Theorem min2 13347

Description: The minimum of two numbers is less than or equal to the second. (Contributed by NM, 3-Aug-2007.)

Assertion

Ref	Expression
min2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐵)

Proof of Theorem min2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11382	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 11382	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrmin2 13335	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2an 608	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  ifcif 4485   class class class wbr 5106  ℝcr 11226  ℝ^*cxr 11369   ≤ cle 11371

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376

This theorem is used by:  ssfzunsnext  13730  reccn2  15793  ssblex  24777  nlmvscnlem1  25035  nrginvrcnlem  25040  icccmplem2  25173  xlebnum  25316  ipcnlem1  25596  ivthlem2  25803  ovolicc2lem5  25872  ioombl1lem1  25909  mbfi1fseqlem4  26069  mbfi1fseqlem5  26070  aalioulem5  26693  aalioulem6  26694  cxpcn3lem  27105  ftalem5  27434  chtdif  27515  ppidif  27520  chebbnd1lem1  27826  itg2addnc  38784  min2d  46688  mullimc  46833  mullimcf  46840  limcleqr  46859  addlimc  46863  0ellimcdiv  46864  limclner  46866  stoweidlem5  47220  fourierdlem104  47425  ioorrnopnlem  47519  hoidmv1lelem2  47807  smfmullem1  48006