Theorem monhom 17917

Description: A monomorphism is a morphism. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismon.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
ismon.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
ismon.o	⊢ · = (comp‘𝐶)
ismon.s	⊢ 𝑀 = (Mono‘𝐶)
ismon.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
ismon.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ismon.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
monhom	⊢ (𝜑 → (𝑋𝑀𝑌) ⊆ (𝑋𝐻𝑌))

Proof of Theorem monhom

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismon.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		ismon.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
3		ismon.o	. . . 4 ⊢ · = (comp‘𝐶)
4		ismon.s	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (Mono‘𝐶)
5		ismon.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
6		ismon.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		ismon.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ismon 17915	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝑋𝑀𝑌) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝑓(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔)))))
9		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝑓(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔))) → 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
10	8, 9	biimtrdi 256	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝑋𝑀𝑌) → 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)))
11	10	ssrdv 3915	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝑀𝑌) ⊆ (𝑋𝐻𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   ⊆ wss 3896  ⟨cop 4834   ↦ cmpt 5185  ^◡ccnv 5649  Fun wfun 6535  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  Basecbs 17394  Hom chom 17446  compcco 17447  Catccat 17845  Monocmon 17910

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-mon 17912

This theorem is used by:  setcmon  18269