Theorem mulclnq 10634

Description: Closure of multiplication on positive fractions. (Contributed by NM, 29-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mulclnq	⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 ·Q 𝐵) ∈ Q)

Proof of Theorem mulclnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulpqnq 10628	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 ·Q 𝐵) = ([Q]‘(𝐴 ·pQ 𝐵)))
2		elpqn 10612	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Q → 𝐴 ∈ (N × N))
3		elpqn 10612	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Q → 𝐵 ∈ (N × N))
4		mulpqf 10633	. . . . 5 ⊢ ·pQ :((N × N) × (N × N))⟶(N × N)
5	4	fovcl 7380	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (N × N) ∧ 𝐵 ∈ (N × N)) → (𝐴 ·pQ 𝐵) ∈ (N × N))
6	2, 3, 5	syl2an 595	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 ·pQ 𝐵) ∈ (N × N))
7		nqercl 10618	. . 3 ⊢ ((𝐴 ·pQ 𝐵) ∈ (N × N) → ([Q]‘(𝐴 ·pQ 𝐵)) ∈ Q)
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ([Q]‘(𝐴 ·pQ 𝐵)) ∈ Q)
9	1, 8	eqeltrd 2839	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 ·Q 𝐵) ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   × cxp 5578  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Ncnpi 10531   ·_pQ cmpq 10536  Qcnq 10539  [Q]cerq 10541   ·_Q cmq 10543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-ni 10559  df-mi 10561  df-lti 10562  df-mpq 10596  df-enq 10598  df-nq 10599  df-erq 10600  df-mq 10602  df-1nq 10603

This theorem is referenced by:  ltrnq  10666  mpv  10698  dmmp  10700  mulclprlem  10706  mulclpr  10707  mulasspr  10711  distrlem1pr  10712  distrlem4pr  10713  distrlem5pr  10714  1idpr  10716  prlem934  10720  prlem936  10734  reclem3pr  10736  reclem4pr  10737