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Theorem acsfiindd 18598
Description: In an algebraic closure system, a set is independent if and only if all its finite subsets are independent. Part of Proposition 4.1.3 in [FaureFrolicher] p. 83. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
acsfiindd.1 (𝜑𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
acsfiindd.2 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
acsfiindd.3 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
acsfiindd.4 (𝜑𝑆𝑋)
Assertion
Ref Expression
acsfiindd (𝜑 → (𝑆𝐼 ↔ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼))

Proof of Theorem acsfiindd
Dummy variables 𝑥 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acsfiindd.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
21acsmred 17699 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
32ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝑆𝐼) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
4 acsfiindd.2 . . . . 5 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
5 acsfiindd.3 . . . . 5 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
6 simplr 769 . . . . 5 (((𝜑𝑆𝐼) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) → 𝑆𝐼)
7 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑆𝐼) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) → 𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
87elin1d 4204 . . . . . 6 (((𝜑𝑆𝐼) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝑆)
98elpwid 4609 . . . . 5 (((𝜑𝑆𝐼) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) → 𝑠𝑆)
103, 4, 5, 6, 9mrissmrid 17684 . . . 4 (((𝜑𝑆𝐼) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) → 𝑠𝐼)
1110ralrimiva 3146 . . 3 ((𝜑𝑆𝐼) → ∀𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑠𝐼)
12 dfss3 3972 . . 3 ((𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼 ↔ ∀𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑠𝐼)
1311, 12sylibr 234 . 2 ((𝜑𝑆𝐼) → (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼)
142adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
15 acsfiindd.4 . . . 4 (𝜑𝑆𝑋)
1615adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → 𝑆𝑋)
17 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin))
18 elfpw 9394 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin) ↔ (𝑡 ⊆ (𝑆 ∖ {𝑥}) ∧ 𝑡 ∈ Fin))
1917, 18sylib 218 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → (𝑡 ⊆ (𝑆 ∖ {𝑥}) ∧ 𝑡 ∈ Fin))
2019simpld 494 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → 𝑡 ⊆ (𝑆 ∖ {𝑥}))
2120difss2d 4139 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → 𝑡𝑆)
22 simplr 769 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → 𝑥𝑆)
2322snssd 4809 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → {𝑥} ⊆ 𝑆)
2421, 23unssd 4192 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → (𝑡 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝑆)
2519simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → 𝑡 ∈ Fin)
26 snfi 9083 . . . . . . . . . . . 12 {𝑥} ∈ Fin
27 unfi 9211 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑡 ∈ Fin ∧ {𝑥} ∈ Fin) → (𝑡 ∪ {𝑥}) ∈ Fin)
2825, 26, 27sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → (𝑡 ∪ {𝑥}) ∈ Fin)
29 elfpw 9394 . . . . . . . . . . 11 ((𝑡 ∪ {𝑥}) ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ↔ ((𝑡 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝑆 ∧ (𝑡 ∪ {𝑥}) ∈ Fin))
3024, 28, 29sylanbrc 583 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → (𝑡 ∪ {𝑥}) ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
312ad4antr 732 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) ∧ 𝑠𝐼) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
32 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) ∧ 𝑠𝐼) → 𝑠𝐼)
33 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑥𝑆)
34 snidg 4660 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝑆𝑥 ∈ {𝑥})
35 elun2 4183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ {𝑥} → 𝑥 ∈ (𝑡 ∪ {𝑥}))
3633, 34, 353syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑥 ∈ (𝑡 ∪ {𝑥}))
37 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥}))
3836, 37eleqtrrd 2844 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑥𝑠)
3938adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) ∧ 𝑠𝐼) → 𝑥𝑠)
404, 5, 31, 32, 39ismri2dad 17680 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) ∧ 𝑠𝐼) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})))
412ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
4220adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑡 ⊆ (𝑆 ∖ {𝑥}))
43 neldifsnd 4793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑥}))
4442, 43ssneldd 3986 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → ¬ 𝑥𝑡)
45 difsnb 4806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥𝑡 ↔ (𝑡 ∖ {𝑥}) = 𝑡)
4644, 45sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑡 ∖ {𝑥}) = 𝑡)
47 ssun1 4178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑡 ⊆ (𝑡 ∪ {𝑥})
4847, 37sseqtrrid 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑡𝑠)
4948ssdifd 4145 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑡 ∖ {𝑥}) ⊆ (𝑠 ∖ {𝑥}))
5046, 49eqsstrrd 4019 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑡 ⊆ (𝑠 ∖ {𝑥}))
5124adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑡 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝑆)
5215ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑆𝑋)
5351, 52sstrd 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑡 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝑋)
5437, 53eqsstrd 4018 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑠𝑋)
5554ssdifssd 4147 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑠 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑋)
5641, 4, 50, 55mrcssd 17667 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑁𝑡) ⊆ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})))
5756sseld 3982 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑥 ∈ (𝑁𝑡) → 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥}))))
5857adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) ∧ 𝑠𝐼) → (𝑥 ∈ (𝑁𝑡) → 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥}))))
5940, 58mtod 198 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) ∧ 𝑠𝐼) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁𝑡))
6059ex 412 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑠𝐼 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁𝑡)))
6130, 60rspcimdv 3612 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → (∀𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑠𝐼 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁𝑡)))
6212, 61biimtrid 242 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → ((𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁𝑡)))
6362impancom 451 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → (𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁𝑡)))
6463ralrimiv 3145 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → ∀𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁𝑡))
6515ssdifssd 4147 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑋)
661, 4, 65acsficl2d 18597 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ↔ ∃𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁𝑡)))
6766notbid 318 . . . . . . . 8 (𝜑 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ ∃𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁𝑡)))
68 ralnex 3072 . . . . . . . 8 (∀𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁𝑡) ↔ ¬ ∃𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁𝑡))
6967, 68bitr4di 289 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁𝑡)))
7069ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁𝑡)))
7164, 70mpbird 257 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))
7271an32s 652 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑥𝑆) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))
7372ralrimiva 3146 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → ∀𝑥𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))
744, 5, 14, 16, 73ismri2dd 17677 . 2 ((𝜑 ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → 𝑆𝐼)
7513, 74impbida 801 1 (𝜑 → (𝑆𝐼 ↔ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  cdif 3948  cun 3949  cin 3950  wss 3951  𝒫 cpw 4600  {csn 4626  cfv 6561  Fincfn 8985  Moorecmre 17625  mrClscmrc 17626  mrIndcmri 17627  ACScacs 17628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ocomp 17318  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-mri 17631  df-acs 17632  df-proset 18340  df-drs 18341  df-poset 18359  df-ipo 18573
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