Theorem op1cl 40061

Description: An orthoposet has a unity element. (helch 31727 analog.) (Contributed by NM, 22-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
op1cl.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
op1cl	⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem op1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op1cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
3		op1cl.u	. . 3 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
4	1, 2, 3	p1val 18517	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 = ((lub‘𝐾)‘𝐵))
5		id 23	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ OP)
6		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
7	1, 2, 6	op01dm 40059	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (𝐵 ∈ dom (lub‘𝐾) ∧ 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾)))
8	7	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 𝐵 ∈ dom (lub‘𝐾))
9	1, 2, 5, 8	lubcl 18446	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ((lub‘𝐾)‘𝐵) ∈ 𝐵)
10	4, 9	eqeltrd 2860	1 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  dom cdm 5655  ‘cfv 6533  Basecbs 17304  lubclub 18400  glbcglb 18401  1.cp1 18513  OPcops 40048

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-lub 18435  df-p1 18515  df-oposet 40052

This theorem is used by:  op1le  40068  glb0N  40069  opoc1  40078  opoc0  40079  olm11  40103  olm12  40104  ncvr1  40148  hlhgt2  40265  hl0lt1N  40266  hl2at  40281  athgt  40332  1cvrco  40348  1cvrjat  40351  pmap1N  40643  pol1N  40786  lhp2lt  40877  lhpexnle  40882  dih1  42162  dih1rn  42163  dih1cnv  42164  dihglb2  42218  dochocss  42242  dihjatc  42293