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Theorem acsfiindd 17782
 Description: In an algebraic closure system, a set is independent if and only if all its finite subsets are independent. Part of Proposition 4.1.3 in [FaureFrolicher] p. 83. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
acsfiindd.1 (𝜑𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
acsfiindd.2 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
acsfiindd.3 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
acsfiindd.4 (𝜑𝑆𝑋)
Assertion
Ref Expression
acsfiindd (𝜑 → (𝑆𝐼 ↔ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼))

Proof of Theorem acsfiindd
Dummy variables 𝑥 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acsfiindd.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
21acsmred 16922 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
32ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑𝑆𝐼) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
4 acsfiindd.2 . . . . 5 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
5 acsfiindd.3 . . . . 5 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
6 simplr 768 . . . . 5 (((𝜑𝑆𝐼) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) → 𝑆𝐼)
7 simpr 488 . . . . . . 7 (((𝜑𝑆𝐼) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) → 𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
87elin1d 4125 . . . . . 6 (((𝜑𝑆𝐼) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝑆)
98elpwid 4508 . . . . 5 (((𝜑𝑆𝐼) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) → 𝑠𝑆)
103, 4, 5, 6, 9mrissmrid 16907 . . . 4 (((𝜑𝑆𝐼) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) → 𝑠𝐼)
1110ralrimiva 3149 . . 3 ((𝜑𝑆𝐼) → ∀𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑠𝐼)
12 dfss3 3903 . . 3 ((𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼 ↔ ∀𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑠𝐼)
1311, 12sylibr 237 . 2 ((𝜑𝑆𝐼) → (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼)
142adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
15 acsfiindd.4 . . . 4 (𝜑𝑆𝑋)
1615adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → 𝑆𝑋)
17 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin))
18 elfpw 8813 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin) ↔ (𝑡 ⊆ (𝑆 ∖ {𝑥}) ∧ 𝑡 ∈ Fin))
1917, 18sylib 221 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → (𝑡 ⊆ (𝑆 ∖ {𝑥}) ∧ 𝑡 ∈ Fin))
2019simpld 498 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → 𝑡 ⊆ (𝑆 ∖ {𝑥}))
2120difss2d 4062 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → 𝑡𝑆)
22 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → 𝑥𝑆)
2322snssd 4702 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → {𝑥} ⊆ 𝑆)
2421, 23unssd 4113 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → (𝑡 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝑆)
2519simprd 499 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → 𝑡 ∈ Fin)
26 snfi 8580 . . . . . . . . . . . 12 {𝑥} ∈ Fin
27 unfi 8772 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑡 ∈ Fin ∧ {𝑥} ∈ Fin) → (𝑡 ∪ {𝑥}) ∈ Fin)
2825, 26, 27sylancl 589 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → (𝑡 ∪ {𝑥}) ∈ Fin)
29 elfpw 8813 . . . . . . . . . . 11 ((𝑡 ∪ {𝑥}) ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ↔ ((𝑡 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝑆 ∧ (𝑡 ∪ {𝑥}) ∈ Fin))
3024, 28, 29sylanbrc 586 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → (𝑡 ∪ {𝑥}) ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
312ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) ∧ 𝑠𝐼) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
32 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) ∧ 𝑠𝐼) → 𝑠𝐼)
33 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑥𝑆)
34 snidg 4559 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝑆𝑥 ∈ {𝑥})
35 elun2 4104 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ {𝑥} → 𝑥 ∈ (𝑡 ∪ {𝑥}))
3633, 34, 353syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑥 ∈ (𝑡 ∪ {𝑥}))
37 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥}))
3836, 37eleqtrrd 2893 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑥𝑠)
3938adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) ∧ 𝑠𝐼) → 𝑥𝑠)
404, 5, 31, 32, 39ismri2dad 16903 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) ∧ 𝑠𝐼) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})))
412ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
4220adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑡 ⊆ (𝑆 ∖ {𝑥}))
43 neldifsnd 4686 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑥}))
4442, 43ssneldd 3918 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → ¬ 𝑥𝑡)
45 difsnb 4699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥𝑡 ↔ (𝑡 ∖ {𝑥}) = 𝑡)
4644, 45sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑡 ∖ {𝑥}) = 𝑡)
47 ssun1 4099 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑡 ⊆ (𝑡 ∪ {𝑥})
4847, 37sseqtrrid 3968 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑡𝑠)
4948ssdifd 4068 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑡 ∖ {𝑥}) ⊆ (𝑠 ∖ {𝑥}))
5046, 49eqsstrrd 3954 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑡 ⊆ (𝑠 ∖ {𝑥}))
5124adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑡 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝑆)
5215ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑆𝑋)
5351, 52sstrd 3925 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑡 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝑋)
5437, 53eqsstrd 3953 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑠𝑋)
5554ssdifssd 4070 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑠 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑋)
5641, 4, 50, 55mrcssd 16890 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑁𝑡) ⊆ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})))
5756sseld 3914 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑥 ∈ (𝑁𝑡) → 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥}))))
5857adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) ∧ 𝑠𝐼) → (𝑥 ∈ (𝑁𝑡) → 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥}))))
5940, 58mtod 201 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) ∧ 𝑠𝐼) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁𝑡))
6059ex 416 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑠𝐼 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁𝑡)))
6130, 60rspcimdv 3561 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → (∀𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑠𝐼 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁𝑡)))
6212, 61syl5bi 245 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → ((𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁𝑡)))
6362impancom 455 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → (𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁𝑡)))
6463ralrimiv 3148 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → ∀𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁𝑡))
6515ssdifssd 4070 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑋)
661, 4, 65acsficl2d 17781 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ↔ ∃𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁𝑡)))
6766notbid 321 . . . . . . . 8 (𝜑 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ ∃𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁𝑡)))
68 ralnex 3199 . . . . . . . 8 (∀𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁𝑡) ↔ ¬ ∃𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁𝑡))
6967, 68bitr4di 292 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁𝑡)))
7069ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁𝑡)))
7164, 70mpbird 260 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))
7271an32s 651 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑥𝑆) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))
7372ralrimiva 3149 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → ∀𝑥𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))
744, 5, 14, 16, 73ismri2dd 16900 . 2 ((𝜑 ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → 𝑆𝐼)
7513, 74impbida 800 1 (𝜑 → (𝑆𝐼 ↔ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   ∖ cdif 3878   ∪ cun 3879   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  𝒫 cpw 4497  {csn 4525  ‘cfv 6325  Fincfn 8495  Moorecmre 16848  mrClscmrc 16849  mrIndcmri 16850  ACScacs 16851 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-4 11693  df-5 11694  df-6 11695  df-7 11696  df-8 11697  df-9 11698  df-n0 11889  df-z 11973  df-dec 12090  df-uz 12235  df-fz 12889  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ocomp 16581  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-mri 16854  df-acs 16855  df-proset 17533  df-drs 17534  df-poset 17551  df-ipo 17757 This theorem is referenced by: (None)
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