MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  meetdmss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem meetdmss 18450
Description: Subset property of domain of meet. (Contributed by NM, 12-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
meetdmss.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
meetdmss.j = (meet‘𝐾)
meetdmss.k (𝜑𝐾𝑉)
Assertion
Ref Expression
meetdmss (𝜑 → dom ⊆ (𝐵 × 𝐵))

Proof of Theorem meetdmss
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relopabv 5833 . . 3 Rel {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} ∈ dom (glb‘𝐾)}
2 meetdmss.k . . . . 5 (𝜑𝐾𝑉)
3 eqid 2734 . . . . . 6 (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
4 meetdmss.j . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
53, 4meetdm 18446 . . . . 5 (𝐾𝑉 → dom = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} ∈ dom (glb‘𝐾)})
62, 5syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} ∈ dom (glb‘𝐾)})
76releqd 5790 . . 3 (𝜑 → (Rel dom ↔ Rel {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} ∈ dom (glb‘𝐾)}))
81, 7mpbiri 258 . 2 (𝜑 → Rel dom )
9 vex 3481 . . . . 5 𝑥 ∈ V
109a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑥 ∈ V)
11 vex 3481 . . . . 5 𝑦 ∈ V
1211a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑦 ∈ V)
133, 4, 2, 10, 12meetdef 18447 . . 3 (𝜑 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ dom ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ dom (glb‘𝐾)))
14 meetdmss.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
15 eqid 2734 . . . . . 6 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
162adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ dom (glb‘𝐾)) → 𝐾𝑉)
17 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ dom (glb‘𝐾)) → {𝑥, 𝑦} ∈ dom (glb‘𝐾))
1814, 15, 3, 16, 17glbelss 18424 . . . . 5 ((𝜑 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ dom (glb‘𝐾)) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵)
1918ex 412 . . . 4 (𝜑 → ({𝑥, 𝑦} ∈ dom (glb‘𝐾) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵))
209, 11prss 4824 . . . . 5 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵)
21 opelxpi 5725 . . . . 5 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
2220, 21sylbir 235 . . . 4 ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
2319, 22syl6 35 . . 3 (𝜑 → ({𝑥, 𝑦} ∈ dom (glb‘𝐾) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵)))
2413, 23sylbid 240 . 2 (𝜑 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ dom → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵)))
258, 24relssdv 5800 1 (𝜑 → dom ⊆ (𝐵 × 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  Vcvv 3477  wss 3962  {cpr 4632  cop 4636  {copab 5209   × cxp 5686  dom cdm 5688  Rel wrel 5693  cfv 6562  Basecbs 17244  lecple 17304  glbcglb 18367  meetcmee 18369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-oprab 7434  df-glb 18404  df-meet 18406
This theorem is referenced by:  clatl  18565  meetdm2  48766
  Copyright terms: Public domain W3C validator