Theorem ismon2 17752

Description: Write out the monomorphism property directly. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismon.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
ismon.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
ismon.o	⊢ · = (comp‘𝐶)
ismon.s	⊢ 𝑀 = (Mono‘𝐶)
ismon.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
ismon.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ismon.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ismon2	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝑀𝑌) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)∀ℎ ∈ (𝑧𝐻𝑋)((𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔) = (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)ℎ) → 𝑔 = ℎ))))

Distinct variable groups:   𝑔,ℎ,𝑧,𝐵   𝜑,𝑔,ℎ,𝑧   𝐶,𝑔,ℎ,𝑧   𝑔,𝐻,ℎ,𝑧   · ,𝑔,ℎ,𝑧   𝑔,𝐹,ℎ,𝑧   𝑔,𝑋,ℎ,𝑧   𝑔,𝑌,ℎ,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑧,𝑔,ℎ)

Proof of Theorem ismon2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismon.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		ismon.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
3		ismon.o	. . 3 ⊢ · = (comp‘𝐶)
4		ismon.s	. . 3 ⊢ 𝑀 = (Mono‘𝐶)
5		ismon.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
6		ismon.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		ismon.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ismon 17751	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝑀𝑌) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔)))))
9	5	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋))) → 𝐶 ∈ Cat)
10		simprl 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
11	6	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	7	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋))) → 𝑌 ∈ 𝐵)
13		simprr 771	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋))) → 𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋))
14		simplr 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋))) → 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
15	1, 2, 3, 9, 10, 11, 12, 13, 14	catcocl 17700	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋))) → (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔) ∈ (𝑧𝐻𝑌))
16	15	anassrs 466	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)) → (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔) ∈ (𝑧𝐻𝑌))
17	16	ralrimiva 3136	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ∀𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)(𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔) ∈ (𝑧𝐻𝑌))
18		eqid 2726	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔)) = (𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔))
19	18	fmpt 7126	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)(𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔) ∈ (𝑧𝐻𝑌) ↔ (𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔)):(𝑧𝐻𝑋)⟶(𝑧𝐻𝑌))
20		df-f1 6561	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔)):(𝑧𝐻𝑋)–1-1→(𝑧𝐻𝑌) ↔ ((𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔)):(𝑧𝐻𝑋)⟶(𝑧𝐻𝑌) ∧ Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔))))
21	20	baib 534	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔)):(𝑧𝐻𝑋)⟶(𝑧𝐻𝑌) → ((𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔)):(𝑧𝐻𝑋)–1-1→(𝑧𝐻𝑌) ↔ Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔))))
22	19, 21	sylbi 216	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)(𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔) ∈ (𝑧𝐻𝑌) → ((𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔)):(𝑧𝐻𝑋)–1-1→(𝑧𝐻𝑌) ↔ Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔))))
23		oveq2 7434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔) = (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)ℎ))
24	18, 23	f1mpt 7278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔)):(𝑧𝐻𝑋)–1-1→(𝑧𝐻𝑌) ↔ (∀𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)(𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔) ∈ (𝑧𝐻𝑌) ∧ ∀𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)∀ℎ ∈ (𝑧𝐻𝑋)((𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔) = (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)ℎ) → 𝑔 = ℎ)))
25	24	baib 534	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)(𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔) ∈ (𝑧𝐻𝑌) → ((𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔)):(𝑧𝐻𝑋)–1-1→(𝑧𝐻𝑌) ↔ ∀𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)∀ℎ ∈ (𝑧𝐻𝑋)((𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔) = (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)ℎ) → 𝑔 = ℎ)))
26	22, 25	bitr3d 280	. . . . 5 ⊢ (∀𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)(𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔) ∈ (𝑧𝐻𝑌) → (Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔)) ↔ ∀𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)∀ℎ ∈ (𝑧𝐻𝑋)((𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔) = (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)ℎ) → 𝑔 = ℎ)))
27	17, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔)) ↔ ∀𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)∀ℎ ∈ (𝑧𝐻𝑋)((𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔) = (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)ℎ) → 𝑔 = ℎ)))
28	27	ralbidva 3166	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) → (∀𝑧 ∈ 𝐵 Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)∀ℎ ∈ (𝑧𝐻𝑋)((𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔) = (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)ℎ) → 𝑔 = ℎ)))
29	28	pm5.32da 577	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 Fun ◡(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)∀ℎ ∈ (𝑧𝐻𝑋)((𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔) = (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)ℎ) → 𝑔 = ℎ))))
30	8, 29	bitrd 278	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝑀𝑌) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)∀ℎ ∈ (𝑧𝐻𝑋)((𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)𝑔) = (𝐹(⟨𝑧, 𝑋⟩ · 𝑌)ℎ) → 𝑔 = ℎ))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051  ⟨cop 4639   ↦ cmpt 5238  ^◡ccnv 5683  Fun wfun 6550  ⟶wf 6552  –1-1→wf1 6553  ‘cfv 6556  (class class class)co 7426  Basecbs 17215  Hom chom 17279  compcco 17280  Catccat 17679  Monocmon 17746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5292  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4916  df-iun 5005  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-id 5582  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-cat 17683  df-mon 17748

This theorem is referenced by:  moni  17754  sectmon  17800  fthmon  17951  setcmon  18111  idmon  48355  thincmon  48373  grptcmon  48435