MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  min2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem min2 12580
Description: The minimum of two numbers is less than or equal to the second. (Contributed by NM, 3-Aug-2007.)
Assertion
Ref Expression
min2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐵)

Proof of Theorem min2
StepHypRef Expression
1 rexr 10685 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 rexr 10685 . 2 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3 xrmin2 12568 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐵)
41, 2, 3syl2an 598 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2115  ifcif 4450   class class class wbr 5052  cr 10534  *cxr 10672  cle 10674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-po 5461  df-so 5462  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679
This theorem is referenced by:  ssfzunsnext  12956  reccn2  14953  ssblex  23041  nlmvscnlem1  23298  nrginvrcnlem  23303  icccmplem2  23434  xlebnum  23576  ipcnlem1  23855  ivthlem2  24062  ovolicc2lem5  24131  ioombl1lem1  24168  mbfi1fseqlem4  24328  mbfi1fseqlem5  24329  aalioulem5  24938  aalioulem6  24939  cxpcn3lem  25342  ftalem5  25668  chtdif  25749  ppidif  25754  chebbnd1lem1  26059  itg2addnc  35059  min2d  42042  mullimc  42188  mullimcf  42195  limcleqr  42216  addlimc  42220  0ellimcdiv  42221  limclner  42223  stoweidlem5  42577  fourierdlem104  42782  ioorrnopnlem  42876  hoidmv1lelem2  43161  smfmullem1  43353
  Copyright terms: Public domain W3C validator