Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mgccole2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mgccole2 32747
Description: Inequality for the closure operator (𝐹 ∘ 𝐺) of the Galois connection 𝐻. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mgcoval.1 𝐴 = (Baseβ€˜π‘‰)
mgcoval.2 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
mgcoval.3 ≀ = (leβ€˜π‘‰)
mgcoval.4 ≲ = (leβ€˜π‘Š)
mgcval.1 𝐻 = (𝑉MGalConnπ‘Š)
mgcval.2 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ Proset )
mgcval.3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Proset )
mgccole.1 (πœ‘ β†’ 𝐹𝐻𝐺)
mgccole2.1 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
mgccole2 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘Œ)) ≲ π‘Œ)

Proof of Theorem mgccole2
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mgcval.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ Proset )
2 mgccole.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹𝐻𝐺)
3 mgcoval.1 . . . . . . 7 𝐴 = (Baseβ€˜π‘‰)
4 mgcoval.2 . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
5 mgcoval.3 . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜π‘‰)
6 mgcoval.4 . . . . . . 7 ≲ = (leβ€˜π‘Š)
7 mgcval.1 . . . . . . 7 𝐻 = (𝑉MGalConnπ‘Š)
8 mgcval.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Proset )
93, 4, 5, 6, 7, 1, 8mgcval 32743 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹𝐻𝐺 ↔ ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐺:𝐡⟢𝐴) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘₯) ≲ 𝑦 ↔ π‘₯ ≀ (πΊβ€˜π‘¦)))))
102, 9mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐺:𝐡⟢𝐴) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘₯) ≲ 𝑦 ↔ π‘₯ ≀ (πΊβ€˜π‘¦))))
1110simplrd 768 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐡⟢𝐴)
12 mgccole2.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
1311, 12ffvelcdmd 7100 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐴)
143, 5prsref 18300 . . 3 ((𝑉 ∈ Proset ∧ (πΊβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘Œ) ≀ (πΊβ€˜π‘Œ))
151, 13, 14syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘Œ) ≀ (πΊβ€˜π‘Œ))
1610simprd 494 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘₯) ≲ 𝑦 ↔ π‘₯ ≀ (πΊβ€˜π‘¦)))
17 fveq2 6902 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (πΊβ€˜π‘Œ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘Œ)))
1817breq1d 5162 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (πΊβ€˜π‘Œ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ≲ 𝑦 ↔ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘Œ)) ≲ 𝑦))
19 breq1 5155 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (πΊβ€˜π‘Œ) β†’ (π‘₯ ≀ (πΊβ€˜π‘¦) ↔ (πΊβ€˜π‘Œ) ≀ (πΊβ€˜π‘¦)))
2018, 19bibi12d 344 . . . . . . 7 (π‘₯ = (πΊβ€˜π‘Œ) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯) ≲ 𝑦 ↔ π‘₯ ≀ (πΊβ€˜π‘¦)) ↔ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘Œ)) ≲ 𝑦 ↔ (πΊβ€˜π‘Œ) ≀ (πΊβ€˜π‘¦))))
2120adantl 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = (πΊβ€˜π‘Œ)) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯) ≲ 𝑦 ↔ π‘₯ ≀ (πΊβ€˜π‘¦)) ↔ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘Œ)) ≲ 𝑦 ↔ (πΊβ€˜π‘Œ) ≀ (πΊβ€˜π‘¦))))
2221ralbidv 3175 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = (πΊβ€˜π‘Œ)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘₯) ≲ 𝑦 ↔ π‘₯ ≀ (πΊβ€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘Œ)) ≲ 𝑦 ↔ (πΊβ€˜π‘Œ) ≀ (πΊβ€˜π‘¦))))
2313, 22rspcdv 3603 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘₯) ≲ 𝑦 ↔ π‘₯ ≀ (πΊβ€˜π‘¦)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘Œ)) ≲ 𝑦 ↔ (πΊβ€˜π‘Œ) ≀ (πΊβ€˜π‘¦))))
2416, 23mpd 15 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘Œ)) ≲ 𝑦 ↔ (πΊβ€˜π‘Œ) ≀ (πΊβ€˜π‘¦)))
25 simpr 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = π‘Œ) β†’ 𝑦 = π‘Œ)
2625breq2d 5164 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = π‘Œ) β†’ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘Œ)) ≲ 𝑦 ↔ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘Œ)) ≲ π‘Œ))
27 fveq2 6902 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘Œ β†’ (πΊβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘Œ))
2827adantl 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = π‘Œ) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘Œ))
2928breq2d 5164 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = π‘Œ) β†’ ((πΊβ€˜π‘Œ) ≀ (πΊβ€˜π‘¦) ↔ (πΊβ€˜π‘Œ) ≀ (πΊβ€˜π‘Œ)))
3026, 29bibi12d 344 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = π‘Œ) β†’ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘Œ)) ≲ 𝑦 ↔ (πΊβ€˜π‘Œ) ≀ (πΊβ€˜π‘¦)) ↔ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘Œ)) ≲ π‘Œ ↔ (πΊβ€˜π‘Œ) ≀ (πΊβ€˜π‘Œ))))
3112, 30rspcdv 3603 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘Œ)) ≲ 𝑦 ↔ (πΊβ€˜π‘Œ) ≀ (πΊβ€˜π‘¦)) β†’ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘Œ)) ≲ π‘Œ ↔ (πΊβ€˜π‘Œ) ≀ (πΊβ€˜π‘Œ))))
3224, 31mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘Œ)) ≲ π‘Œ ↔ (πΊβ€˜π‘Œ) ≀ (πΊβ€˜π‘Œ)))
3315, 32mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘Œ)) ≲ π‘Œ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058   class class class wbr 5152  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17189  lecple 17249   Proset cproset 18294  MGalConncmgc 32735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-map 8855  df-proset 18296  df-mgc 32737
This theorem is referenced by:  mgcmnt2  32749  mgcmntco  32750  dfmgc2  32752  mgcf1olem1  32757  mgcf1olem2  32758
  Copyright terms: Public domain W3C validator