Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dplti Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dplti 32541
Description: Comparing a decimal expansions with the next higher integer. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dplti.a 𝐴 ∈ ℕ0
dplti.b 𝐵 ∈ ℝ+
dplti.c 𝐶 ∈ ℕ0
dplti.1 𝐵 < 10
dplti.2 (𝐴 + 1) = 𝐶
Assertion
Ref Expression
dplti (𝐴.𝐵) < 𝐶

Proof of Theorem dplti
StepHypRef Expression
1 dplti.a . . . 4 𝐴 ∈ ℕ0
2 dplti.b . . . . 5 𝐵 ∈ ℝ+
3 rpre 12980 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ)
42, 3ax-mp 5 . . . 4 𝐵 ∈ ℝ
51, 4dpval2 32529 . . 3 (𝐴.𝐵) = (𝐴 + (𝐵 / 10))
6 dplti.1 . . . . 5 𝐵 < 10
7 10re 12694 . . . . . . . 8 10 ∈ ℝ
8 10pos 12692 . . . . . . . 8 0 < 10
97, 8pm3.2i 470 . . . . . . 7 (10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10)
10 elrp 12974 . . . . . . 7 (10 ∈ ℝ+ ↔ (10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10))
119, 10mpbir 230 . . . . . 6 10 ∈ ℝ+
12 divlt1lt 13041 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 10 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / 10) < 1 ↔ 𝐵 < 10))
134, 11, 12mp2an 689 . . . . 5 ((𝐵 / 10) < 1 ↔ 𝐵 < 10)
146, 13mpbir 230 . . . 4 (𝐵 / 10) < 1
15 0re 11214 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
1615, 8gtneii 11324 . . . . . 6 10 ≠ 0
174, 7, 16redivcli 11979 . . . . 5 (𝐵 / 10) ∈ ℝ
18 1re 11212 . . . . 5 1 ∈ ℝ
19 nn0ssre 12474 . . . . . 6 0 ⊆ ℝ
2019, 1sselii 3972 . . . . 5 𝐴 ∈ ℝ
2117, 18, 20ltadd2i 11343 . . . 4 ((𝐵 / 10) < 1 ↔ (𝐴 + (𝐵 / 10)) < (𝐴 + 1))
2214, 21mpbi 229 . . 3 (𝐴 + (𝐵 / 10)) < (𝐴 + 1)
235, 22eqbrtri 5160 . 2 (𝐴.𝐵) < (𝐴 + 1)
24 dplti.2 . 2 (𝐴 + 1) = 𝐶
2523, 24breqtri 5164 1 (𝐴.𝐵) < 𝐶
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5139  (class class class)co 7402  cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   < clt 11246   / cdiv 11869  0cn0 12470  cdc 12675  +crp 12972  .cdp 32524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12471  df-dec 12676  df-rp 12973  df-dp2 32508  df-dp 32525
This theorem is referenced by:  hgt750lem  34154
  Copyright terms: Public domain W3C validator