MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  le2tri3i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem le2tri3i 10848
Description: Extended trichotomy law for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 14-Aug-2000.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1 𝐴 ∈ ℝ
lt.2 𝐵 ∈ ℝ
lt.3 𝐶 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
le2tri3i ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) ↔ (𝐴 = 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶 = 𝐴))

Proof of Theorem le2tri3i
StepHypRef Expression
1 lt.2 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℝ
2 lt.3 . . . . . 6 𝐶 ∈ ℝ
3 lt.1 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℝ
41, 2, 3letri 10847 . . . . 5 ((𝐵𝐶𝐶𝐴) → 𝐵𝐴)
53, 1letri3i 10834 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴))
65biimpri 231 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵𝐴) → 𝐴 = 𝐵)
74, 6sylan2 596 . . . 4 ((𝐴𝐵 ∧ (𝐵𝐶𝐶𝐴)) → 𝐴 = 𝐵)
873impb 1116 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) → 𝐴 = 𝐵)
92, 3, 1letri 10847 . . . . . 6 ((𝐶𝐴𝐴𝐵) → 𝐶𝐵)
101, 2letri3i 10834 . . . . . . 7 (𝐵 = 𝐶 ↔ (𝐵𝐶𝐶𝐵))
1110biimpri 231 . . . . . 6 ((𝐵𝐶𝐶𝐵) → 𝐵 = 𝐶)
129, 11sylan2 596 . . . . 5 ((𝐵𝐶 ∧ (𝐶𝐴𝐴𝐵)) → 𝐵 = 𝐶)
13123impb 1116 . . . 4 ((𝐵𝐶𝐶𝐴𝐴𝐵) → 𝐵 = 𝐶)
14133comr 1126 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
153, 1, 2letri 10847 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
163, 2letri3i 10834 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐶 ↔ (𝐴𝐶𝐶𝐴))
1716biimpri 231 . . . . 5 ((𝐴𝐶𝐶𝐴) → 𝐴 = 𝐶)
1817eqcomd 2744 . . . 4 ((𝐴𝐶𝐶𝐴) → 𝐶 = 𝐴)
1915, 18stoic3 1783 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) → 𝐶 = 𝐴)
208, 14, 193jca 1129 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) → (𝐴 = 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶 = 𝐴))
213eqlei 10828 . . 3 (𝐴 = 𝐵𝐴𝐵)
221eqlei 10828 . . 3 (𝐵 = 𝐶𝐵𝐶)
232eqlei 10828 . . 3 (𝐶 = 𝐴𝐶𝐴)
2421, 22, 233anim123i 1152 . 2 ((𝐴 = 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶 = 𝐴) → (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴))
2520, 24impbii 212 1 ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) ↔ (𝐴 = 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶 = 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114   class class class wbr 5030  cr 10614  cle 10754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-resscn 10672  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5429  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator