MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulclnq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulclnq 10978
Description: Closure of multiplication on positive fractions. (Contributed by NM, 29-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulclnq ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด ยทQ ๐ต) โˆˆ Q)

Proof of Theorem mulclnq
StepHypRef Expression
1 mulpqnq 10972 . 2 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด ยทQ ๐ต) = ([Q]โ€˜(๐ด ยทpQ ๐ต)))
2 elpqn 10956 . . . 4 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ๐ด โˆˆ (N ร— N))
3 elpqn 10956 . . . 4 (๐ต โˆˆ Q โ†’ ๐ต โˆˆ (N ร— N))
4 mulpqf 10977 . . . . 5 ยทpQ :((N ร— N) ร— (N ร— N))โŸถ(N ร— N)
54fovcl 7555 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด ยทpQ ๐ต) โˆˆ (N ร— N))
62, 3, 5syl2an 594 . . 3 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด ยทpQ ๐ต) โˆˆ (N ร— N))
7 nqercl 10962 . . 3 ((๐ด ยทpQ ๐ต) โˆˆ (N ร— N) โ†’ ([Q]โ€˜(๐ด ยทpQ ๐ต)) โˆˆ Q)
86, 7syl 17 . 2 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ ([Q]โ€˜(๐ด ยทpQ ๐ต)) โˆˆ Q)
91, 8eqeltrd 2829 1 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด ยทQ ๐ต) โˆˆ Q)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆˆ wcel 2098   ร— cxp 5680  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Ncnpi 10875   ยทpQ cmpq 10880  Qcnq 10883  [Q]cerq 10885   ยทQ cmq 10887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-oadd 8497  df-omul 8498  df-er 8731  df-ni 10903  df-mi 10905  df-lti 10906  df-mpq 10940  df-enq 10942  df-nq 10943  df-erq 10944  df-mq 10946  df-1nq 10947
This theorem is referenced by:  ltrnq  11010  mpv  11042  dmmp  11044  mulclprlem  11050  mulclpr  11051  mulasspr  11055  distrlem1pr  11056  distrlem4pr  11057  distrlem5pr  11058  1idpr  11060  prlem934  11064  prlem936  11078  reclem3pr  11080  reclem4pr  11081
  Copyright terms: Public domain W3C validator