Theorem meetcl 18347

Description: Closure of meet of elements in the domain. (Contributed by NM, 12-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
meetcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
meetcl.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
meetcl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
meetcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
meetcl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
meetcl.e	⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ )

Assertion

Ref	Expression
meetcl	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem meetcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. . 3 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
2		meetcl.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
3		meetcl.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
4		meetcl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		meetcl.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	meetval 18346	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∧ 𝑌) = ((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌}))
7		meetcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		meetcl.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ )
9	1, 2, 3, 4, 5	meetdef 18345	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ↔ {𝑋, 𝑌} ∈ dom (glb‘𝐾)))
10	8, 9	mpbid 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ∈ dom (glb‘𝐾))
11	7, 1, 3, 10	glbcl 18325	. 2 ⊢ (𝜑 → ((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌}) ∈ 𝐵)
12	6, 11	eqeltrd 2839	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {cpr 4557  ⟨cop 4561  dom cdm 5618  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170  glbcglb 18267  meetcmee 18269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-glb 18302  df-meet 18304

This theorem is referenced by:  meetle  18355  latlem  18394