Theorem clatlem 18572

Description: Lemma for properties of a complete lattice. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
clatlem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
clatlem.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
clatlem.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
clatlem	⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝑈‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵))

Proof of Theorem clatlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clatlem.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		clatlem.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
3		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝐾 ∈ CLat)
4	1	fvexi 6934	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	4	elpw2 5352	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑆 ⊆ 𝐵)
6	5	biimpri 228	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
7	6	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
8		clatlem.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
9	1, 2, 8	isclat 18570	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ CLat ↔ (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom 𝑈 = 𝒫 𝐵 ∧ dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)))
10	9	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ CLat → (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom 𝑈 = 𝒫 𝐵 ∧ dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)))
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom 𝑈 = 𝒫 𝐵 ∧ dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)))
12	11	simprld 771	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → dom 𝑈 = 𝒫 𝐵)
13	7, 12	eleqtrrd 2847	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ∈ dom 𝑈)
14	1, 2, 3, 13	lubcl 18427	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑈‘𝑆) ∈ 𝐵)
15	11	simprrd 773	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)
16	7, 15	eleqtrrd 2847	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ∈ dom 𝐺)
17	1, 8, 3, 16	glbcl 18440	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
18	14, 17	jca 511	1 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝑈‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976  𝒫 cpw 4622  dom cdm 5700  ‘cfv 6573  Basecbs 17258  Posetcpo 18377  lubclub 18379  glbcglb 18380  CLatccla 18568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-lub 18416  df-glb 18417  df-clat 18569

This theorem is referenced by:  clatlubcl  18573  clatglbcl  18575