MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clatlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clatlem 18041
Description: Lemma for properties of a complete lattice. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
clatlem.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
clatlem.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
clatlem.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
clatlem ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → ((𝑈𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺𝑆) ∈ 𝐵))

Proof of Theorem clatlem
StepHypRef Expression
1 clatlem.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 clatlem.u . . 3 𝑈 = (lub‘𝐾)
3 simpl 486 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → 𝐾 ∈ CLat)
41fvexi 6753 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
54elpw2 5255 . . . . . 6 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑆𝐵)
65biimpri 231 . . . . 5 (𝑆𝐵𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
76adantl 485 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
8 clatlem.g . . . . . . . 8 𝐺 = (glb‘𝐾)
91, 2, 8isclat 18039 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ CLat ↔ (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom 𝑈 = 𝒫 𝐵 ∧ dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)))
109biimpi 219 . . . . . 6 (𝐾 ∈ CLat → (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom 𝑈 = 𝒫 𝐵 ∧ dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)))
1110adantr 484 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom 𝑈 = 𝒫 𝐵 ∧ dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)))
1211simprld 772 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → dom 𝑈 = 𝒫 𝐵)
137, 12eleqtrrd 2843 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → 𝑆 ∈ dom 𝑈)
141, 2, 3, 13lubcl 17896 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (𝑈𝑆) ∈ 𝐵)
1511simprrd 774 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → dom 𝐺 = 𝒫 𝐵)
167, 15eleqtrrd 2843 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → 𝑆 ∈ dom 𝐺)
171, 8, 3, 16glbcl 17909 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
1814, 17jca 515 1 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → ((𝑈𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺𝑆) ∈ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2112  wss 3883  𝒫 cpw 4530  dom cdm 5569  cfv 6401  Basecbs 16793  Posetcpo 17847  lubclub 17849  glbcglb 17850  CLatccla 18037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-rep 5196  ax-sep 5209  ax-nul 5216  ax-pow 5275  ax-pr 5339
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4255  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5153  df-id 5472  df-xp 5575  df-rel 5576  df-cnv 5577  df-co 5578  df-dm 5579  df-rn 5580  df-res 5581  df-ima 5582  df-iota 6359  df-fun 6403  df-fn 6404  df-f 6405  df-f1 6406  df-fo 6407  df-f1o 6408  df-fv 6409  df-riota 7192  df-lub 17885  df-glb 17886  df-clat 18038
This theorem is referenced by:  clatlubcl  18042  clatglbcl  18044
  Copyright terms: Public domain W3C validator