Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  op1cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem op1cl 35259
Description: An orthoposet has a unit element. (helch 28654 analog.) (Contributed by NM, 22-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
op1cl.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
op1cl.u 1 = (1.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
op1cl (𝐾 ∈ OP → 1𝐵)

Proof of Theorem op1cl
StepHypRef Expression
1 op1cl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2824 . . 3 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
3 op1cl.u . . 3 1 = (1.‘𝐾)
41, 2, 3p1val 17394 . 2 (𝐾 ∈ OP → 1 = ((lub‘𝐾)‘𝐵))
5 id 22 . . 3 (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ OP)
6 eqid 2824 . . . . 5 (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
71, 2, 6op01dm 35257 . . . 4 (𝐾 ∈ OP → (𝐵 ∈ dom (lub‘𝐾) ∧ 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾)))
87simpld 490 . . 3 (𝐾 ∈ OP → 𝐵 ∈ dom (lub‘𝐾))
91, 2, 5, 8lubcl 17337 . 2 (𝐾 ∈ OP → ((lub‘𝐾)‘𝐵) ∈ 𝐵)
104, 9eqeltrd 2905 1 (𝐾 ∈ OP → 1𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1658  wcel 2166  dom cdm 5341  cfv 6122  Basecbs 16221  lubclub 17294  glbcglb 17295  1.cp1 17390  OPcops 35246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-op 4403  df-uni 4658  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-id 5249  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-lub 17326  df-p1 17392  df-oposet 35250
This theorem is referenced by:  op1le  35266  glb0N  35267  opoc1  35276  opoc0  35277  olm11  35301  olm12  35302  ncvr1  35346  hlhgt2  35463  hl0lt1N  35464  hl2at  35479  athgt  35530  1cvrco  35546  1cvrjat  35549  pmap1N  35841  pol1N  35984  lhp2lt  36075  lhpexnle  36080  dih1  37360  dih1rn  37361  dih1cnv  37362  dihglb2  37416  dochocss  37440  dihjatc  37491
  Copyright terms: Public domain W3C validator