MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  monhom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem monhom 17544
Description: A monomorphism is a morphism. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ismon.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
ismon.h 𝐻 = (Hom β€˜πΆ)
ismon.o Β· = (compβ€˜πΆ)
ismon.s 𝑀 = (Monoβ€˜πΆ)
ismon.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
ismon.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
ismon.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
monhom (πœ‘ β†’ (π‘‹π‘€π‘Œ) βŠ† (π‘‹π»π‘Œ))

Proof of Theorem monhom
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismon.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
2 ismon.h . . . 4 𝐻 = (Hom β€˜πΆ)
3 ismon.o . . . 4 Β· = (compβ€˜πΆ)
4 ismon.s . . . 4 𝑀 = (Monoβ€˜πΆ)
5 ismon.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
6 ismon.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
7 ismon.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7ismon 17542 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ (π‘‹π‘€π‘Œ) ↔ (𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔)))))
9 simpl 483 . . 3 ((𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔))) β†’ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ))
108, 9syl6bi 252 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ (π‘‹π‘€π‘Œ) β†’ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)))
1110ssrdv 3938 1 (πœ‘ β†’ (π‘‹π‘€π‘Œ) βŠ† (π‘‹π»π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3898  βŸ¨cop 4579   ↦ cmpt 5175  β—‘ccnv 5619  Fun wfun 6473  β€˜cfv 6479  (class class class)co 7337  Basecbs 17009  Hom chom 17070  compcco 17071  Catccat 17470  Monocmon 17537
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-id 5518  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-mon 17539
This theorem is referenced by:  setcmon  17899
  Copyright terms: Public domain W3C validator