Theorem acsfiindd 18059

Description: In an algebraic closure system, a set is independent if and only if all its finite subsets are independent. Part of Proposition 4.1.3 in [FaureFrolicher] p. 83. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
acsfiindd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
acsfiindd.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
acsfiindd.3	⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
acsfiindd.4	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
acsfiindd	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝐼 ↔ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼))

Proof of Theorem acsfiindd

Dummy variables 𝑥 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acsfiindd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
2	1	acsmred 17159	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
3	2	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
4		acsfiindd.2	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
5		acsfiindd.3	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
6		simplr 769	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) → 𝑆 ∈ 𝐼)
7		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) → 𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
8	7	elin1d 4112	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝑆)
9	8	elpwid 4524	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) → 𝑠 ⊆ 𝑆)
10	3, 4, 5, 6, 9	mrissmrid 17144	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) → 𝑠 ∈ 𝐼)
11	10	ralrimiva 3105	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → ∀𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑠 ∈ 𝐼)
12		dfss3 3888	. . 3 ⊢ ((𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼 ↔ ∀𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑠 ∈ 𝐼)
13	11, 12	sylibr 237	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼)
14	2	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
15		acsfiindd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
16	15	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
17		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin))
18		elfpw 8978	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin) ↔ (𝑡 ⊆ (𝑆 ∖ {𝑥}) ∧ 𝑡 ∈ Fin))
19	17, 18	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → (𝑡 ⊆ (𝑆 ∖ {𝑥}) ∧ 𝑡 ∈ Fin))
20	19	simpld 498	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → 𝑡 ⊆ (𝑆 ∖ {𝑥}))
21	20	difss2d 4049	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → 𝑡 ⊆ 𝑆)
22		simplr 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ 𝑆)
23	22	snssd 4722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → {𝑥} ⊆ 𝑆)
24	21, 23	unssd 4100	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → (𝑡 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝑆)
25	19	simprd 499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → 𝑡 ∈ Fin)
26		snfi 8721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑥} ∈ Fin
27		unfi 8850	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑡 ∈ Fin ∧ {𝑥} ∈ Fin) → (𝑡 ∪ {𝑥}) ∈ Fin)
28	25, 26, 27	sylancl 589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → (𝑡 ∪ {𝑥}) ∈ Fin)
29		elfpw 8978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑡 ∪ {𝑥}) ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ↔ ((𝑡 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝑆 ∧ (𝑡 ∪ {𝑥}) ∈ Fin))
30	24, 28, 29	sylanbrc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → (𝑡 ∪ {𝑥}) ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
31	2	ad4antr 732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
32		simpr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ 𝐼) → 𝑠 ∈ 𝐼)
33		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑥 ∈ 𝑆)
34		snidg 4575	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ {𝑥})
35		elun2 4091	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥} → 𝑥 ∈ (𝑡 ∪ {𝑥}))
36	33, 34, 35	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑥 ∈ (𝑡 ∪ {𝑥}))
37		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥}))
38	36, 37	eleqtrrd 2841	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑥 ∈ 𝑠)
39	38	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝑠)
40	4, 5, 31, 32, 39	ismri2dad 17140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ 𝐼) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})))
41	2	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
42	20	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑡 ⊆ (𝑆 ∖ {𝑥}))
43		neldifsnd 4706	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑥}))
44	42, 43	ssneldd 3904	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → ¬ 𝑥 ∈ 𝑡)
45		difsnb 4719	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝑡 ↔ (𝑡 ∖ {𝑥}) = 𝑡)
46	44, 45	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑡 ∖ {𝑥}) = 𝑡)
47		ssun1 4086	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑡 ⊆ (𝑡 ∪ {𝑥})
48	47, 37	sseqtrrid 3954	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑡 ⊆ 𝑠)
49	48	ssdifd 4055	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑡 ∖ {𝑥}) ⊆ (𝑠 ∖ {𝑥}))
50	46, 49	eqsstrrd 3940	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑡 ⊆ (𝑠 ∖ {𝑥}))
51	24	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑡 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝑆)
52	15	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
53	51, 52	sstrd 3911	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑡 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝑋)
54	37, 53	eqsstrd 3939	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑠 ⊆ 𝑋)
55	54	ssdifssd 4057	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑠 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑋)
56	41, 4, 50, 55	mrcssd 17127	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑁‘𝑡) ⊆ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})))
57	56	sseld 3900	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑥 ∈ (𝑁‘𝑡) → 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥}))))
58	57	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ 𝐼) → (𝑥 ∈ (𝑁‘𝑡) → 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥}))))
59	40, 58	mtod 201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ 𝐼) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘𝑡))
60	59	ex 416	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑠 ∈ 𝐼 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘𝑡)))
61	30, 60	rspcimdv 3527	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → (∀𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑠 ∈ 𝐼 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘𝑡)))
62	12, 61	syl5bi 245	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → ((𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘𝑡)))
63	62	impancom 455	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → (𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘𝑡)))
64	63	ralrimiv 3104	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → ∀𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘𝑡))
65	15	ssdifssd 4057	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑋)
66	1, 4, 65	acsficl2d 18058	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ↔ ∃𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁‘𝑡)))
67	66	notbid 321	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ ∃𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁‘𝑡)))
68		ralnex 3158	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘𝑡) ↔ ¬ ∃𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁‘𝑡))
69	67, 68	bitr4di 292	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘𝑡)))
70	69	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘𝑡)))
71	64, 70	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))
72	71	an32s 652	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))
73	72	ralrimiva 3105	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))
74	4, 5, 14, 16, 73	ismri2dd 17137	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → 𝑆 ∈ 𝐼)
75	13, 74	impbida 801	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝐼 ↔ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∀wral 3061  ∃wrex 3062   ∖ cdif 3863   ∪ cun 3864   ∩ cin 3865   ⊆ wss 3866  𝒫 cpw 4513  {csn 4541  ‘cfv 6380  Fincfn 8626  Moorecmre 17085  mrClscmrc 17086  mrIndcmri 17087  ACScacs 17088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-fz 13096  df-struct 16700  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ocomp 16823  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-mri 17091  df-acs 17092  df-proset 17802  df-drs 17803  df-poset 17820  df-ipo 18034

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