MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulerpq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulerpq 10900
Description: Multiplication is compatible with the equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulerpq (([Q]โ€˜๐ด) ยทQ ([Q]โ€˜๐ต)) = ([Q]โ€˜(๐ด ยทpQ ๐ต))

Proof of Theorem mulerpq
StepHypRef Expression
1 nqercl 10874 . . . 4 (๐ด โˆˆ (N ร— N) โ†’ ([Q]โ€˜๐ด) โˆˆ Q)
2 nqercl 10874 . . . 4 (๐ต โˆˆ (N ร— N) โ†’ ([Q]โ€˜๐ต) โˆˆ Q)
3 mulpqnq 10884 . . . 4 ((([Q]โ€˜๐ด) โˆˆ Q โˆง ([Q]โ€˜๐ต) โˆˆ Q) โ†’ (([Q]โ€˜๐ด) ยทQ ([Q]โ€˜๐ต)) = ([Q]โ€˜(([Q]โ€˜๐ด) ยทpQ ([Q]โ€˜๐ต))))
41, 2, 3syl2an 597 . . 3 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (([Q]โ€˜๐ด) ยทQ ([Q]โ€˜๐ต)) = ([Q]โ€˜(([Q]โ€˜๐ด) ยทpQ ([Q]โ€˜๐ต))))
5 enqer 10864 . . . . . 6 ~Q Er (N ร— N)
65a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ~Q Er (N ร— N))
7 nqerrel 10875 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (N ร— N) โ†’ ๐ด ~Q ([Q]โ€˜๐ด))
87adantr 482 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ๐ด ~Q ([Q]โ€˜๐ด))
9 elpqn 10868 . . . . . . . . 9 (([Q]โ€˜๐ด) โˆˆ Q โ†’ ([Q]โ€˜๐ด) โˆˆ (N ร— N))
101, 9syl 17 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (N ร— N) โ†’ ([Q]โ€˜๐ด) โˆˆ (N ร— N))
11 mulerpqlem 10898 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ([Q]โ€˜๐ด) โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด ~Q ([Q]โ€˜๐ด) โ†” (๐ด ยทpQ ๐ต) ~Q (([Q]โ€˜๐ด) ยทpQ ๐ต)))
12113exp 1120 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (N ร— N) โ†’ (([Q]โ€˜๐ด) โˆˆ (N ร— N) โ†’ (๐ต โˆˆ (N ร— N) โ†’ (๐ด ~Q ([Q]โ€˜๐ด) โ†” (๐ด ยทpQ ๐ต) ~Q (([Q]โ€˜๐ด) ยทpQ ๐ต)))))
1310, 12mpd 15 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (N ร— N) โ†’ (๐ต โˆˆ (N ร— N) โ†’ (๐ด ~Q ([Q]โ€˜๐ด) โ†” (๐ด ยทpQ ๐ต) ~Q (([Q]โ€˜๐ด) ยทpQ ๐ต))))
1413imp 408 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด ~Q ([Q]โ€˜๐ด) โ†” (๐ด ยทpQ ๐ต) ~Q (([Q]โ€˜๐ด) ยทpQ ๐ต)))
158, 14mpbid 231 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด ยทpQ ๐ต) ~Q (([Q]โ€˜๐ด) ยทpQ ๐ต))
16 nqerrel 10875 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ (N ร— N) โ†’ ๐ต ~Q ([Q]โ€˜๐ต))
1716adantl 483 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ๐ต ~Q ([Q]โ€˜๐ต))
18 elpqn 10868 . . . . . . . . . 10 (([Q]โ€˜๐ต) โˆˆ Q โ†’ ([Q]โ€˜๐ต) โˆˆ (N ร— N))
192, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ (N ร— N) โ†’ ([Q]โ€˜๐ต) โˆˆ (N ร— N))
20 mulerpqlem 10898 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง ([Q]โ€˜๐ต) โˆˆ (N ร— N) โˆง ([Q]โ€˜๐ด) โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ต ~Q ([Q]โ€˜๐ต) โ†” (๐ต ยทpQ ([Q]โ€˜๐ด)) ~Q (([Q]โ€˜๐ต) ยทpQ ([Q]โ€˜๐ด))))
21203exp 1120 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ (N ร— N) โ†’ (([Q]โ€˜๐ต) โˆˆ (N ร— N) โ†’ (([Q]โ€˜๐ด) โˆˆ (N ร— N) โ†’ (๐ต ~Q ([Q]โ€˜๐ต) โ†” (๐ต ยทpQ ([Q]โ€˜๐ด)) ~Q (([Q]โ€˜๐ต) ยทpQ ([Q]โ€˜๐ด))))))
2219, 21mpd 15 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ (N ร— N) โ†’ (([Q]โ€˜๐ด) โˆˆ (N ร— N) โ†’ (๐ต ~Q ([Q]โ€˜๐ต) โ†” (๐ต ยทpQ ([Q]โ€˜๐ด)) ~Q (([Q]โ€˜๐ต) ยทpQ ([Q]โ€˜๐ด)))))
2310, 22mpan9 508 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ต ~Q ([Q]โ€˜๐ต) โ†” (๐ต ยทpQ ([Q]โ€˜๐ด)) ~Q (([Q]โ€˜๐ต) ยทpQ ([Q]โ€˜๐ด))))
2417, 23mpbid 231 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ต ยทpQ ([Q]โ€˜๐ด)) ~Q (([Q]โ€˜๐ต) ยทpQ ([Q]โ€˜๐ด)))
25 mulcompq 10895 . . . . . 6 (๐ต ยทpQ ([Q]โ€˜๐ด)) = (([Q]โ€˜๐ด) ยทpQ ๐ต)
26 mulcompq 10895 . . . . . 6 (([Q]โ€˜๐ต) ยทpQ ([Q]โ€˜๐ด)) = (([Q]โ€˜๐ด) ยทpQ ([Q]โ€˜๐ต))
2724, 25, 263brtr3g 5143 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (([Q]โ€˜๐ด) ยทpQ ๐ต) ~Q (([Q]โ€˜๐ด) ยทpQ ([Q]โ€˜๐ต)))
286, 15, 27ertrd 8671 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด ยทpQ ๐ต) ~Q (([Q]โ€˜๐ด) ยทpQ ([Q]โ€˜๐ต)))
29 mulpqf 10889 . . . . . 6 ยทpQ :((N ร— N) ร— (N ร— N))โŸถ(N ร— N)
3029fovcl 7489 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด ยทpQ ๐ต) โˆˆ (N ร— N))
3129fovcl 7489 . . . . . 6 ((([Q]โ€˜๐ด) โˆˆ (N ร— N) โˆง ([Q]โ€˜๐ต) โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (([Q]โ€˜๐ด) ยทpQ ([Q]โ€˜๐ต)) โˆˆ (N ร— N))
3210, 19, 31syl2an 597 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (([Q]โ€˜๐ด) ยทpQ ([Q]โ€˜๐ต)) โˆˆ (N ร— N))
33 nqereq 10878 . . . . 5 (((๐ด ยทpQ ๐ต) โˆˆ (N ร— N) โˆง (([Q]โ€˜๐ด) ยทpQ ([Q]โ€˜๐ต)) โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ((๐ด ยทpQ ๐ต) ~Q (([Q]โ€˜๐ด) ยทpQ ([Q]โ€˜๐ต)) โ†” ([Q]โ€˜(๐ด ยทpQ ๐ต)) = ([Q]โ€˜(([Q]โ€˜๐ด) ยทpQ ([Q]โ€˜๐ต)))))
3430, 32, 33syl2anc 585 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ((๐ด ยทpQ ๐ต) ~Q (([Q]โ€˜๐ด) ยทpQ ([Q]โ€˜๐ต)) โ†” ([Q]โ€˜(๐ด ยทpQ ๐ต)) = ([Q]โ€˜(([Q]โ€˜๐ด) ยทpQ ([Q]โ€˜๐ต)))))
3528, 34mpbid 231 . . 3 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ([Q]โ€˜(๐ด ยทpQ ๐ต)) = ([Q]โ€˜(([Q]โ€˜๐ด) ยทpQ ([Q]โ€˜๐ต))))
364, 35eqtr4d 2780 . 2 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (([Q]โ€˜๐ด) ยทQ ([Q]โ€˜๐ต)) = ([Q]โ€˜(๐ด ยทpQ ๐ต)))
37 0nnq 10867 . . . . . . 7 ยฌ โˆ… โˆˆ Q
38 nqerf 10873 . . . . . . . . . . 11 [Q]:(N ร— N)โŸถQ
3938fdmi 6685 . . . . . . . . . 10 dom [Q] = (N ร— N)
4039eleq2i 2830 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ dom [Q] โ†” ๐ด โˆˆ (N ร— N))
41 ndmfv 6882 . . . . . . . . 9 (ยฌ ๐ด โˆˆ dom [Q] โ†’ ([Q]โ€˜๐ด) = โˆ…)
4240, 41sylnbir 331 . . . . . . . 8 (ยฌ ๐ด โˆˆ (N ร— N) โ†’ ([Q]โ€˜๐ด) = โˆ…)
4342eleq1d 2823 . . . . . . 7 (ยฌ ๐ด โˆˆ (N ร— N) โ†’ (([Q]โ€˜๐ด) โˆˆ Q โ†” โˆ… โˆˆ Q))
4437, 43mtbiri 327 . . . . . 6 (ยฌ ๐ด โˆˆ (N ร— N) โ†’ ยฌ ([Q]โ€˜๐ด) โˆˆ Q)
4544con4i 114 . . . . 5 (([Q]โ€˜๐ด) โˆˆ Q โ†’ ๐ด โˆˆ (N ร— N))
4639eleq2i 2830 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ dom [Q] โ†” ๐ต โˆˆ (N ร— N))
47 ndmfv 6882 . . . . . . . . 9 (ยฌ ๐ต โˆˆ dom [Q] โ†’ ([Q]โ€˜๐ต) = โˆ…)
4846, 47sylnbir 331 . . . . . . . 8 (ยฌ ๐ต โˆˆ (N ร— N) โ†’ ([Q]โ€˜๐ต) = โˆ…)
4948eleq1d 2823 . . . . . . 7 (ยฌ ๐ต โˆˆ (N ร— N) โ†’ (([Q]โ€˜๐ต) โˆˆ Q โ†” โˆ… โˆˆ Q))
5037, 49mtbiri 327 . . . . . 6 (ยฌ ๐ต โˆˆ (N ร— N) โ†’ ยฌ ([Q]โ€˜๐ต) โˆˆ Q)
5150con4i 114 . . . . 5 (([Q]โ€˜๐ต) โˆˆ Q โ†’ ๐ต โˆˆ (N ร— N))
5245, 51anim12i 614 . . . 4 ((([Q]โ€˜๐ด) โˆˆ Q โˆง ([Q]โ€˜๐ต) โˆˆ Q) โ†’ (๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)))
53 mulnqf 10892 . . . . . 6 ยทQ :(Q ร— Q)โŸถQ
5453fdmi 6685 . . . . 5 dom ยทQ = (Q ร— Q)
5554ndmov 7543 . . . 4 (ยฌ (([Q]โ€˜๐ด) โˆˆ Q โˆง ([Q]โ€˜๐ต) โˆˆ Q) โ†’ (([Q]โ€˜๐ด) ยทQ ([Q]โ€˜๐ต)) = โˆ…)
5652, 55nsyl5 159 . . 3 (ยฌ (๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (([Q]โ€˜๐ด) ยทQ ([Q]โ€˜๐ต)) = โˆ…)
57 0nelxp 5672 . . . . . 6 ยฌ โˆ… โˆˆ (N ร— N)
5839eleq2i 2830 . . . . . 6 (โˆ… โˆˆ dom [Q] โ†” โˆ… โˆˆ (N ร— N))
5957, 58mtbir 323 . . . . 5 ยฌ โˆ… โˆˆ dom [Q]
6029fdmi 6685 . . . . . . 7 dom ยทpQ = ((N ร— N) ร— (N ร— N))
6160ndmov 7543 . . . . . 6 (ยฌ (๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด ยทpQ ๐ต) = โˆ…)
6261eleq1d 2823 . . . . 5 (ยฌ (๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ((๐ด ยทpQ ๐ต) โˆˆ dom [Q] โ†” โˆ… โˆˆ dom [Q]))
6359, 62mtbiri 327 . . . 4 (ยฌ (๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ยฌ (๐ด ยทpQ ๐ต) โˆˆ dom [Q])
64 ndmfv 6882 . . . 4 (ยฌ (๐ด ยทpQ ๐ต) โˆˆ dom [Q] โ†’ ([Q]โ€˜(๐ด ยทpQ ๐ต)) = โˆ…)
6563, 64syl 17 . . 3 (ยฌ (๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ([Q]โ€˜(๐ด ยทpQ ๐ต)) = โˆ…)
6656, 65eqtr4d 2780 . 2 (ยฌ (๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (([Q]โ€˜๐ด) ยทQ ([Q]โ€˜๐ต)) = ([Q]โ€˜(๐ด ยทpQ ๐ต)))
6736, 66pm2.61i 182 1 (([Q]โ€˜๐ด) ยทQ ([Q]โ€˜๐ต)) = ([Q]โ€˜(๐ด ยทpQ ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ…c0 4287   class class class wbr 5110   ร— cxp 5636  dom cdm 5638  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   Er wer 8652  Ncnpi 10787   ยทpQ cmpq 10792   ~Q ceq 10794  Qcnq 10795  [Q]cerq 10797   ยทQ cmq 10799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-ni 10815  df-mi 10817  df-lti 10818  df-mpq 10852  df-enq 10854  df-nq 10855  df-erq 10856  df-mq 10858  df-1nq 10859
This theorem is referenced by:  mulassnq  10902  distrnq  10904  recmulnq  10907
  Copyright terms: Public domain W3C validator