Theorem dplti 33132

Description: Comparing a decimal expansions with the next higher integer. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dplti.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dplti.b	⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
dplti.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
dplti.1	⊢ 𝐵 < ;10
dplti.2	⊢ (𝐴 + 1) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
dplti	⊢ (𝐴.𝐵) < 𝐶

Proof of Theorem dplti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dplti.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		dplti.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
3		rpre 13013	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
5	1, 4	dpval2 33120	. . 3 ⊢ (𝐴.𝐵) = (𝐴 + (𝐵 / ;10))
6		dplti.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 < ;10
7		10re 12722	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ∈ ℝ
8		10pos 12720	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < ;10
9	7, 8	pm3.2i 475	. . . . . . 7 ⊢ (;10 ∈ ℝ ∧ 0 < ;10)
10		elrp 13006	. . . . . . 7 ⊢ (;10 ∈ ℝ+ ↔ (;10 ∈ ℝ ∧ 0 < ;10))
11	9, 10	mpbir 234	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℝ+
12		divlt1lt 13075	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ;10 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / ;10) < 1 ↔ 𝐵 < ;10))
13	4, 11, 12	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 / ;10) < 1 ↔ 𝐵 < ;10)
14	6, 13	mpbir 234	. . . 4 ⊢ (𝐵 / ;10) < 1
15		0re 11198	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
16	15, 8	gtneii 11310	. . . . . 6 ⊢ ;10 ≠ 0
17	4, 7, 16	redivcli 11970	. . . . 5 ⊢ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ
18		1re 11196	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
19		nn0ssre 12496	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
20	19, 1	sselii 3936	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
21	17, 18, 20	ltadd2i 11329	. . . 4 ⊢ ((𝐵 / ;10) < 1 ↔ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐴 + 1))
22	14, 21	mpbi 233	. . 3 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐴 + 1)
23	5, 22	eqbrtri 5125	. 2 ⊢ (𝐴.𝐵) < (𝐴 + 1)
24		dplti.2	. 2 ⊢ (𝐴 + 1) = 𝐶
25	23, 24	breqtri 5129	1 ⊢ (𝐴.𝐵) < 𝐶

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5104  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091   < clt 11231   / cdiv 11859  ℕ₀cn0 12492  ;cdc 12699  ℝ⁺crp 13004  .cdp 33115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-dec 12700  df-rp 13005  df-dp2 33099  df-dp 33116

This theorem is referenced by:  hgt750lem  34950