MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismon Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ismon 17685
Description: Definition of a monomorphism in a category. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ismon.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
ismon.h 𝐻 = (Hom β€˜πΆ)
ismon.o Β· = (compβ€˜πΆ)
ismon.s 𝑀 = (Monoβ€˜πΆ)
ismon.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
ismon.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
ismon.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
ismon (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (π‘‹π‘€π‘Œ) ↔ (𝐹 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔)))))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑔,𝐡   πœ‘,𝑔,𝑧   𝐢,𝑔,𝑧   𝑔,𝐻,𝑧   Β· ,𝑔,𝑧   𝑔,𝐹,𝑧   𝑔,𝑋,𝑧   𝑔,π‘Œ,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑧,𝑔)
Proof of Theorem ismon
Dummy variables 𝑓 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismon.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
2 ismon.h . . . . 5 𝐻 = (Hom β€˜πΆ)
3 ismon.o . . . . 5 Β· = (compβ€˜πΆ)
4 ismon.s . . . . 5 𝑀 = (Monoβ€˜πΆ)
5 ismon.c . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
61, 2, 3, 4, 5monfval 17684 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 = (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ {𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∣ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻π‘₯) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘₯⟩ Β· 𝑦)𝑔))}))
7 simprl 768 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ)) β†’ π‘₯ = 𝑋)
8 simprr 770 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ)) β†’ 𝑦 = π‘Œ)
97, 8oveq12d 7420 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ)) β†’ (π‘₯𝐻𝑦) = (π‘‹π»π‘Œ))
107oveq2d 7418 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ)) β†’ (𝑧𝐻π‘₯) = (𝑧𝐻𝑋))
117opeq2d 4873 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ)) β†’ βŸ¨π‘§, π‘₯⟩ = βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ©)
1211, 8oveq12d 7420 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ)) β†’ (βŸ¨π‘§, π‘₯⟩ Β· 𝑦) = (βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ))
1312oveqd 7419 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ)) β†’ (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘₯⟩ Β· 𝑦)𝑔) = (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔))
1410, 13mpteq12dv 5230 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ)) β†’ (𝑔 ∈ (𝑧𝐻π‘₯) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘₯⟩ Β· 𝑦)𝑔)) = (𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔)))
1514cnveqd 5866 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ)) β†’ β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻π‘₯) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘₯⟩ Β· 𝑦)𝑔)) = β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔)))
1615funeqd 6561 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ)) β†’ (Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻π‘₯) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘₯⟩ Β· 𝑦)𝑔)) ↔ Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔))))
1716ralbidv 3169 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻π‘₯) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘₯⟩ Β· 𝑦)𝑔)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔))))
189, 17rabeqbidv 3441 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ)) β†’ {𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∣ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻π‘₯) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘₯⟩ Β· 𝑦)𝑔))} = {𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ∣ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔))})
19 ismon.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
20 ismon.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
21 ovex 7435 . . . . . 6 (π‘‹π»π‘Œ) ∈ V
2221rabex 5323 . . . . 5 {𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ∣ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔))} ∈ V
2322a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ {𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ∣ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔))} ∈ V)
246, 18, 19, 20, 23ovmpod 7553 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘‹π‘€π‘Œ) = {𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ∣ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔))})
2524eleq2d 2811 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (π‘‹π‘€π‘Œ) ↔ 𝐹 ∈ {𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ∣ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔))}))
26 oveq1 7409 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 β†’ (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔) = (𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔))
2726mpteq2dv 5241 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 β†’ (𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔)) = (𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔)))
2827cnveqd 5866 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 β†’ β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔)) = β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔)))
2928funeqd 6561 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 β†’ (Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔)) ↔ Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔))))
3029ralbidv 3169 . . 3 (𝑓 = 𝐹 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔))))
3130elrab 3676 . 2 (𝐹 ∈ {𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ∣ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔))} ↔ (𝐹 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔))))
3225, 31bitrdi 287 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (π‘‹π‘€π‘Œ) ↔ (𝐹 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  {crab 3424  Vcvv 3466  βŸ¨cop 4627   ↦ cmpt 5222  β—‘ccnv 5666  Fun wfun 6528  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17149  Hom chom 17213  compcco 17214  Catccat 17613  Monocmon 17680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-mon 17682
This theorem is referenced by:  ismon2  17686  monhom  17687  isepi  17692
  Copyright terms: Public domain W3C validator