Theorem dplti 32825

Description: Comparing a decimal expansions with the next higher integer. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dplti.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dplti.b	⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
dplti.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
dplti.1	⊢ 𝐵 < ;10
dplti.2	⊢ (𝐴 + 1) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
dplti	⊢ (𝐴.𝐵) < 𝐶

Proof of Theorem dplti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dplti.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		dplti.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
3		rpre 12960	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
5	1, 4	dpval2 32813	. . 3 ⊢ (𝐴.𝐵) = (𝐴 + (𝐵 / ;10))
6		dplti.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 < ;10
7		10re 12668	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ∈ ℝ
8		10pos 12666	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < ;10
9	7, 8	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (;10 ∈ ℝ ∧ 0 < ;10)
10		elrp 12953	. . . . . . 7 ⊢ (;10 ∈ ℝ+ ↔ (;10 ∈ ℝ ∧ 0 < ;10))
11	9, 10	mpbir 231	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℝ+
12		divlt1lt 13022	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ;10 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / ;10) < 1 ↔ 𝐵 < ;10))
13	4, 11, 12	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 / ;10) < 1 ↔ 𝐵 < ;10)
14	6, 13	mpbir 231	. . . 4 ⊢ (𝐵 / ;10) < 1
15		0re 11176	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
16	15, 8	gtneii 11286	. . . . . 6 ⊢ ;10 ≠ 0
17	4, 7, 16	redivcli 11949	. . . . 5 ⊢ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ
18		1re 11174	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
19		nn0ssre 12446	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
20	19, 1	sselii 3943	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
21	17, 18, 20	ltadd2i 11305	. . . 4 ⊢ ((𝐵 / ;10) < 1 ↔ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐴 + 1))
22	14, 21	mpbi 230	. . 3 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐴 + 1)
23	5, 22	eqbrtri 5128	. 2 ⊢ (𝐴.𝐵) < (𝐴 + 1)
24		dplti.2	. 2 ⊢ (𝐴 + 1) = 𝐶
25	23, 24	breqtri 5132	1 ⊢ (𝐴.𝐵) < 𝐶

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   < clt 11208   / cdiv 11835  ℕ₀cn0 12442  ;cdc 12649  ℝ⁺crp 12951  .cdp 32808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-dec 12650  df-rp 12952  df-dp2 32792  df-dp 32809

This theorem is referenced by:  hgt750lem  34642