Theorem min2 13323

Description: The minimum of two numbers is less than or equal to the second. (Contributed by NM, 3-Aug-2007.)

Assertion

Ref	Expression
min2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐵)

Proof of Theorem min2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11358	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 11358	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrmin2 13311	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2an 608	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  ifcif 4481   class class class wbr 5102  ℝcr 11202  ℝ^*cxr 11345   ≤ cle 11347

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352

This theorem is used by:  ssfzunsnext  13706  reccn2  15769  ssblex  24752  nlmvscnlem1  25010  nrginvrcnlem  25015  icccmplem2  25148  xlebnum  25291  ipcnlem1  25571  ivthlem2  25778  ovolicc2lem5  25847  ioombl1lem1  25884  mbfi1fseqlem4  26044  mbfi1fseqlem5  26045  aalioulem5  26668  aalioulem6  26669  cxpcn3lem  27080  ftalem5  27409  chtdif  27490  ppidif  27495  chebbnd1lem1  27801  itg2addnc  38685  min2d  46576  mullimc  46721  mullimcf  46728  limcleqr  46747  addlimc  46751  0ellimcdiv  46752  limclner  46754  stoweidlem5  47108  fourierdlem104  47313  ioorrnopnlem  47407  hoidmv1lelem2  47695  smfmullem1  47894