Theorem ismon2 17767

Description: Write out the monomorphism property directly. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismon.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
ismon.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
ismon.o	⊢ · = (comp‘𝐶)
ismon.s	⊢ 𝑀 = (Mono‘𝐶)
ismon.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
ismon.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ismon.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ismon2	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝑀𝑌) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)∀ℎ ∈ (𝑧𝐻𝑋)((𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔) = (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)ℎ) → 𝑔 = ℎ))))

Distinct variable groups:   𝑔,ℎ,𝑧,𝐵   𝜑,𝑔,ℎ,𝑧   𝐶,𝑔,ℎ,𝑧   𝑔,𝐻,ℎ,𝑧   · ,𝑔,ℎ,𝑧   𝑔,𝐹,ℎ,𝑧   𝑔,𝑋,ℎ,𝑧   𝑔,𝑌,ℎ,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑧,𝑔,ℎ)

Proof of Theorem ismon2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismon.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		ismon.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
3		ismon.o	. . 3 ⊢ · = (comp‘𝐶)
4		ismon.s	. . 3 ⊢ 𝑀 = (Mono‘𝐶)
5		ismon.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
6		ismon.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		ismon.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ismon 17766	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝑀𝑌) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔)))))
9	5	ad2antrr 736	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋))) → 𝐶 ∈ Cat)
10		simprl 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
11	6	ad2antrr 736	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	7	ad2antrr 736	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋))) → 𝑌 ∈ 𝐵)
13		simprr 782	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋))) → 𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋))
14		simplr 778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋))) → 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
15	1, 2, 3, 9, 10, 11, 12, 13, 14	catcocl 17717	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋))) → (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔) ∈ (𝑧𝐻𝑌))
16	15	anassrs 471	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)) → (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔) ∈ (𝑧𝐻𝑌))
17	16	ralrimiva 3154	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ∀𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)(𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔) ∈ (𝑧𝐻𝑌))
18		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔)) = (𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔))
19	18	fmpt 7091	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)(𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔) ∈ (𝑧𝐻𝑌) ↔ (𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔)):(𝑧𝐻𝑋)⟶(𝑧𝐻𝑌))
20		df-f1 6526	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔)):(𝑧𝐻𝑋)–1-1→(𝑧𝐻𝑌) ↔ ((𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔)):(𝑧𝐻𝑋)⟶(𝑧𝐻𝑌) ∧ Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔))))
21	20	baib 543	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔)):(𝑧𝐻𝑋)⟶(𝑧𝐻𝑌) → ((𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔)):(𝑧𝐻𝑋)–1-1→(𝑧𝐻𝑌) ↔ Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔))))
22	19, 21	sylbi 219	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)(𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔) ∈ (𝑧𝐻𝑌) → ((𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔)):(𝑧𝐻𝑋)–1-1→(𝑧𝐻𝑌) ↔ Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔))))
23		oveq2 7404	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔) = (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)ℎ))
24	18, 23	f1mpt 7245	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔)):(𝑧𝐻𝑋)–1-1→(𝑧𝐻𝑌) ↔ (∀𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)(𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔) ∈ (𝑧𝐻𝑌) ∧ ∀𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)∀ℎ ∈ (𝑧𝐻𝑋)((𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔) = (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)ℎ) → 𝑔 = ℎ)))
25	24	baib 543	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)(𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔) ∈ (𝑧𝐻𝑌) → ((𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔)):(𝑧𝐻𝑋)–1-1→(𝑧𝐻𝑌) ↔ ∀𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)∀ℎ ∈ (𝑧𝐻𝑋)((𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔) = (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)ℎ) → 𝑔 = ℎ)))
26	22, 25	bitr3d 283	. . . . 5 ⊢ (∀𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)(𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔) ∈ (𝑧𝐻𝑌) → (Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔)) ↔ ∀𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)∀ℎ ∈ (𝑧𝐻𝑋)((𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔) = (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)ℎ) → 𝑔 = ℎ)))
27	17, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔)) ↔ ∀𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)∀ℎ ∈ (𝑧𝐻𝑋)((𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔) = (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)ℎ) → 𝑔 = ℎ)))
28	27	ralbidva 3183	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) → (∀𝑧 ∈ 𝐵 Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)∀ℎ ∈ (𝑧𝐻𝑋)((𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔) = (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)ℎ) → 𝑔 = ℎ)))
29	28	pm5.32da 587	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)∀ℎ ∈ (𝑧𝐻𝑋)((𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔) = (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)ℎ) → 𝑔 = ℎ))))
30	8, 29	bitrd 281	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝑀𝑌) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)∀ℎ ∈ (𝑧𝐻𝑋)((𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔) = (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)ℎ) → 𝑔 = ℎ))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076  ⟨cop 4588   ↦ cmpt 5181  ^◡ccnv 5646  Fun wfun 6515  ⟶wf 6517  –1-1→wf1 6518  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17245  Hom chom 17297  compcco 17298  Catccat 17696  Monocmon 17761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-cat 17700  df-mon 17763

This theorem is referenced by:  moni  17769  sectmon  17815  fthmon  17962  setcmon  18120  idmon  49641  thincmon  50054  grptcmon  50214