MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  le2tri3i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem le2tri3i 11392
Description: Extended trichotomy law for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 14-Aug-2000.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1 𝐴 ∈ ℝ
lt.2 𝐵 ∈ ℝ
lt.3 𝐶 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
le2tri3i ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) ↔ (𝐴 = 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶 = 𝐴))

Proof of Theorem le2tri3i
StepHypRef Expression
1 lt.2 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℝ
2 lt.3 . . . . . 6 𝐶 ∈ ℝ
3 lt.1 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℝ
41, 2, 3letri 11391 . . . . 5 ((𝐵𝐶𝐶𝐴) → 𝐵𝐴)
53, 1letri3i 11378 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴))
65biimpri 228 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵𝐴) → 𝐴 = 𝐵)
74, 6sylan2 593 . . . 4 ((𝐴𝐵 ∧ (𝐵𝐶𝐶𝐴)) → 𝐴 = 𝐵)
873impb 1114 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) → 𝐴 = 𝐵)
92, 3, 1letri 11391 . . . . . 6 ((𝐶𝐴𝐴𝐵) → 𝐶𝐵)
101, 2letri3i 11378 . . . . . . 7 (𝐵 = 𝐶 ↔ (𝐵𝐶𝐶𝐵))
1110biimpri 228 . . . . . 6 ((𝐵𝐶𝐶𝐵) → 𝐵 = 𝐶)
129, 11sylan2 593 . . . . 5 ((𝐵𝐶 ∧ (𝐶𝐴𝐴𝐵)) → 𝐵 = 𝐶)
13123impb 1114 . . . 4 ((𝐵𝐶𝐶𝐴𝐴𝐵) → 𝐵 = 𝐶)
14133comr 1125 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
153, 1, 2letri 11391 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
163, 2letri3i 11378 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐶 ↔ (𝐴𝐶𝐶𝐴))
1716biimpri 228 . . . . 5 ((𝐴𝐶𝐶𝐴) → 𝐴 = 𝐶)
1817eqcomd 2742 . . . 4 ((𝐴𝐶𝐶𝐴) → 𝐶 = 𝐴)
1915, 18stoic3 1775 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) → 𝐶 = 𝐴)
208, 14, 193jca 1128 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) → (𝐴 = 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶 = 𝐴))
213eqlei 11372 . . 3 (𝐴 = 𝐵𝐴𝐵)
221eqlei 11372 . . 3 (𝐵 = 𝐶𝐵𝐶)
232eqlei 11372 . . 3 (𝐶 = 𝐴𝐶𝐴)
2421, 22, 233anim123i 1151 . 2 ((𝐴 = 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶 = 𝐴) → (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴))
2520, 24impbii 209 1 ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) ↔ (𝐴 = 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶 = 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107   class class class wbr 5142  cr 11155  cle 11297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator