MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismon Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ismon 17676
Description: Definition of a monomorphism in a category. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ismon.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
ismon.h 𝐻 = (Hom β€˜πΆ)
ismon.o Β· = (compβ€˜πΆ)
ismon.s 𝑀 = (Monoβ€˜πΆ)
ismon.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
ismon.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
ismon.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
ismon (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (π‘‹π‘€π‘Œ) ↔ (𝐹 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔)))))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑔,𝐡   πœ‘,𝑔,𝑧   𝐢,𝑔,𝑧   𝑔,𝐻,𝑧   Β· ,𝑔,𝑧   𝑔,𝐹,𝑧   𝑔,𝑋,𝑧   𝑔,π‘Œ,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑧,𝑔)
Proof of Theorem ismon
Dummy variables 𝑓 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismon.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
2 ismon.h . . . . 5 𝐻 = (Hom β€˜πΆ)
3 ismon.o . . . . 5 Β· = (compβ€˜πΆ)
4 ismon.s . . . . 5 𝑀 = (Monoβ€˜πΆ)
5 ismon.c . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
61, 2, 3, 4, 5monfval 17675 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 = (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ {𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∣ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻π‘₯) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘₯⟩ Β· 𝑦)𝑔))}))
7 simprl 769 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ)) β†’ π‘₯ = 𝑋)
8 simprr 771 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ)) β†’ 𝑦 = π‘Œ)
97, 8oveq12d 7423 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ)) β†’ (π‘₯𝐻𝑦) = (π‘‹π»π‘Œ))
107oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ)) β†’ (𝑧𝐻π‘₯) = (𝑧𝐻𝑋))
117opeq2d 4879 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ)) β†’ βŸ¨π‘§, π‘₯⟩ = βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ©)
1211, 8oveq12d 7423 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ)) β†’ (βŸ¨π‘§, π‘₯⟩ Β· 𝑦) = (βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ))
1312oveqd 7422 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ)) β†’ (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘₯⟩ Β· 𝑦)𝑔) = (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔))
1410, 13mpteq12dv 5238 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ)) β†’ (𝑔 ∈ (𝑧𝐻π‘₯) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘₯⟩ Β· 𝑦)𝑔)) = (𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔)))
1514cnveqd 5873 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ)) β†’ β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻π‘₯) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘₯⟩ Β· 𝑦)𝑔)) = β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔)))
1615funeqd 6567 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ)) β†’ (Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻π‘₯) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘₯⟩ Β· 𝑦)𝑔)) ↔ Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔))))
1716ralbidv 3177 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻π‘₯) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘₯⟩ Β· 𝑦)𝑔)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔))))
189, 17rabeqbidv 3449 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ)) β†’ {𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∣ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻π‘₯) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘₯⟩ Β· 𝑦)𝑔))} = {𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ∣ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔))})
19 ismon.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
20 ismon.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
21 ovex 7438 . . . . . 6 (π‘‹π»π‘Œ) ∈ V
2221rabex 5331 . . . . 5 {𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ∣ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔))} ∈ V
2322a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ {𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ∣ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔))} ∈ V)
246, 18, 19, 20, 23ovmpod 7556 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘‹π‘€π‘Œ) = {𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ∣ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔))})
2524eleq2d 2819 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (π‘‹π‘€π‘Œ) ↔ 𝐹 ∈ {𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ∣ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔))}))
26 oveq1 7412 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 β†’ (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔) = (𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔))
2726mpteq2dv 5249 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 β†’ (𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔)) = (𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔)))
2827cnveqd 5873 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 β†’ β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔)) = β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔)))
2928funeqd 6567 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 β†’ (Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔)) ↔ Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔))))
3029ralbidv 3177 . . 3 (𝑓 = 𝐹 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔))))
3130elrab 3682 . 2 (𝐹 ∈ {𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ∣ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝑓(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔))} ↔ (𝐹 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔))))
3225, 31bitrdi 286 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (π‘‹π‘€π‘Œ) ↔ (𝐹 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 Fun β—‘(𝑔 ∈ (𝑧𝐻𝑋) ↦ (𝐹(βŸ¨π‘§, π‘‹βŸ© Β· π‘Œ)𝑔)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474  βŸ¨cop 4633   ↦ cmpt 5230  β—‘ccnv 5674  Fun wfun 6534  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  Hom chom 17204  compcco 17205  Catccat 17604  Monocmon 17671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-mon 17673
This theorem is referenced by:  ismon2  17677  monhom  17678  isepi  17683
  Copyright terms: Public domain W3C validator