Theorem op1cl 38787

Description: An orthoposet has a unity element. (helch 31125 analog.) (Contributed by NM, 22-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
op1cl.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
op1cl	⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem op1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op1cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2725	. . 3 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
3		op1cl.u	. . 3 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
4	1, 2, 3	p1val 18423	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 = ((lub‘𝐾)‘𝐵))
5		id 22	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ OP)
6		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
7	1, 2, 6	op01dm 38785	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (𝐵 ∈ dom (lub‘𝐾) ∧ 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾)))
8	7	simpld 493	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 𝐵 ∈ dom (lub‘𝐾))
9	1, 2, 5, 8	lubcl 18352	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ((lub‘𝐾)‘𝐵) ∈ 𝐵)
10	4, 9	eqeltrd 2825	1 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  dom cdm 5678  ‘cfv 6549  Basecbs 17183  lubclub 18304  glbcglb 18305  1.cp1 18419  OPcops 38774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-lub 18341  df-p1 18421  df-oposet 38778

This theorem is referenced by:  op1le  38794  glb0N  38795  opoc1  38804  opoc0  38805  olm11  38829  olm12  38830  ncvr1  38874  hlhgt2  38992  hl0lt1N  38993  hl2at  39008  athgt  39059  1cvrco  39075  1cvrjat  39078  pmap1N  39370  pol1N  39513  lhp2lt  39604  lhpexnle  39609  dih1  40889  dih1rn  40890  dih1cnv  40891  dihglb2  40945  dochocss  40969  dihjatc  41020