Theorem acsfiindd 18510

Description: In an algebraic closure system, a set is independent if and only if all its finite subsets are independent. Part of Proposition 4.1.3 in [FaureFrolicher] p. 83. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
acsfiindd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
acsfiindd.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
acsfiindd.3	⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
acsfiindd.4	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
acsfiindd	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝐼 ↔ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼))

Proof of Theorem acsfiindd

Dummy variables 𝑥 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acsfiindd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
2	1	acsmred 17613	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
3	2	ad2antrr 732	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
4		acsfiindd.2	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
5		acsfiindd.3	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
6		simplr 774	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) → 𝑆 ∈ 𝐼)
7		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) → 𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
8	7	elin1d 4133	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝑆)
9	8	elpwid 4538	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) → 𝑠 ⊆ 𝑆)
10	3, 4, 5, 6, 9	mrissmrid 17598	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) → 𝑠 ∈ 𝐼)
11	10	ralrimiva 3131	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → ∀𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑠 ∈ 𝐼)
12		dfss3 3904	. . 3 ⊢ ((𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼 ↔ ∀𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑠 ∈ 𝐼)
13	11, 12	sylibr 235	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼)
14	2	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
15		acsfiindd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
16	15	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
17		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin))
18		elfpw 9254	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin) ↔ (𝑡 ⊆ (𝑆 ∖ {𝑥}) ∧ 𝑡 ∈ Fin))
19	17, 18	sylib 219	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → (𝑡 ⊆ (𝑆 ∖ {𝑥}) ∧ 𝑡 ∈ Fin))
20	19	simpld 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → 𝑡 ⊆ (𝑆 ∖ {𝑥}))
21	20	difss2d 4069	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → 𝑡 ⊆ 𝑆)
22		simplr 774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ 𝑆)
23	22	snssd 4718	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → {𝑥} ⊆ 𝑆)
24	21, 23	unssd 4121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → (𝑡 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝑆)
25	19	simprd 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → 𝑡 ∈ Fin)
26		snfi 8980	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑥} ∈ Fin
27		unfi 9095	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑡 ∈ Fin ∧ {𝑥} ∈ Fin) → (𝑡 ∪ {𝑥}) ∈ Fin)
28	25, 26, 27	sylancl 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → (𝑡 ∪ {𝑥}) ∈ Fin)
29		elfpw 9254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑡 ∪ {𝑥}) ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ↔ ((𝑡 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝑆 ∧ (𝑡 ∪ {𝑥}) ∈ Fin))
30	24, 28, 29	sylanbrc 589	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → (𝑡 ∪ {𝑥}) ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
31	2	ad4antr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
32		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ 𝐼) → 𝑠 ∈ 𝐼)
33		simpllr 781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑥 ∈ 𝑆)
34		snidg 4592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ {𝑥})
35		elun2 4112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥} → 𝑥 ∈ (𝑡 ∪ {𝑥}))
36	33, 34, 35	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑥 ∈ (𝑡 ∪ {𝑥}))
37		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥}))
38	36, 37	eleqtrrd 2842	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑥 ∈ 𝑠)
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝑠)
40	4, 5, 31, 32, 39	ismri2dad 17594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ 𝐼) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})))
41	2	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
42	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑡 ⊆ (𝑆 ∖ {𝑥}))
43		neldifsnd 4726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑥}))
44	42, 43	ssneldd 3918	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → ¬ 𝑥 ∈ 𝑡)
45		difsnb 4739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝑡 ↔ (𝑡 ∖ {𝑥}) = 𝑡)
46	44, 45	sylib 219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑡 ∖ {𝑥}) = 𝑡)
47		ssun1 4107	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑡 ⊆ (𝑡 ∪ {𝑥})
48	47, 37	sseqtrrid 3958	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑡 ⊆ 𝑠)
49	48	ssdifd 4075	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑡 ∖ {𝑥}) ⊆ (𝑠 ∖ {𝑥}))
50	46, 49	eqsstrrd 3950	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑡 ⊆ (𝑠 ∖ {𝑥}))
51	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑡 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝑆)
52	15	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
53	51, 52	sstrd 3925	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑡 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝑋)
54	37, 53	eqsstrd 3949	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑠 ⊆ 𝑋)
55	54	ssdifssd 4077	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑠 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑋)
56	41, 4, 50, 55	mrcssd 17581	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑁‘𝑡) ⊆ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})))
57	56	sseld 3914	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑥 ∈ (𝑁‘𝑡) → 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥}))))
58	57	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ 𝐼) → (𝑥 ∈ (𝑁‘𝑡) → 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥}))))
59	40, 58	mtod 199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ 𝐼) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘𝑡))
60	59	ex 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑠 ∈ 𝐼 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘𝑡)))
61	30, 60	rspcimdv 3550	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → (∀𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑠 ∈ 𝐼 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘𝑡)))
62	12, 61	biimtrid 243	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → ((𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘𝑡)))
63	62	impancom 452	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → (𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘𝑡)))
64	63	ralrimiv 3130	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → ∀𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘𝑡))
65	15	ssdifssd 4077	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑋)
66	1, 4, 65	acsficl2d 18509	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ↔ ∃𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁‘𝑡)))
67	66	notbid 319	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ ∃𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁‘𝑡)))
68		ralnex 3065	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘𝑡) ↔ ¬ ∃𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁‘𝑡))
69	67, 68	bitr4di 290	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘𝑡)))
70	69	ad2antrr 732	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘𝑡)))
71	64, 70	mpbird 258	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))
72	71	an32s 658	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))
73	72	ralrimiva 3131	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))
74	4, 5, 14, 16, 73	ismri2dd 17591	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → 𝑆 ∈ 𝐼)
75	13, 74	impbida 806	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝐼 ↔ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  ∃wrex 3063   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4529  {csn 4555  ‘cfv 6485  Fincfn 8883  Moorecmre 17535  mrClscmrc 17536  mrIndcmri 17537  ACScacs 17538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ocomp 17232  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-mri 17541  df-acs 17542  df-proset 18251  df-drs 18252  df-poset 18270  df-ipo 18485

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