d 155	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (¬ ((𝐶 + 𝐴) = (𝐶 + 𝐵) ∨ (𝐶 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐴)) → ¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
8		simp3 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
9		simp1 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
10	8, 9	readdcld 10523	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 + 𝐴) ∈ ℝ)
11		simp2 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
12	8, 11	readdcld 10523	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
13		axlttri 10565	. . . 4 ⊢ (((𝐶 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵) ↔ ¬ ((𝐶 + 𝐴) = (𝐶 + 𝐵) ∨ (𝐶 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐴))))
14	10, 12, 13	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵) ↔ ¬ ((𝐶 + 𝐴) = (𝐶 + 𝐵) ∨ (𝐶 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐴))))
15		axlttri 10565	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
16	9, 11, 15	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
17	7, 14, 16	3imtr4d 295	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
18	1, 17	impbid 213	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∨ wo 842   ∧ w3a 1080   = wceq 1525   ∈ wcel 2083   class class class wbr 4968  (class class class)co 7023  ℝcr 10389   + caddc 10393   < clt 10528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-resscn 10447  ax-addrcl 10451  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-ltadd 10466

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-op 4485  df-uni 4752  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-id 5355  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-ov 7026  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-ltxr 10533

This theorem is referenced by:  ltadd2i  10624  ltadd2d  10649  readdcan  10667  ltaddneg  10708  ltadd1  10961  ltaddpos  10984  ltaddsublt  11121  avglt1  11729  flbi2  13041  dp2ltc  30243