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Theorem acsfiindd 18348
Description: In an algebraic closure system, a set is independent if and only if all its finite subsets are independent. Part of Proposition 4.1.3 in [FaureFrolicher] p. 83. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
acsfiindd.1 (𝜑𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
acsfiindd.2 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
acsfiindd.3 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
acsfiindd.4 (𝜑𝑆𝑋)
Assertion
Ref Expression
acsfiindd (𝜑 → (𝑆𝐼 ↔ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼))

Proof of Theorem acsfiindd
Dummy variables 𝑥 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acsfiindd.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
21acsmred 17442 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
32ad2antrr 723 . . . . 5 (((𝜑𝑆𝐼) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
4 acsfiindd.2 . . . . 5 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
5 acsfiindd.3 . . . . 5 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
6 simplr 766 . . . . 5 (((𝜑𝑆𝐼) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) → 𝑆𝐼)
7 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝜑𝑆𝐼) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) → 𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
87elin1d 4143 . . . . . 6 (((𝜑𝑆𝐼) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝑆)
98elpwid 4554 . . . . 5 (((𝜑𝑆𝐼) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) → 𝑠𝑆)
103, 4, 5, 6, 9mrissmrid 17427 . . . 4 (((𝜑𝑆𝐼) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) → 𝑠𝐼)
1110ralrimiva 3140 . . 3 ((𝜑𝑆𝐼) → ∀𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑠𝐼)
12 dfss3 3919 . . 3 ((𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼 ↔ ∀𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑠𝐼)
1311, 12sylibr 233 . 2 ((𝜑𝑆𝐼) → (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼)
142adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
15 acsfiindd.4 . . . 4 (𝜑𝑆𝑋)
1615adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → 𝑆𝑋)
17 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin))
18 elfpw 9198 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin) ↔ (𝑡 ⊆ (𝑆 ∖ {𝑥}) ∧ 𝑡 ∈ Fin))
1917, 18sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → (𝑡 ⊆ (𝑆 ∖ {𝑥}) ∧ 𝑡 ∈ Fin))
2019simpld 495 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → 𝑡 ⊆ (𝑆 ∖ {𝑥}))
2120difss2d 4080 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → 𝑡𝑆)
22 simplr 766 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → 𝑥𝑆)
2322snssd 4754 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → {𝑥} ⊆ 𝑆)
2421, 23unssd 4131 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → (𝑡 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝑆)
2519simprd 496 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → 𝑡 ∈ Fin)
26 snfi 8888 . . . . . . . . . . . 12 {𝑥} ∈ Fin
27 unfi 9016 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑡 ∈ Fin ∧ {𝑥} ∈ Fin) → (𝑡 ∪ {𝑥}) ∈ Fin)
2825, 26, 27sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → (𝑡 ∪ {𝑥}) ∈ Fin)
29 elfpw 9198 . . . . . . . . . . 11 ((𝑡 ∪ {𝑥}) ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ↔ ((𝑡 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝑆 ∧ (𝑡 ∪ {𝑥}) ∈ Fin))
3024, 28, 29sylanbrc 583 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → (𝑡 ∪ {𝑥}) ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
312ad4antr 729 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) ∧ 𝑠𝐼) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
32 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) ∧ 𝑠𝐼) → 𝑠𝐼)
33 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑥𝑆)
34 snidg 4605 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝑆𝑥 ∈ {𝑥})
35 elun2 4122 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ {𝑥} → 𝑥 ∈ (𝑡 ∪ {𝑥}))
3633, 34, 353syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑥 ∈ (𝑡 ∪ {𝑥}))
37 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥}))
3836, 37eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑥𝑠)
3938adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) ∧ 𝑠𝐼) → 𝑥𝑠)
404, 5, 31, 32, 39ismri2dad 17423 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) ∧ 𝑠𝐼) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})))
412ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
4220adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑡 ⊆ (𝑆 ∖ {𝑥}))
43 neldifsnd 4738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑥}))
4442, 43ssneldd 3934 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → ¬ 𝑥𝑡)
45 difsnb 4751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥𝑡 ↔ (𝑡 ∖ {𝑥}) = 𝑡)
4644, 45sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑡 ∖ {𝑥}) = 𝑡)
47 ssun1 4117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑡 ⊆ (𝑡 ∪ {𝑥})
4847, 37sseqtrrid 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑡𝑠)
4948ssdifd 4086 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑡 ∖ {𝑥}) ⊆ (𝑠 ∖ {𝑥}))
5046, 49eqsstrrd 3970 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑡 ⊆ (𝑠 ∖ {𝑥}))
5124adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑡 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝑆)
5215ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑆𝑋)
5351, 52sstrd 3941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑡 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝑋)
5437, 53eqsstrd 3969 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑠𝑋)
5554ssdifssd 4088 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑠 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑋)
5641, 4, 50, 55mrcssd 17410 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑁𝑡) ⊆ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})))
5756sseld 3930 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑥 ∈ (𝑁𝑡) → 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥}))))
5857adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) ∧ 𝑠𝐼) → (𝑥 ∈ (𝑁𝑡) → 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥}))))
5940, 58mtod 197 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) ∧ 𝑠𝐼) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁𝑡))
6059ex 413 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑠𝐼 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁𝑡)))
6130, 60rspcimdv 3560 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → (∀𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑠𝐼 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁𝑡)))
6212, 61biimtrid 241 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → ((𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁𝑡)))
6362impancom 452 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → (𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁𝑡)))
6463ralrimiv 3139 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → ∀𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁𝑡))
6515ssdifssd 4088 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑋)
661, 4, 65acsficl2d 18347 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ↔ ∃𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁𝑡)))
6766notbid 317 . . . . . . . 8 (𝜑 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ ∃𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁𝑡)))
68 ralnex 3073 . . . . . . . 8 (∀𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁𝑡) ↔ ¬ ∃𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁𝑡))
6967, 68bitr4di 288 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁𝑡)))
7069ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁𝑡)))
7164, 70mpbird 256 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))
7271an32s 649 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑥𝑆) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))
7372ralrimiva 3140 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → ∀𝑥𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))
744, 5, 14, 16, 73ismri2dd 17420 . 2 ((𝜑 ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → 𝑆𝐼)
7513, 74impbida 798 1 (𝜑 → (𝑆𝐼 ↔ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3062  wrex 3071  cdif 3894  cun 3895  cin 3896  wss 3897  𝒫 cpw 4545  {csn 4571  cfv 6466  Fincfn 8783  Moorecmre 17368  mrClscmrc 17369  mrIndcmri 17370  ACScacs 17371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7630  ax-cnex 11007  ax-resscn 11008  ax-1cn 11009  ax-icn 11010  ax-addcl 11011  ax-addrcl 11012  ax-mulcl 11013  ax-mulrcl 11014  ax-mulcom 11015  ax-addass 11016  ax-mulass 11017  ax-distr 11018  ax-i2m1 11019  ax-1ne0 11020  ax-1rid 11021  ax-rnegex 11022  ax-rrecex 11023  ax-cnre 11024  ax-pre-lttri 11025  ax-pre-lttrn 11026  ax-pre-ltadd 11027  ax-pre-mulgt0 11028
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-int 4893  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5563  df-we 5565  df-xp 5614  df-rel 5615  df-cnv 5616  df-co 5617  df-dm 5618  df-rn 5619  df-res 5620  df-ima 5621  df-pred 6225  df-ord 6292  df-on 6293  df-lim 6294  df-suc 6295  df-iota 6418  df-fun 6468  df-fn 6469  df-f 6470  df-f1 6471  df-fo 6472  df-f1o 6473  df-fv 6474  df-riota 7274  df-ov 7320  df-oprab 7321  df-mpo 7322  df-om 7760  df-1st 7878  df-2nd 7879  df-frecs 8146  df-wrecs 8177  df-recs 8251  df-rdg 8290  df-1o 8346  df-er 8548  df-en 8784  df-dom 8785  df-sdom 8786  df-fin 8787  df-pnf 11091  df-mnf 11092  df-xr 11093  df-ltxr 11094  df-le 11095  df-sub 11287  df-neg 11288  df-nn 12054  df-2 12116  df-3 12117  df-4 12118  df-5 12119  df-6 12120  df-7 12121  df-8 12122  df-9 12123  df-n0 12314  df-z 12400  df-dec 12518  df-uz 12663  df-fz 13320  df-struct 16925  df-slot 16960  df-ndx 16972  df-base 16990  df-tset 17058  df-ple 17059  df-ocomp 17060  df-mre 17372  df-mrc 17373  df-mri 17374  df-acs 17375  df-proset 18090  df-drs 18091  df-poset 18108  df-ipo 18323
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