Theorem funmpt 6418

Description: A function in maps-to notation is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
funmpt	⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Proof of Theorem funmpt

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funopab4 6417	. 2 ⊢ Fun {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)}
2		df-mpt 5136	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)}
3	2	funeqi 6401	. 2 ⊢ (Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↔ Fun {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)})
4	1, 3	mpbir 234	1 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Syntax hints:   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  {copab 5115   ↦ cmpt 5135  Fun wfun 6374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ral 3066  df-rab 3070  df-v 3410  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-fun 6382

This theorem is referenced by:  funmpt2  6419  resfunexg  7031  mptexg  7037  mptexgf  7038  mptexw  7726  brtpos2  7974  tposfun  7984  mptfi  8975  sniffsupp  9016  cantnfrescl  9291  cantnflem1  9304  r0weon  9626  axcc2lem  10050  mptct  10152  negfi  11781  mptnn0fsupp  13570  ccatalpha  14150  mreacs  17161  acsfn  17162  isofval  17262  lubfun  17858  glbfun  17871  acsficl2d  18058  gsum2dlem2  19356  gsum2d  19357  dprdfinv  19406  dprdfadd  19407  dmdprdsplitlem  19424  dpjidcl  19445  mptscmfsupp0  19964  pjpm  20670  frlmphllem  20742  frlmphl  20743  uvcff  20753  uvcresum  20755  psrass1lemOLD  20899  psrass1lem  20902  psrlidm  20928  psrridm  20929  psrass1  20930  psrass23l  20933  psrcom  20934  psrass23  20935  mplsubrg  20967  mplmon  20992  mplmonmul  20993  mplcoe1  20994  mplcoe5  20997  mplbas2  20999  evlslem2  21039  evlslem6  21041  psropprmul  21159  coe1mul2  21190  oftpos  21349  pmatcollpw2lem  21674  tgrest  22056  cmpfi  22305  1stcrestlem  22349  ptcnplem  22518  xkoinjcn  22584  symgtgp  23003  eltsms  23030  rrxmval  24302  tdeglem4  24957  tdeglem4OLD  24958  plypf1  25106  tayl0  25254  taylthlem1  25265  xrlimcnp  25851  abrexexd  30573  ofpreima  30722  mptctf  30772  gsummptres2  31032  psgnfzto1stlem  31086  rmfsupp2  31211  elrspunidl  31320  locfinreflem  31504  measdivcstALTV  31905  sxbrsigalem0  31950  sitgf  32026  nosupno  33643  noinfno  33658  imageval  33969  poimirlem30  35544  poimir  35547  evlsbagval  39985  mhphf  39995  choicefi  42413  fourierdlem80  43402  sge0tsms  43593  scmsuppss  45381  rmfsupp  45383  scmfsupp  45387  fdivval  45558