Theorem funmpt 6263

Description: A function in maps-to notation is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
funmpt	⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Proof of Theorem funmpt

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funopab4 6262	. 2 ⊢ Fun {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)}
2		df-mpt 5042	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)}
3	2	funeqi 6246	. 2 ⊢ (Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↔ Fun {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)})
4	1, 3	mpbir 232	1 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  {copab 5024   ↦ cmpt 5041  Fun wfun 6219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pr 5221

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ral 3110  df-rab 3114  df-v 3439  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-id 5348  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-fun 6227

This theorem is referenced by:  funmpt2  6264  resfunexg  6844  mptexg  6850  mptexgf  6851  mptexw  7510  brtpos2  7749  tposfun  7759  mptfi  8669  sniffsupp  8719  cantnfrescl  8985  cantnflem1  8998  r0weon  9284  axcc2lem  9704  mptct  9806  negfi  11437  mptnn0fsupp  13215  ccatalpha  13791  mreacs  16758  acsfn  16759  isofval  16856  lubfun  17419  glbfun  17432  acsficl2d  17615  gsum2dlem2  18811  gsum2d  18812  dprdfinv  18858  dprdfadd  18859  dmdprdsplitlem  18876  dpjidcl  18897  mptscmfsupp0  19389  psrass1lem  19845  psrlidm  19871  psrridm  19872  psrass1  19873  psrass23l  19876  psrcom  19877  psrass23  19878  mplsubrg  19908  mplmon  19931  mplmonmul  19932  mplcoe1  19933  mplcoe5  19936  mplbas2  19938  evlslem2  19979  evlslem6  19980  psropprmul  20089  coe1mul2  20120  pjpm  20534  frlmphllem  20606  frlmphl  20607  uvcff  20617  uvcresum  20619  oftpos  20745  pmatcollpw2lem  21069  tgrest  21451  cmpfi  21700  1stcrestlem  21744  ptcnplem  21913  xkoinjcn  21979  symgtgp  22393  eltsms  22424  rrxmval  23691  tdeglem4  24337  plypf1  24485  tayl0  24633  taylthlem1  24644  xrlimcnp  25228  abrexexd  29961  ofpreima  30100  mptctf  30141  rmfsupp2  30520  psgnfzto1stlem  30664  locfinreflem  30721  measdivcstALTV  31101  sxbrsigalem0  31146  sitgf  31222  nosupno  32812  imageval  33000  poimirlem30  34453  poimir  34456  choicefi  41003  fourierdlem80  42013  sge0tsms  42204  scmsuppss  43900  rmfsupp  43902  scmfsupp  43906  fdivval  44080