![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mulclnq | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Closure of multiplication on positive fractions. (Contributed by NM, 29-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
mulclnq | โข ((๐ด โ Q โง ๐ต โ Q) โ (๐ด ยทQ ๐ต) โ Q) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | mulpqnq 10972 | . 2 โข ((๐ด โ Q โง ๐ต โ Q) โ (๐ด ยทQ ๐ต) = ([Q]โ(๐ด ยทpQ ๐ต))) | |
2 | elpqn 10956 | . . . 4 โข (๐ด โ Q โ ๐ด โ (N ร N)) | |
3 | elpqn 10956 | . . . 4 โข (๐ต โ Q โ ๐ต โ (N ร N)) | |
4 | mulpqf 10977 | . . . . 5 โข ยทpQ :((N ร N) ร (N ร N))โถ(N ร N) | |
5 | 4 | fovcl 7555 | . . . 4 โข ((๐ด โ (N ร N) โง ๐ต โ (N ร N)) โ (๐ด ยทpQ ๐ต) โ (N ร N)) |
6 | 2, 3, 5 | syl2an 594 | . . 3 โข ((๐ด โ Q โง ๐ต โ Q) โ (๐ด ยทpQ ๐ต) โ (N ร N)) |
7 | nqercl 10962 | . . 3 โข ((๐ด ยทpQ ๐ต) โ (N ร N) โ ([Q]โ(๐ด ยทpQ ๐ต)) โ Q) | |
8 | 6, 7 | syl 17 | . 2 โข ((๐ด โ Q โง ๐ต โ Q) โ ([Q]โ(๐ด ยทpQ ๐ต)) โ Q) |
9 | 1, 8 | eqeltrd 2829 | 1 โข ((๐ด โ Q โง ๐ต โ Q) โ (๐ด ยทQ ๐ต) โ Q) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 394 โ wcel 2098 ร cxp 5680 โcfv 6553 (class class class)co 7426 Ncnpi 10875 ยทpQ cmpq 10880 Qcnq 10883 [Q]cerq 10885 ยทQ cmq 10887 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pr 5433 ax-un 7746 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3374 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4327 df-if 4533 df-pw 4608 df-sn 4633 df-pr 4635 df-op 4639 df-uni 4913 df-iun 5002 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-tr 5270 df-id 5580 df-eprel 5586 df-po 5594 df-so 5595 df-fr 5637 df-we 5639 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-pred 6310 df-ord 6377 df-on 6378 df-lim 6379 df-suc 6380 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fn 6556 df-f 6557 df-f1 6558 df-fo 6559 df-f1o 6560 df-fv 6561 df-ov 7429 df-oprab 7430 df-mpo 7431 df-om 7877 df-1st 7999 df-2nd 8000 df-frecs 8293 df-wrecs 8324 df-recs 8398 df-rdg 8437 df-1o 8493 df-oadd 8497 df-omul 8498 df-er 8731 df-ni 10903 df-mi 10905 df-lti 10906 df-mpq 10940 df-enq 10942 df-nq 10943 df-erq 10944 df-mq 10946 df-1nq 10947 |
This theorem is referenced by: ltrnq 11010 mpv 11042 dmmp 11044 mulclprlem 11050 mulclpr 11051 mulasspr 11055 distrlem1pr 11056 distrlem4pr 11057 distrlem5pr 11058 1idpr 11060 prlem934 11064 prlem936 11078 reclem3pr 11080 reclem4pr 11081 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |