Theorem clatlem 18559

Description: Lemma for properties of a complete lattice. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
clatlem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
clatlem.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
clatlem.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
clatlem	⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝑈‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵))

Proof of Theorem clatlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clatlem.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		clatlem.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
3		simpl 487	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝐾 ∈ CLat)
4	1	fvexi 6897	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	4	elpw2 5306	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑆 ⊆ 𝐵)
6	5	bilanri 511	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
7		clatlem.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
8	1, 2, 7	isclat 18557	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ CLat ↔ (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom 𝑈 = 𝒫 𝐵 ∧ dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)))
9	8	birani 508	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom 𝑈 = 𝒫 𝐵 ∧ dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)))
10	9	simprld 783	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → dom 𝑈 = 𝒫 𝐵)
11	6, 10	eleqtrrd 2866	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ∈ dom 𝑈)
12	1, 2, 3, 11	lubcl 18412	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑈‘𝑆) ∈ 𝐵)
13	9	simprrd 785	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)
14	6, 13	eleqtrrd 2866	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ∈ dom 𝐺)
15	1, 7, 3, 14	glbcl 18425	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
16	12, 15	jca 520	1 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝑈‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3906  𝒫 cpw 4563  dom cdm 5663  ‘cfv 6538  Basecbs 17270  Posetcpo 18364  lubclub 18366  glbcglb 18367  CLatccla 18555

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-lub 18401  df-glb 18402  df-clat 18556

This theorem is referenced by:  clatlubcl  18560  clatglbcl  18562