Theorem meetcl 18327

Description: Closure of meet of elements in the domain. (Contributed by NM, 12-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
meetcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
meetcl.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
meetcl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
meetcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
meetcl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
meetcl.e	⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ )

Assertion

Ref	Expression
meetcl	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem meetcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
2		meetcl.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
3		meetcl.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
4		meetcl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		meetcl.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	meetval 18326	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∧ 𝑌) = ((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌}))
7		meetcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		meetcl.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ )
9	1, 2, 3, 4, 5	meetdef 18325	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ↔ {𝑋, 𝑌} ∈ dom (glb‘𝐾)))
10	8, 9	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ∈ dom (glb‘𝐾))
11	7, 1, 3, 10	glbcl 18305	. 2 ⊢ (𝜑 → ((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌}) ∈ 𝐵)
12	6, 11	eqeltrd 2828	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cpr 4587  ⟨cop 4591  dom cdm 5631  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  glbcglb 18247  meetcmee 18249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-glb 18282  df-meet 18284

This theorem is referenced by:  meetle  18335  latlem  18372