Theorem monhom 17791

Description: A monomorphism is a morphism. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismon.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
ismon.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
ismon.o	⊢ · = (comp‘𝐶)
ismon.s	⊢ 𝑀 = (Mono‘𝐶)
ismon.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
ismon.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ismon.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
monhom	⊢ (𝜑 → (𝑋𝑀𝑌) ⊆ (𝑋𝐻𝑌))

Proof of Theorem monhom

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismon.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		ismon.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
3		ismon.o	. . . 4 ⊢ · = (comp‘𝐶)
4		ismon.s	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (Mono‘𝐶)
5		ismon.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
6		ismon.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		ismon.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ismon 17789	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝑋𝑀𝑌) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝑓(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔)))))
9		simpl 487	. . 3 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝑓(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔))) → 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
10	8, 9	biimtrdi 256	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝑋𝑀𝑌) → 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)))
11	10	ssrdv 3951	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝑀𝑌) ⊆ (𝑋𝐻𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085   ⊆ wss 3913  ⟨cop 4600   ↦ cmpt 5196  ^◡ccnv 5661  Fun wfun 6531  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17268  Hom chom 17320  compcco 17321  Catccat 17719  Monocmon 17784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-mon 17786

This theorem is referenced by:  setcmon  18143