Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clatlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clatlem 17723
 Description: Lemma for properties of a complete lattice. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
clatlem.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
clatlem.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
clatlem.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
clatlem ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → ((𝑈𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺𝑆) ∈ 𝐵))

Proof of Theorem clatlem
StepHypRef Expression
1 clatlem.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 clatlem.u . . 3 𝑈 = (lub‘𝐾)
3 simpl 485 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → 𝐾 ∈ CLat)
41fvexi 6686 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
54elpw2 5250 . . . . . 6 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑆𝐵)
65biimpri 230 . . . . 5 (𝑆𝐵𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
76adantl 484 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
8 clatlem.g . . . . . . . 8 𝐺 = (glb‘𝐾)
91, 2, 8isclat 17721 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ CLat ↔ (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom 𝑈 = 𝒫 𝐵 ∧ dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)))
109biimpi 218 . . . . . 6 (𝐾 ∈ CLat → (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom 𝑈 = 𝒫 𝐵 ∧ dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)))
1110adantr 483 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom 𝑈 = 𝒫 𝐵 ∧ dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)))
1211simprld 770 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → dom 𝑈 = 𝒫 𝐵)
137, 12eleqtrrd 2918 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → 𝑆 ∈ dom 𝑈)
141, 2, 3, 13lubcl 17597 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (𝑈𝑆) ∈ 𝐵)
1511simprrd 772 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)
167, 15eleqtrrd 2918 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → 𝑆 ∈ dom 𝐺)
171, 8, 3, 16glbcl 17610 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
1814, 17jca 514 1 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → ((𝑈𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺𝑆) ∈ 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3938  𝒫 cpw 4541  dom cdm 5557  ‘cfv 6357  Basecbs 16485  Posetcpo 17552  lubclub 17554  glbcglb 17555  CLatccla 17719 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-lub 17586  df-glb 17587  df-clat 17720 This theorem is referenced by:  clatlubcl  17724  clatglbcl  17726
 Copyright terms: Public domain W3C validator