Theorem op1cl 39203

Description: An orthoposet has a unity element. (helch 31224 analog.) (Contributed by NM, 22-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
op1cl.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
op1cl	⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem op1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op1cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2735	. . 3 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
3		op1cl.u	. . 3 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
4	1, 2, 3	p1val 18438	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 = ((lub‘𝐾)‘𝐵))
5		id 22	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ OP)
6		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
7	1, 2, 6	op01dm 39201	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (𝐵 ∈ dom (lub‘𝐾) ∧ 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾)))
8	7	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 𝐵 ∈ dom (lub‘𝐾))
9	1, 2, 5, 8	lubcl 18367	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ((lub‘𝐾)‘𝐵) ∈ 𝐵)
10	4, 9	eqeltrd 2834	1 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  dom cdm 5654  ‘cfv 6531  Basecbs 17228  lubclub 18321  glbcglb 18322  1.cp1 18434  OPcops 39190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-lub 18356  df-p1 18436  df-oposet 39194

This theorem is referenced by:  op1le  39210  glb0N  39211  opoc1  39220  opoc0  39221  olm11  39245  olm12  39246  ncvr1  39290  hlhgt2  39408  hl0lt1N  39409  hl2at  39424  athgt  39475  1cvrco  39491  1cvrjat  39494  pmap1N  39786  pol1N  39929  lhp2lt  40020  lhpexnle  40025  dih1  41305  dih1rn  41306  dih1cnv  41307  dihglb2  41361  dochocss  41385  dihjatc  41436