MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulclnq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulclnq 10890
Description: Closure of multiplication on positive fractions. (Contributed by NM, 29-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulclnq ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด ยทQ ๐ต) โˆˆ Q)

Proof of Theorem mulclnq
StepHypRef Expression
1 mulpqnq 10884 . 2 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด ยทQ ๐ต) = ([Q]โ€˜(๐ด ยทpQ ๐ต)))
2 elpqn 10868 . . . 4 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ๐ด โˆˆ (N ร— N))
3 elpqn 10868 . . . 4 (๐ต โˆˆ Q โ†’ ๐ต โˆˆ (N ร— N))
4 mulpqf 10889 . . . . 5 ยทpQ :((N ร— N) ร— (N ร— N))โŸถ(N ร— N)
54fovcl 7489 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด ยทpQ ๐ต) โˆˆ (N ร— N))
62, 3, 5syl2an 597 . . 3 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด ยทpQ ๐ต) โˆˆ (N ร— N))
7 nqercl 10874 . . 3 ((๐ด ยทpQ ๐ต) โˆˆ (N ร— N) โ†’ ([Q]โ€˜(๐ด ยทpQ ๐ต)) โˆˆ Q)
86, 7syl 17 . 2 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ ([Q]โ€˜(๐ด ยทpQ ๐ต)) โˆˆ Q)
91, 8eqeltrd 2838 1 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด ยทQ ๐ต) โˆˆ Q)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆˆ wcel 2107   ร— cxp 5636  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Ncnpi 10787   ยทpQ cmpq 10792  Qcnq 10795  [Q]cerq 10797   ยทQ cmq 10799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-ni 10815  df-mi 10817  df-lti 10818  df-mpq 10852  df-enq 10854  df-nq 10855  df-erq 10856  df-mq 10858  df-1nq 10859
This theorem is referenced by:  ltrnq  10922  mpv  10954  dmmp  10956  mulclprlem  10962  mulclpr  10963  mulasspr  10967  distrlem1pr  10968  distrlem4pr  10969  distrlem5pr  10970  1idpr  10972  prlem934  10976  prlem936  10990  reclem3pr  10992  reclem4pr  10993
  Copyright terms: Public domain W3C validator