Theorem meetdmss 18346

Description: Subset property of domain of meet. (Contributed by NM, 12-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
meetdmss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
meetdmss.j	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
meetdmss.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
meetdmss	⊢ (𝜑 → dom ∧ ⊆ (𝐵 × 𝐵))

Proof of Theorem meetdmss

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relopabv 5822	. . 3 ⊢ Rel {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} ∈ dom (glb‘𝐾)}
2		meetdmss.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
3		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
4		meetdmss.j	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
5	3, 4	meetdm 18342	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → dom ∧ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} ∈ dom (glb‘𝐾)})
6	2, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom ∧ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} ∈ dom (glb‘𝐾)})
7	6	releqd 5779	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Rel dom ∧ ↔ Rel {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} ∈ dom (glb‘𝐾)}))
8	1, 7	mpbiri 258	. 2 ⊢ (𝜑 → Rel dom ∧ )
9		vex 3479	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ V)
11		vex 3479	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ V)
13	3, 4, 2, 10, 12	meetdef 18343	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ dom ∧ ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ dom (glb‘𝐾)))
14		meetdmss.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
15		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
16	2	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ dom (glb‘𝐾)) → 𝐾 ∈ 𝑉)
17		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ dom (glb‘𝐾)) → {𝑥, 𝑦} ∈ dom (glb‘𝐾))
18	14, 15, 3, 16, 17	glbelss 18320	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ dom (glb‘𝐾)) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵)
19	18	ex 414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑥, 𝑦} ∈ dom (glb‘𝐾) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵))
20	9, 11	prss 4824	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵)
21		opelxpi 5714	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
22	20, 21	sylbir 234	. . . 4 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
23	19, 22	syl6 35	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝑥, 𝑦} ∈ dom (glb‘𝐾) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵)))
24	13, 23	sylbid 239	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ dom ∧ → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵)))
25	8, 24	relssdv 5789	1 ⊢ (𝜑 → dom ∧ ⊆ (𝐵 × 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ⊆ wss 3949  {cpr 4631  ⟨cop 4635  {copab 5211   × cxp 5675  dom cdm 5677  Rel wrel 5682  ‘cfv 6544  Basecbs 17144  lecple 17204  glbcglb 18263  meetcmee 18265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-oprab 7413  df-glb 18300  df-meet 18302

This theorem is referenced by:  clatl  18461  meetdm2  47603