Theorem meetcl 18422

Description: Closure of meet of elements in the domain. (Contributed by NM, 12-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
meetcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
meetcl.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
meetcl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
meetcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
meetcl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
meetcl.e	⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ )

Assertion

Ref	Expression
meetcl	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem meetcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . 3 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
2		meetcl.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
3		meetcl.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
4		meetcl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		meetcl.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	meetval 18421	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∧ 𝑌) = ((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌}))
7		meetcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		meetcl.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ )
9	1, 2, 3, 4, 5	meetdef 18420	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ↔ {𝑋, 𝑌} ∈ dom (glb‘𝐾)))
10	8, 9	mpbid 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ∈ dom (glb‘𝐾))
11	7, 1, 3, 10	glbcl 18400	. 2 ⊢ (𝜑 → ((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌}) ∈ 𝐵)
12	6, 11	eqeltrd 2862	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  {cpr 4584  ⟨cop 4588  dom cdm 5647  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17245  glbcglb 18342  meetcmee 18344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-glb 18377  df-meet 18379

This theorem is referenced by:  meetle  18430  latlem  18469