Theorem dplti 33042

Description: Comparing a decimal expansions with the next higher integer. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dplti.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dplti.b	⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
dplti.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
dplti.1	⊢ 𝐵 < ;10
dplti.2	⊢ (𝐴 + 1) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
dplti	⊢ (𝐴.𝐵) < 𝐶

Proof of Theorem dplti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dplti.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		dplti.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
3		rpre 12995	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
5	1, 4	dpval2 33030	. . 3 ⊢ (𝐴.𝐵) = (𝐴 + (𝐵 / ;10))
6		dplti.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 < ;10
7		10re 12704	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ∈ ℝ
8		10pos 12702	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < ;10
9	7, 8	pm3.2i 474	. . . . . . 7 ⊢ (;10 ∈ ℝ ∧ 0 < ;10)
10		elrp 12988	. . . . . . 7 ⊢ (;10 ∈ ℝ+ ↔ (;10 ∈ ℝ ∧ 0 < ;10))
11	9, 10	mpbir 233	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℝ+
12		divlt1lt 13057	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ;10 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / ;10) < 1 ↔ 𝐵 < ;10))
13	4, 11, 12	mp2an 702	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 / ;10) < 1 ↔ 𝐵 < ;10)
14	6, 13	mpbir 233	. . . 4 ⊢ (𝐵 / ;10) < 1
15		0re 11176	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
16	15, 8	gtneii 11288	. . . . . 6 ⊢ ;10 ≠ 0
17	4, 7, 16	redivcli 11951	. . . . 5 ⊢ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ
18		1re 11174	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
19		nn0ssre 12478	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
20	19, 1	sselii 3931	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
21	17, 18, 20	ltadd2i 11307	. . . 4 ⊢ ((𝐵 / ;10) < 1 ↔ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐴 + 1))
22	14, 21	mpbi 232	. . 3 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐴 + 1)
23	5, 22	eqbrtri 5118	. 2 ⊢ (𝐴.𝐵) < (𝐴 + 1)
24		dplti.2	. 2 ⊢ (𝐴 + 1) = 𝐶
25	23, 24	breqtri 5122	1 ⊢ (𝐴.𝐵) < 𝐶

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5097  (class class class)co 7390  ℝcr 11065  0cc0 11066  1c1 11067   + caddc 11069   < clt 11209   / cdiv 11837  ℕ₀cn0 12474  ;cdc 12681  ℝ⁺crp 12986  .cdp 33025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-div 11838  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12475  df-dec 12682  df-rp 12987  df-dp2 33009  df-dp 33026

This theorem is referenced by:  hgt750lem  34905