MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismon2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ismon2 17677
Description: Write out the monomorphism property directly. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ismon.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
ismon.h 𝐻 = (Hom β€˜πΆ)
ismon.o Β· = (compβ€˜πΆ)
ismon.s 𝑀 = (Monoβ€˜πΆ)
ismon.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
ismon.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
ismon.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
ismon2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (π‘‹π‘€π‘Œ) ↔ (𝐹 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆ€π‘” ∈ (𝑧𝐻𝑋)βˆ€β„Ž ∈ (𝑧𝐻𝑋)((𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔) = (𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)β„Ž) β†’ 𝑔 = β„Ž))))
Distinct variable groups:   𝑔,β„Ž,𝑧,𝐡   πœ‘,𝑔,β„Ž,𝑧   𝐢,𝑔,β„Ž,𝑧   𝑔,𝐻,β„Ž,𝑧   Β· ,𝑔,β„Ž,𝑧   𝑔,𝐹,β„Ž,𝑧   𝑔,𝑋,β„Ž,𝑧   𝑔,π‘Œ,β„Ž,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑧,𝑔,β„Ž)
Proof of Theorem ismon2
StepHypRef Expression
1 ismon.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
2 ismon.h . . 3 𝐻 = (Hom β€˜πΆ)
3 ismon.o . . 3 Β· = (compβ€˜πΆ)
4 ismon.s . . 3 𝑀 = (Monoβ€˜πΆ)
5 ismon.c . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
6 ismon.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
7 ismon.y . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7ismon 17676 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (π‘‹π‘€π‘Œ) ↔ (𝐹 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔)))))
95ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋))) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
10 simprl 769 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
116ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
127ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋))) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
13 simprr 771 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋))) β†’ 𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋))
14 simplr 767 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋))) β†’ 𝐹 ∈ (π‘‹π»π‘Œ))
151, 2, 3, 9, 10, 11, 12, 13, 14catcocl 17625 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋))) β†’ (𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔) ∈ (π‘§π»π‘Œ))
1615anassrs 468 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ 𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)) β†’ (𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔) ∈ (π‘§π»π‘Œ))
1716ralrimiva 3146 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘” ∈ (𝑧𝐻𝑋)(𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔) ∈ (π‘§π»π‘Œ))
18 eqid 2732 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔)) = (𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔))
1918fmpt 7106 . . . . . . 7 (βˆ€π‘” ∈ (𝑧𝐻𝑋)(𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔) ∈ (π‘§π»π‘Œ) ↔ (𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔)):(𝑧𝐻𝑋)⟢(π‘§π»π‘Œ))
20 df-f1 6545 . . . . . . . 8 ((𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔)):(𝑧𝐻𝑋)–1-1β†’(π‘§π»π‘Œ) ↔ ((𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔)):(𝑧𝐻𝑋)⟢(π‘§π»π‘Œ) ∧ Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔))))
2120baib 536 . . . . . . 7 ((𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔)):(𝑧𝐻𝑋)⟢(π‘§π»π‘Œ) β†’ ((𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔)):(𝑧𝐻𝑋)–1-1β†’(π‘§π»π‘Œ) ↔ Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔))))
2219, 21sylbi 216 . . . . . 6 (βˆ€π‘” ∈ (𝑧𝐻𝑋)(𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔) ∈ (π‘§π»π‘Œ) β†’ ((𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔)):(𝑧𝐻𝑋)–1-1β†’(π‘§π»π‘Œ) ↔ Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔))))
23 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (𝑔 = β„Ž β†’ (𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔) = (𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)β„Ž))
2418, 23f1mpt 7256 . . . . . . 7 ((𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔)):(𝑧𝐻𝑋)–1-1β†’(π‘§π»π‘Œ) ↔ (βˆ€π‘” ∈ (𝑧𝐻𝑋)(𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔) ∈ (π‘§π»π‘Œ) ∧ βˆ€π‘” ∈ (𝑧𝐻𝑋)βˆ€β„Ž ∈ (𝑧𝐻𝑋)((𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔) = (𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)β„Ž) β†’ 𝑔 = β„Ž)))
2524baib 536 . . . . . 6 (βˆ€π‘” ∈ (𝑧𝐻𝑋)(𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔) ∈ (π‘§π»π‘Œ) β†’ ((𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔)):(𝑧𝐻𝑋)–1-1β†’(π‘§π»π‘Œ) ↔ βˆ€π‘” ∈ (𝑧𝐻𝑋)βˆ€β„Ž ∈ (𝑧𝐻𝑋)((𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔) = (𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)β„Ž) β†’ 𝑔 = β„Ž)))
2622, 25bitr3d 280 . . . . 5 (βˆ€π‘” ∈ (𝑧𝐻𝑋)(𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔) ∈ (π‘§π»π‘Œ) β†’ (Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔)) ↔ βˆ€π‘” ∈ (𝑧𝐻𝑋)βˆ€β„Ž ∈ (𝑧𝐻𝑋)((𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔) = (𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)β„Ž) β†’ 𝑔 = β„Ž)))
2717, 26syl 17 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔)) ↔ βˆ€π‘” ∈ (𝑧𝐻𝑋)βˆ€β„Ž ∈ (𝑧𝐻𝑋)((𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔) = (𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)β„Ž) β†’ 𝑔 = β„Ž)))
2827ralbidva 3175 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆ€π‘” ∈ (𝑧𝐻𝑋)βˆ€β„Ž ∈ (𝑧𝐻𝑋)((𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔) = (𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)β„Ž) β†’ 𝑔 = β„Ž)))
2928pm5.32da 579 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔))) ↔ (𝐹 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆ€π‘” ∈ (𝑧𝐻𝑋)βˆ€β„Ž ∈ (𝑧𝐻𝑋)((𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔) = (𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)β„Ž) β†’ 𝑔 = β„Ž))))
308, 29bitrd 278 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (π‘‹π‘€π‘Œ) ↔ (𝐹 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆ€π‘” ∈ (𝑧𝐻𝑋)βˆ€β„Ž ∈ (𝑧𝐻𝑋)((𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔) = (𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)β„Ž) β†’ 𝑔 = β„Ž))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βŸ¨cop 4633   ↦ cmpt 5230  β—‘ccnv 5674  Fun wfun 6534  βŸΆwf 6536  β€“1-1β†’wf1 6537  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  Hom chom 17204  compcco 17205  Catccat 17604  Monocmon 17671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-cat 17608  df-mon 17673
This theorem is referenced by:  moni  17679  sectmon  17725  fthmon  17874  setcmon  18033  idmon  47589  thincmon  47607  grptcmon  47669
  Copyright terms: Public domain W3C validator