Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dplti Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dplti 30514
Description: Comparing a decimal expansions with the next higher integer. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dplti.a 𝐴 ∈ ℕ0
dplti.b 𝐵 ∈ ℝ+
dplti.c 𝐶 ∈ ℕ0
dplti.1 𝐵 < 10
dplti.2 (𝐴 + 1) = 𝐶
Assertion
Ref Expression
dplti (𝐴.𝐵) < 𝐶

Proof of Theorem dplti
StepHypRef Expression
1 dplti.a . . . 4 𝐴 ∈ ℕ0
2 dplti.b . . . . 5 𝐵 ∈ ℝ+
3 rpre 12392 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ)
42, 3ax-mp 5 . . . 4 𝐵 ∈ ℝ
51, 4dpval2 30502 . . 3 (𝐴.𝐵) = (𝐴 + (𝐵 / 10))
6 dplti.1 . . . . 5 𝐵 < 10
7 10re 12111 . . . . . . . 8 10 ∈ ℝ
8 10pos 12109 . . . . . . . 8 0 < 10
97, 8pm3.2i 471 . . . . . . 7 (10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10)
10 elrp 12386 . . . . . . 7 (10 ∈ ℝ+ ↔ (10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10))
119, 10mpbir 232 . . . . . 6 10 ∈ ℝ+
12 divlt1lt 12453 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 10 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / 10) < 1 ↔ 𝐵 < 10))
134, 11, 12mp2an 688 . . . . 5 ((𝐵 / 10) < 1 ↔ 𝐵 < 10)
146, 13mpbir 232 . . . 4 (𝐵 / 10) < 1
15 0re 10637 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
1615, 8gtneii 10746 . . . . . 6 10 ≠ 0
174, 7, 16redivcli 11401 . . . . 5 (𝐵 / 10) ∈ ℝ
18 1re 10635 . . . . 5 1 ∈ ℝ
19 nn0ssre 11895 . . . . . 6 0 ⊆ ℝ
2019, 1sselii 3968 . . . . 5 𝐴 ∈ ℝ
2117, 18, 20ltadd2i 10765 . . . 4 ((𝐵 / 10) < 1 ↔ (𝐴 + (𝐵 / 10)) < (𝐴 + 1))
2214, 21mpbi 231 . . 3 (𝐴 + (𝐵 / 10)) < (𝐴 + 1)
235, 22eqbrtri 5084 . 2 (𝐴.𝐵) < (𝐴 + 1)
24 dplti.2 . 2 (𝐴 + 1) = 𝐶
2523, 24breqtri 5088 1 (𝐴.𝐵) < 𝐶
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107   class class class wbr 5063  (class class class)co 7150  cr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   < clt 10669   / cdiv 11291  0cn0 11891  cdc 12092  +crp 12384  .cdp 30497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-dec 12093  df-rp 12385  df-dp2 30481  df-dp 30498
This theorem is referenced by:  hgt750lem  31827
  Copyright terms: Public domain W3C validator