MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismon2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismon2 17239
Description: Write out the monomorphism property directly. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ismon.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
ismon.h 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
ismon.o · = (comp‘𝐶)
ismon.s 𝑀 = (Mono‘𝐶)
ismon.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
ismon.x (𝜑𝑋𝐵)
ismon.y (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
ismon2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝑀𝑌) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧𝐵𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)∀ ∈ (𝑧𝐻𝑋)((𝐹(⟨𝑧, 𝑋· 𝑌)𝑔) = (𝐹(⟨𝑧, 𝑋· 𝑌)) → 𝑔 = ))))
Distinct variable groups:   𝑔,,𝑧,𝐵   𝜑,𝑔,,𝑧   𝐶,𝑔,,𝑧   𝑔,𝐻,,𝑧   · ,𝑔,,𝑧   𝑔,𝐹,,𝑧   𝑔,𝑋,,𝑧   𝑔,𝑌,,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑧,𝑔,)

Proof of Theorem ismon2
StepHypRef Expression
1 ismon.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐶)
2 ismon.h . . 3 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
3 ismon.o . . 3 · = (comp‘𝐶)
4 ismon.s . . 3 𝑀 = (Mono‘𝐶)
5 ismon.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
6 ismon.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
7 ismon.y . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7ismon 17238 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝑀𝑌) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧𝐵 Fun (𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋· 𝑌)𝑔)))))
95ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧𝐵𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋))) → 𝐶 ∈ Cat)
10 simprl 771 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧𝐵𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋))) → 𝑧𝐵)
116ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧𝐵𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋))) → 𝑋𝐵)
127ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧𝐵𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋))) → 𝑌𝐵)
13 simprr 773 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧𝐵𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋))) → 𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋))
14 simplr 769 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧𝐵𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋))) → 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
151, 2, 3, 9, 10, 11, 12, 13, 14catcocl 17188 . . . . . . 7 (((𝜑𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧𝐵𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋))) → (𝐹(⟨𝑧, 𝑋· 𝑌)𝑔) ∈ (𝑧𝐻𝑌))
1615anassrs 471 . . . . . 6 ((((𝜑𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)) → (𝐹(⟨𝑧, 𝑋· 𝑌)𝑔) ∈ (𝑧𝐻𝑌))
1716ralrimiva 3105 . . . . 5 (((𝜑𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ 𝑧𝐵) → ∀𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)(𝐹(⟨𝑧, 𝑋· 𝑌)𝑔) ∈ (𝑧𝐻𝑌))
18 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋· 𝑌)𝑔)) = (𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋· 𝑌)𝑔))
1918fmpt 6927 . . . . . . 7 (∀𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)(𝐹(⟨𝑧, 𝑋· 𝑌)𝑔) ∈ (𝑧𝐻𝑌) ↔ (𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋· 𝑌)𝑔)):(𝑧𝐻𝑋)⟶(𝑧𝐻𝑌))
20 df-f1 6385 . . . . . . . 8 ((𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋· 𝑌)𝑔)):(𝑧𝐻𝑋)–1-1→(𝑧𝐻𝑌) ↔ ((𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋· 𝑌)𝑔)):(𝑧𝐻𝑋)⟶(𝑧𝐻𝑌) ∧ Fun (𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋· 𝑌)𝑔))))
2120baib 539 . . . . . . 7 ((𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋· 𝑌)𝑔)):(𝑧𝐻𝑋)⟶(𝑧𝐻𝑌) → ((𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋· 𝑌)𝑔)):(𝑧𝐻𝑋)–1-1→(𝑧𝐻𝑌) ↔ Fun (𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋· 𝑌)𝑔))))
2219, 21sylbi 220 . . . . . 6 (∀𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)(𝐹(⟨𝑧, 𝑋· 𝑌)𝑔) ∈ (𝑧𝐻𝑌) → ((𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋· 𝑌)𝑔)):(𝑧𝐻𝑋)–1-1→(𝑧𝐻𝑌) ↔ Fun (𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋· 𝑌)𝑔))))
23 oveq2 7221 . . . . . . . 8 (𝑔 = → (𝐹(⟨𝑧, 𝑋· 𝑌)𝑔) = (𝐹(⟨𝑧, 𝑋· 𝑌)))
2418, 23f1mpt 7073 . . . . . . 7 ((𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋· 𝑌)𝑔)):(𝑧𝐻𝑋)–1-1→(𝑧𝐻𝑌) ↔ (∀𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)(𝐹(⟨𝑧, 𝑋· 𝑌)𝑔) ∈ (𝑧𝐻𝑌) ∧ ∀𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)∀ ∈ (𝑧𝐻𝑋)((𝐹(⟨𝑧, 𝑋· 𝑌)𝑔) = (𝐹(⟨𝑧, 𝑋· 𝑌)) → 𝑔 = )))
2524baib 539 . . . . . 6 (∀𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)(𝐹(⟨𝑧, 𝑋· 𝑌)𝑔) ∈ (𝑧𝐻𝑌) → ((𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋· 𝑌)𝑔)):(𝑧𝐻𝑋)–1-1→(𝑧𝐻𝑌) ↔ ∀𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)∀ ∈ (𝑧𝐻𝑋)((𝐹(⟨𝑧, 𝑋· 𝑌)𝑔) = (𝐹(⟨𝑧, 𝑋· 𝑌)) → 𝑔 = )))
2622, 25bitr3d 284 . . . . 5 (∀𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)(𝐹(⟨𝑧, 𝑋· 𝑌)𝑔) ∈ (𝑧𝐻𝑌) → (Fun (𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋· 𝑌)𝑔)) ↔ ∀𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)∀ ∈ (𝑧𝐻𝑋)((𝐹(⟨𝑧, 𝑋· 𝑌)𝑔) = (𝐹(⟨𝑧, 𝑋· 𝑌)) → 𝑔 = )))
2717, 26syl 17 . . . 4 (((𝜑𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ 𝑧𝐵) → (Fun (𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋· 𝑌)𝑔)) ↔ ∀𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)∀ ∈ (𝑧𝐻𝑋)((𝐹(⟨𝑧, 𝑋· 𝑌)𝑔) = (𝐹(⟨𝑧, 𝑋· 𝑌)) → 𝑔 = )))
2827ralbidva 3117 . . 3 ((𝜑𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) → (∀𝑧𝐵 Fun (𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋· 𝑌)𝑔)) ↔ ∀𝑧𝐵𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)∀ ∈ (𝑧𝐻𝑋)((𝐹(⟨𝑧, 𝑋· 𝑌)𝑔) = (𝐹(⟨𝑧, 𝑋· 𝑌)) → 𝑔 = )))
2928pm5.32da 582 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧𝐵 Fun (𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑋· 𝑌)𝑔))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧𝐵𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)∀ ∈ (𝑧𝐻𝑋)((𝐹(⟨𝑧, 𝑋· 𝑌)𝑔) = (𝐹(⟨𝑧, 𝑋· 𝑌)) → 𝑔 = ))))
308, 29bitrd 282 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝑀𝑌) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧𝐵𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋)∀ ∈ (𝑧𝐻𝑋)((𝐹(⟨𝑧, 𝑋· 𝑌)𝑔) = (𝐹(⟨𝑧, 𝑋· 𝑌)) → 𝑔 = ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wral 3061  cop 4547  cmpt 5135  ccnv 5550  Fun wfun 6374  wf 6376  1-1wf1 6377  cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  Hom chom 16813  compcco 16814  Catccat 17167  Monocmon 17233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-cat 17171  df-mon 17235
This theorem is referenced by:  moni  17241  sectmon  17287  fthmon  17434  setcmon  17593  idmon  45970  thincmon  45988  grptcmon  46048
  Copyright terms: Public domain W3C validator