Theorem min2 13301

Description: The minimum of two numbers is less than or equal to the second. (Contributed by NM, 3-Aug-2007.)

Assertion

Ref	Expression
min2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐵)

Proof of Theorem min2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11336	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 11336	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrmin2 13289	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2an 608	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ifcif 4482   class class class wbr 5103  ℝcr 11180  ℝ^*cxr 11323   ≤ cle 11325

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330

This theorem is used by:  ssfzunsnext  13683  reccn2  15744  ssblex  24727  nlmvscnlem1  24985  nrginvrcnlem  24990  icccmplem2  25123  xlebnum  25266  ipcnlem1  25546  ivthlem2  25753  ovolicc2lem5  25822  ioombl1lem1  25859  mbfi1fseqlem4  26019  mbfi1fseqlem5  26020  aalioulem5  26645  aalioulem6  26646  cxpcn3lem  27057  ftalem5  27386  chtdif  27467  ppidif  27472  chebbnd1lem1  27778  itg2addnc  38560  min2d  46427  mullimc  46572  mullimcf  46579  limcleqr  46598  addlimc  46602  0ellimcdiv  46603  limclner  46605  stoweidlem5  46959  fourierdlem104  47164  ioorrnopnlem  47258  hoidmv1lelem2  47546  smfmullem1  47745