Theorem ismon2 17778

Description: Write out the monomorphism property directly. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismon.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
ismon.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
ismon.o	⊢ · = (comp‘𝐶)
ismon.s	⊢ 𝑀 = (Mono‘𝐶)
ismon.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
ismon.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ismon.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ismon2	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝑀𝑌) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)∀ℎ ∈ (𝑧𝐻𝑋)((𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔) = (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)ℎ) → 𝑔 = ℎ))))

Distinct variable groups:   𝑔,ℎ,𝑧,𝐵   𝜑,𝑔,ℎ,𝑧   𝐶,𝑔,ℎ,𝑧   𝑔,𝐻,ℎ,𝑧   · ,𝑔,ℎ,𝑧   𝑔,𝐹,ℎ,𝑧   𝑔,𝑋,ℎ,𝑧   𝑔,𝑌,ℎ,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑧,𝑔,ℎ)

Proof of Theorem ismon2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismon.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		ismon.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
3		ismon.o	. . 3 ⊢ · = (comp‘𝐶)
4		ismon.s	. . 3 ⊢ 𝑀 = (Mono‘𝐶)
5		ismon.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
6		ismon.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		ismon.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ismon 17777	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝑀𝑌) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔)))))
9	5	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋))) → 𝐶 ∈ Cat)
10		simprl 771	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
11	6	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	7	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋))) → 𝑌 ∈ 𝐵)
13		simprr 773	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋))) → 𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋))
14		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋))) → 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
15	1, 2, 3, 9, 10, 11, 12, 13, 14	catcocl 17728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋))) → (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔) ∈ (𝑧𝐻𝑌))
16	15	anassrs 467	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)) → (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔) ∈ (𝑧𝐻𝑌))
17	16	ralrimiva 3146	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ∀𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)(𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔) ∈ (𝑧𝐻𝑌))
18		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔)) = (𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔))
19	18	fmpt 7130	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)(𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔) ∈ (𝑧𝐻𝑌) ↔ (𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔)):(𝑧𝐻𝑋)⟶(𝑧𝐻𝑌))
20		df-f1 6566	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔)):(𝑧𝐻𝑋)–1-1→(𝑧𝐻𝑌) ↔ ((𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔)):(𝑧𝐻𝑋)⟶(𝑧𝐻𝑌) ∧ Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔))))
21	20	baib 535	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔)):(𝑧𝐻𝑋)⟶(𝑧𝐻𝑌) → ((𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔)):(𝑧𝐻𝑋)–1-1→(𝑧𝐻𝑌) ↔ Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔))))
22	19, 21	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)(𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔) ∈ (𝑧𝐻𝑌) → ((𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔)):(𝑧𝐻𝑋)–1-1→(𝑧𝐻𝑌) ↔ Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔))))
23		oveq2 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔) = (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)ℎ))
24	18, 23	f1mpt 7281	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔)):(𝑧𝐻𝑋)–1-1→(𝑧𝐻𝑌) ↔ (∀𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)(𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔) ∈ (𝑧𝐻𝑌) ∧ ∀𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)∀ℎ ∈ (𝑧𝐻𝑋)((𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔) = (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)ℎ) → 𝑔 = ℎ)))
25	24	baib 535	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)(𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔) ∈ (𝑧𝐻𝑌) → ((𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔)):(𝑧𝐻𝑋)–1-1→(𝑧𝐻𝑌) ↔ ∀𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)∀ℎ ∈ (𝑧𝐻𝑋)((𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔) = (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)ℎ) → 𝑔 = ℎ)))
26	22, 25	bitr3d 281	. . . . 5 ⊢ (∀𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)(𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔) ∈ (𝑧𝐻𝑌) → (Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔)) ↔ ∀𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)∀ℎ ∈ (𝑧𝐻𝑋)((𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔) = (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)ℎ) → 𝑔 = ℎ)))
27	17, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔)) ↔ ∀𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)∀ℎ ∈ (𝑧𝐻𝑋)((𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔) = (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)ℎ) → 𝑔 = ℎ)))
28	27	ralbidva 3176	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) → (∀𝑧 ∈ 𝐵 Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)∀ℎ ∈ (𝑧𝐻𝑋)((𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔) = (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)ℎ) → 𝑔 = ℎ)))
29	28	pm5.32da 579	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)∀ℎ ∈ (𝑧𝐻𝑋)((𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔) = (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)ℎ) → 𝑔 = ℎ))))
30	8, 29	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝑀𝑌) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)∀ℎ ∈ (𝑧𝐻𝑋)((𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔) = (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)ℎ) → 𝑔 = ℎ))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ⟨cop 4632   ↦ cmpt 5225  ^◡ccnv 5684  Fun wfun 6555  ⟶wf 6557  –1-1→wf1 6558  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  Hom chom 17308  compcco 17309  Catccat 17707  Monocmon 17772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-cat 17711  df-mon 17774

This theorem is referenced by:  moni  17780  sectmon  17826  fthmon  17974  setcmon  18132  idmon  48908  thincmon  49082  grptcmon  49190