MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  meetdmss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem meetdmss 18287
Description: Subset property of domain of meet. (Contributed by NM, 12-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
meetdmss.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
meetdmss.j ∧ = (meetβ€˜πΎ)
meetdmss.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
meetdmss (πœ‘ β†’ dom ∧ βŠ† (𝐡 Γ— 𝐡))

Proof of Theorem meetdmss
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relopabv 5778 . . 3 Rel {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ {π‘₯, 𝑦} ∈ dom (glbβ€˜πΎ)}
2 meetdmss.k . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑉)
3 eqid 2733 . . . . . 6 (glbβ€˜πΎ) = (glbβ€˜πΎ)
4 meetdmss.j . . . . . 6 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
53, 4meetdm 18283 . . . . 5 (𝐾 ∈ 𝑉 β†’ dom ∧ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ {π‘₯, 𝑦} ∈ dom (glbβ€˜πΎ)})
62, 5syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom ∧ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ {π‘₯, 𝑦} ∈ dom (glbβ€˜πΎ)})
76releqd 5735 . . 3 (πœ‘ β†’ (Rel dom ∧ ↔ Rel {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ {π‘₯, 𝑦} ∈ dom (glbβ€˜πΎ)}))
81, 7mpbiri 258 . 2 (πœ‘ β†’ Rel dom ∧ )
9 vex 3448 . . . . 5 π‘₯ ∈ V
109a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘₯ ∈ V)
11 vex 3448 . . . . 5 𝑦 ∈ V
1211a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑦 ∈ V)
133, 4, 2, 10, 12meetdef 18284 . . 3 (πœ‘ β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ dom ∧ ↔ {π‘₯, 𝑦} ∈ dom (glbβ€˜πΎ)))
14 meetdmss.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
15 eqid 2733 . . . . . 6 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
162adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ {π‘₯, 𝑦} ∈ dom (glbβ€˜πΎ)) β†’ 𝐾 ∈ 𝑉)
17 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ {π‘₯, 𝑦} ∈ dom (glbβ€˜πΎ)) β†’ {π‘₯, 𝑦} ∈ dom (glbβ€˜πΎ))
1814, 15, 3, 16, 17glbelss 18261 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ {π‘₯, 𝑦} ∈ dom (glbβ€˜πΎ)) β†’ {π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐡)
1918ex 414 . . . 4 (πœ‘ β†’ ({π‘₯, 𝑦} ∈ dom (glbβ€˜πΎ) β†’ {π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐡))
209, 11prss 4781 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ↔ {π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐡)
21 opelxpi 5671 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡))
2220, 21sylbir 234 . . . 4 ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐡 β†’ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡))
2319, 22syl6 35 . . 3 (πœ‘ β†’ ({π‘₯, 𝑦} ∈ dom (glbβ€˜πΎ) β†’ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡)))
2413, 23sylbid 239 . 2 (πœ‘ β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ dom ∧ β†’ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡)))
258, 24relssdv 5745 1 (πœ‘ β†’ dom ∧ βŠ† (𝐡 Γ— 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444   βŠ† wss 3911  {cpr 4589  βŸ¨cop 4593  {copab 5168   Γ— cxp 5632  dom cdm 5634  Rel wrel 5639  β€˜cfv 6497  Basecbs 17088  lecple 17145  glbcglb 18204  meetcmee 18206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-oprab 7362  df-glb 18241  df-meet 18243
This theorem is referenced by:  clatl  18402  meetdm2  47089
  Copyright terms: Public domain W3C validator