Theorem monhom 17750

Description: A monomorphism is a morphism. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismon.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
ismon.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
ismon.o	⊢ · = (comp‘𝐶)
ismon.s	⊢ 𝑀 = (Mono‘𝐶)
ismon.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
ismon.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ismon.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
monhom	⊢ (𝜑 → (𝑋𝑀𝑌) ⊆ (𝑋𝐻𝑌))

Proof of Theorem monhom

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismon.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		ismon.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
3		ismon.o	. . . 4 ⊢ · = (comp‘𝐶)
4		ismon.s	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (Mono‘𝐶)
5		ismon.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
6		ismon.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		ismon.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ismon 17748	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝑋𝑀𝑌) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝑓(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔)))))
9		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝑓(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔))) → 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
10	8, 9	biimtrdi 253	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝑋𝑀𝑌) → 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)))
11	10	ssrdv 3969	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝑀𝑌) ⊆ (𝑋𝐻𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3050   ⊆ wss 3931  ⟨cop 4612   ↦ cmpt 5205  ^◡ccnv 5664  Fun wfun 6535  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  Basecbs 17229  Hom chom 17284  compcco 17285  Catccat 17678  Monocmon 17743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-mon 17745

This theorem is referenced by:  setcmon  18103