Theorem op1cl 39186

Description: An orthoposet has a unity element. (helch 31262 analog.) (Contributed by NM, 22-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
op1cl.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
op1cl	⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem op1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op1cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
3		op1cl.u	. . 3 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
4	1, 2, 3	p1val 18473	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 = ((lub‘𝐾)‘𝐵))
5		id 22	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ OP)
6		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
7	1, 2, 6	op01dm 39184	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (𝐵 ∈ dom (lub‘𝐾) ∧ 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾)))
8	7	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 𝐵 ∈ dom (lub‘𝐾))
9	1, 2, 5, 8	lubcl 18402	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ((lub‘𝐾)‘𝐵) ∈ 𝐵)
10	4, 9	eqeltrd 2841	1 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  dom cdm 5685  ‘cfv 6561  Basecbs 17247  lubclub 18355  glbcglb 18356  1.cp1 18469  OPcops 39173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-lub 18391  df-p1 18471  df-oposet 39177

This theorem is referenced by:  op1le  39193  glb0N  39194  opoc1  39203  opoc0  39204  olm11  39228  olm12  39229  ncvr1  39273  hlhgt2  39391  hl0lt1N  39392  hl2at  39407  athgt  39458  1cvrco  39474  1cvrjat  39477  pmap1N  39769  pol1N  39912  lhp2lt  40003  lhpexnle  40008  dih1  41288  dih1rn  41289  dih1cnv  41290  dihglb2  41344  dochocss  41368  dihjatc  41419