Theorem clatlem 18452

Description: Lemma for properties of a complete lattice. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
clatlem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
clatlem.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
clatlem.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
clatlem	⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝑈‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵))

Proof of Theorem clatlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clatlem.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		clatlem.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
3		simpl 484	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝐾 ∈ CLat)
4	1	fvexi 6903	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	4	elpw2 5345	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑆 ⊆ 𝐵)
6	5	biimpri 227	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
7	6	adantl 483	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
8		clatlem.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
9	1, 2, 8	isclat 18450	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ CLat ↔ (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom 𝑈 = 𝒫 𝐵 ∧ dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)))
10	9	biimpi 215	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ CLat → (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom 𝑈 = 𝒫 𝐵 ∧ dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)))
11	10	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom 𝑈 = 𝒫 𝐵 ∧ dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)))
12	11	simprld 771	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → dom 𝑈 = 𝒫 𝐵)
13	7, 12	eleqtrrd 2837	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ∈ dom 𝑈)
14	1, 2, 3, 13	lubcl 18307	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑈‘𝑆) ∈ 𝐵)
15	11	simprrd 773	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)
16	7, 15	eleqtrrd 2837	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ∈ dom 𝐺)
17	1, 8, 3, 16	glbcl 18320	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
18	14, 17	jca 513	1 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝑈‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3948  𝒫 cpw 4602  dom cdm 5676  ‘cfv 6541  Basecbs 17141  Posetcpo 18257  lubclub 18259  glbcglb 18260  CLatccla 18448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-lub 18296  df-glb 18297  df-clat 18449

This theorem is referenced by:  clatlubcl  18453  clatglbcl  18455