Theorem funmpt 6587

Description: A function in maps-to notation is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
funmpt	⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Proof of Theorem funmpt

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funopab4 6586	. 2 ⊢ Fun {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)}
2		df-mpt 5233	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)}
3	2	funeqi 6570	. 2 ⊢ (Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↔ Fun {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)})
4	1, 3	mpbir 230	1 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Syntax hints:   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {copab 5211   ↦ cmpt 5232  Fun wfun 6538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-fun 6546

This theorem is referenced by:  funmpt2  6588  resfunexg  7217  mptexg  7223  mptexgf  7224  mptexw  7939  brtpos2  8217  tposfun  8227  mptfi  9351  sniffsupp  9395  cantnfrescl  9671  cantnflem1  9684  r0weon  10007  axcc2lem  10431  mptct  10533  negfi  12163  mptnn0fsupp  13962  ccatalpha  14543  mreacs  17602  acsfn  17603  isofval  17704  lubfun  18305  glbfun  18318  acsficl2d  18505  gsum2dlem2  19839  gsum2d  19840  dprdfinv  19889  dprdfadd  19890  dmdprdsplitlem  19907  dpjidcl  19928  mptscmfsupp0  20537  pjpm  21263  frlmphllem  21335  uvcff  21346  uvcresum  21348  psrass1lemOLD  21493  psrass1lem  21496  psrlidm  21523  psrridm  21524  psrass1  21525  psrass23l  21528  psrcom  21529  psrass23  21530  mplsubrg  21564  mplmon  21590  mplmonmul  21591  mplcoe1  21592  mplcoe5  21595  mplbas2  21597  evlslem2  21642  evlslem6  21644  psropprmul  21760  coe1mul2  21791  oftpos  21954  pmatcollpw2lem  22279  tgrest  22663  cmpfi  22912  1stcrestlem  22956  ptcnplem  23125  xkoinjcn  23191  symgtgp  23610  eltsms  23637  rrxmval  24922  tdeglem4  25577  tdeglem4OLD  25578  plypf1  25726  tayl0  25874  taylthlem1  25885  xrlimcnp  26473  nosupno  27206  noinfno  27221  abrexexd  31777  ofpreima  31921  mptiffisupp  31946  mptctf  31973  gsummptres2  32236  psgnfzto1stlem  32290  rmfsupp2  32418  elrspunidl  32577  elrspunsn  32578  evls1fpws  32677  locfinreflem  32851  measdivcstALTV  33254  sitgf  33377  imageval  34933  poimirlem30  36566  poimir  36569  evlsvvvallem2  41182  evlsvvval  41183  selvvvval  41205  evlselv  41207  mhphf  41217  choicefi  43947  rn1st  44026  fourierdlem80  44950  sge0tsms  45144  scmsuppss  47096  rmfsupp  47098  scmfsupp  47102  fdivval  47273